Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 10 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học : 2015 - 2016
 Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(2 điểm) Cho A = 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Bài 2:(2điểm) 
a) Giải phương trình sau: 
 b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = (m-1)x + (m +1) (d)
 Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3:(2 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
	b) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. 
Chứng minh: AB . EB + AC . AD = AB2 
Chứng minh bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn
Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (1 điểm) Cho .Chứng minh rằng :
---------- HẾT ---------- 
(Đề thi gồm có 01trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................ 
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi : Toán – Lớp 9
Bài 1:(2 điểm)
Ý/phần
Đáp án
Điểm
a
ĐKXĐ: 
0.25đ
0.75đ
b
Với x = 0 ta có A = 0
Với x > 0 ta có :
Vậy với thì 
0.25đ
0.25đ
c
Vậy GTLN của A =
0.25đ
0.25đ
Bài 2:(2 điểm)
Ý/phần
Đáp án
Điểm
a
ó 
ó
ó
ó 
Vậy.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b
Gọi là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m
Ta có: có nghiệm với mọi m
 có nghiệm với mọi m
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m là (-1;2)
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Bài 3:(2 điểm)
Ý/phần
Đáp án
Điểm
a
 là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). 
Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
Do a,b,c là các số có vai trò như nhau nên :
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) Û bc = 5+b+c.
 	 Û bc -b - c + 1 = 6 Û (b-1)(c-1) = 6.
Khi đó ta có: 
 *) ( thỏa mãn)
 *) ( loại vì 4 là hợp số)
Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Bài 4:(3 điểm)
Ý/phần
Đáp án
Điểm
a
Chứng minh : AB . EB = HB2 
 AC . AD = AH2
 HB2 + AH2 = AB2
 AB . EB + AC . AD = AB2
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b
 Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật 
 Gọi I là giao điểm của AH và DE => IA = ID = IH = IE
=> Bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn
0.5 đ
0.25đ
0.25đ
c
 S(ADHE)= AD.AE 
 S(ADHE) 
Vậy Max S(ADHE)=Khi AD = AE 
Hay A là điểm chính giữa của cung AB 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Bài 5:(1 điểm)
Ý/phần
Đáp án
Điểm
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
=> 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm