Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 3 (Có hướng dẫn chấm)

.
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
1.Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.	
b) Chứng minh rằng .
2. Cho biểu thức: với –2 < x < 2 và x 0. Tính giá trị của biểu thức .
Bài 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m (Với m là tham số)
 (d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1
cắt nhau tại G.
a) Xác định toạ độ điểm G.
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Bài 3: (2 điểm)
a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 – 1 24.
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương
c/ Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.
a. Chứng minh tích OI.OM không đổi.
b. Tìm vị trí của M để MAB đều.
c. Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (1 điểm)
Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng 
HẾT...
(Đề thi gồm có 02 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..;Số báo danh:
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán – Lớp 9
Câu
ý
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
1
1
 a/ với 
Ta có A = 
b/ với ta luôn có A > 0
Lại có: hay A 2
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
 Áp dụng tính chất: Nếu ; từ giả thiết suy ra 
Từ giả thiết –2 < x < 2 suy ra 
0,25
0,25
2
1
2
Đk: 
 (x2 – 8x + 16) + (x + 5 - 6 + 9) = 0
 ( x – 4)2 + (- 3)2 = 0
 . 
Vậy x = 4.
a/ Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:
(m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + 1
Û x = m + 1
Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m
Û y = -2m – 1
Toạ độ điểm G là (m + 1 ; -2m - 1)
b/ Có y = -2m - 1 = -2(m + 1) + 1
Mà x = m + 1
Þ y = -2x + 1
Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1 cố định. Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định khi m thay đổi
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
a/ Ta có p2 – 1 = (p – 1)(p + 1) 
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) 8 (1)
Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) 3. 
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, 3 là số nguyên tố suy ra (p – 1)(p + 1) 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3, 8)=1 và 3.8 = 24 suy ra p2 – 1 24 (đpcm)
b/ là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
c/ (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0,25
0,25
0,25
0.25
0.5
0,25đ
0,25đ
4
(
d
)
K
I
H
O
M
A
B
Vẽ hình đúng đến câu a
 Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) 
 OBMB ; 
Chứng minh được từ đó suy ra MA = MB 
Lại có OA=OB suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
 OMAB 
 OMB vuông tại B có BI là đường cao
 OB2 = OI.OM
 OI.OM = R2 không đổi.
 b) AMB cân tại M (chứng minh trên)
Để AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300
OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM 
 OM = 2.OB = 2R
 Kết luận
c/ Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB tại K.
 Chứng minh và đồng dạng
 OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
 Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định
 K cố định
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5
Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x).
Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x)
Do đó: 
= ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: ))
Đẳng thức xảy ra .
0.25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
HẾT...