Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 12 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học: 2015 – 2016
Môn thi: Toán – Lớp: 9
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình : 
2. Cho 2 điểm và 
a) Biết phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) đi qua A và B. Tìm a và b.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua và song song với (d); vuông góc với d.
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
2. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức 
Bài 4 (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì (D A, B), trên đường kính AB lấy điểm C. Kẻ CH vuông góc với AD tại H, phân giác trong cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F, DF cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh:
Ba điểm N, C, E thẳng hàng;
Nếu AD = BC thì DN đi qua trung trung điểm của AC.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho có . Tính độ dài AB; AC.
HẾT
(Đề thi gồm có 02 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:; Số báo danh:.
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán – Lớp: 9
Bài 1: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
ĐK: x > 0; x ≠ 1
1,0 
b)
 < 1 < 1 < 0 < 0
Vì > 0
 <0 < 1x < 1
Kết hợp ĐK: x > 0; x ≠ 1
Vậy 0 < x <1 thì P < 1
0,5
c)
Vì x > 0 > 0; > 0. Áp dụng BĐT Cô si ta được:
Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk)
Vậy khi x = 4 khi x = 4.
0,5
Bài 2: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
1)
Phương trình : 
Ta có và nên phương trình xác định 
Khi đó :
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
a) Vì đi qua 2 điểm A; B nên:
 (tmđk) 
Vậy 
b) Gọi đường thẳng cần tìm là
Vì đi qua C nên 
+) Vì 
Vậy 
+) Vì 
Thay vào (1) ta được:
Vậy 
0,5
0,5
Bài 3: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
1)
Ta có :
Vì x, y nguyên nên và nguyên ½ các trường hợp :
*) Trường hợp 1: 
*) Trường hợp 2: 
*) Trường hợp 3: 
*) Trường hợp 4: 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
Vì x, y, z nguyên dương; 
Ta có :
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
1)
Vì CH // BD (cùng vuông góc với AD) suy ra (đồng vị)
Lại có (cùng chắn cung AD)
, hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AF do đó tứ giác ANCF nội tiếp. (hệ quả góc nội tiếp). (1)
Nối N với E ta có (cùng chắn cung DE), mà (gt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó hai tia NC và NE trùng nhau do đó ba điểm N, C, E thẳng hàng. (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
Gọi giao điểm của ND với AB là P.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác APD ta có:
 (3)
Xét tam giác BDP, có FC // DB, Áp dụng định lí Ta lét trong tam giác ta có::
 (4)
Từ (3) và (4) suy ra . Mà AD = BC (gt) suy ra:
AP = PC do đó P là trung điểm của AC.
1,0
Bài 5: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
A
H
C
2
B
1
Kẻ 
Xét có 
Mà: (Định lí Pi- ta- go)
1,0
1,0