Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 - Năm học 2015-2016 - Huyện Yên Lập

UBND HUYỆN YÊN LẬP ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 PHÒNG GD&ĐT	NĂM HỌC 2015-2016
 (Đề chính thức)
MÔN THI: TOÁN, LỚP 9
Ngày thi: 26/11/2015
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 
và .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = (với n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,0 điểm):
	a) Tính giá trị A = 
	b) Cho 	. Chứng minh: 
Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
	a) b) 
Câu 4 (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N.
	a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm. Tính diện tích tam giác AMN.
	b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN.
	c) Chứng minh rằng: .
Câu 5 (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2
 Hết
Họ và tên học sinh:.,số báo danh:..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
UBND HUYỆN YÊN LẬP HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHON HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD&ĐT	CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN, LỚP 9
Ngày thi: 26/11/2015
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 
và .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = (với n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Đáp án
Điểm
a) (1,5 điểm):
Với thì a3 – a = (a – 1)a(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 nên a3 – a 6
Vậy 
0,5
0,5
0,5
b) (1,5 điểm): Ta có:
 A = n6 – 2n5 + 2n4 + 2n5 – 4n4 + 4n3 + n4 – 2n3 + 2n2
 = (n4 + 2n3 + n2) (n2 – 2n + 2)
 = n2(n + 1)2(n2 – 2n + 2)
+ Với n > 1 thì n2 – 2n + 2 = (n – 1)2 + 1 > (n – 1)2
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n – 1) < n2
=> (n – 1)2 n2 – 2n + 2 không phải là số chính phương.
Vậy A không phải là số chính phương (ĐPCM)
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 2 (4,0 điểm):
	a) Tính giá trị A = 
	b) Cho 
	 Chứng minh: 
Đáp an
Điểm
a) (2 điểm)
Đặt a = => a2 = 8 + 
=> a = 
=> A = a - 
1,0
0,5
0,5
b) (2 điểm):
Đặt = k
=> ; ; 
Do đó: = 
Tương tự ta có: 
=> ĐPCM 
0,25
0,25
0,75
0,25
0,25
0,25
Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
	a) b) 
Đáp án
Điểm
a) (2 điểm): ĐK: 
Phương trình đã cho tương đương với: 
Đặt ta được phương trình: hoặc 
Với ta có: (Vô nghiệm)
Với ta có: (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
b) (2 điểm): ĐK: 
Đặt (); (). 
Ta có: 10ab = 3a2 + 3b2 3a2 – ab – 9ab + 3b2 = 0
 (a – 3b)(3a – b) = 0 a = 3b hoặc b = 3a
+ Nếu a = 3b ta có: (Vô nghiệm)
+ Nếu b = 3a ta có: (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 4 (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N.
	a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm. Tính diện tích tam giác AMN.
	b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN.
	c) Chứng minh rằng: .
Đáp án
Điểm
a) (3,0 điểm):
Vì tam giác ABC đều nên OD = CD =
SAMN = SADOE – 2SMON
SADOE = 2SADO = DO.AD = 
SMON = OI.MN = = 2 => 2SMON = 4.
Vậy SAMN = 
1,0
0,25
0,75
0,75
0,5
b) (2,0 điểm):
Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN = y, MN = z.
Kẻ NH vuông góc với AB. Ta có: AH = , NH = , HM = x - 
MN2 = NH2 + HM2 = = x2 + y2 – xy
hay MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN
0,25
0,75
0,75
0,25
c) (2 điểm)
Ta có: x + y + z = 2AD = a
x(x + z) + y(y + z) = (x + z)(y + z)
 x2 + xz + y2 + yz = xy + xz +yz + z2
 x2 + y2 – xy = z2 (Đã chứng minh ở câu b)
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2
Đáp án
Điểm
Áp dụng BĐT Cô si cho x2015, x2015 và 2013 số 1 ta có
 x2015 +x2015 +1 + 1 +...+1
 2x2015 + 2013 2015x2
Tương tự: 2y2015 + 2013 2015y2
 2z2015 + 2013 2015z2
=> x2 + y2 + z2 = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z =1
Vậy giá trị lớn nhất của M là 3.
0,5
0,5
0,5
0,5
Ghi chú: 
	- Trong quá trình chấm bài thi của học sinh, giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bài làm của học sinh. Học sinh có thể giải theo cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm.
	- Khi chấm tổ chấm có thể chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm.