Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Nam Hồng (Có đáp án)

UBND THỊ XÃ HỒNG LĨNH
TRƯỜNG THCS NAM HỒNG
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn Toán (Thời gian làm bài 120 phút)

ĐỀ RA
PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi).
Câu 1: Tìm số dư của phép chia cho 7.
Câu 2: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho có y chữ số, còn có x chữ số.
Câu 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 
 Hãy tính giá trị của .
Câu 4: Cho cân (AB=AC), trung tuyến AD và phân giác BE thỏa mãn BE=2AD. Tính các góc của .
Câu 5: Cho 
Giả sử ta có đa thức . Hãy tính 
Câu 6: Tìm số tự nhiên n để là số chính phương.
Câu 7: Cho và . Tính giá trị của biểu thức 
Câu 8: Tính tổng: 	 
Câu 9: Cho và 
 Tính giá trị .
Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AC = 16cm; BD = 12cm. Tính chiều cao của hình thang.
PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm thỏa mãn 
Câu 2: Cho biểu thức 
a, Rút gọn biểu thức F
b, Tìm giá trị biết 
Câu 3: a, Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I. Biết IB = , ID = . Tính diện tích tam giác ABC.
b, Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Góc quay quanh đỉnh A cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N, gọi P trên AM và Q trên AN sao cho . Chứng minh rằng .
 .Hết...
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
PHẦN GHI KẾT QUẢ
CÂU/ĐÁP SỐ
CÁCH GIẢI
BIỂU ĐIỂM
Câu 1:
Đáp số: 6
 = bs 7-1. 
Vậy 4813 chia hết cho 7 dư 6
1 điểm
Câu 2:
Ta có: có y chữ số 
 	 có y chữ số 
Giả sử . Ta có . 
Ta chọn các số sao cho và 
với mọi . Các số không thỏa mãn 
(chẳng hạn ),
ta thấy : 
Đáp số 
1 điểm
Câu 3: 
Đáp số: x + y = 0

1 điểm
Câu 4:

A
D
C
I
E
B
Tam giác cân ABC , AB = AC. Kẻ DI//BE suy ra DI là đường trung bình của 
là cân 

1 điểm
Câu 5:

Ta có 
1 điểm
Câu 6:
n=8
Đặt với . Ta có 
Khi đó. 
Suy ra 
Vì nên là số lẻ. Suy ra 
Khi đó thỏa mãn.
1 điểm
Câu 7:

Từ và 
nên 
1 điểm
Câu 8:

Ta có :
 
1 điểm
Câu 9:
P = 1
 Từ 

1 điểm
Câu 10:
BH = 9,6(cm).
Vẽ BE//AC . vuông tại B; BE = 16, 
BD = 12, từ đó tính được DE = 20
Áp dụng hệ thức BH.DE = BD.DE vào tam giác vuông BDE ta tính được BH = 9,6(cm).
16
12
D
H
C
E
B
A
1 điểm
Phần tự luận 
Câu 1:
CÁCH GIẢI
BIỂU ĐIỂM

Ta có
TH1: Nếu 
ta có vô lí
Do nên vế phải của (**) là số hữu tỉ.
TH2 : khi đó (*) 
Giải ra ta được hoặc 
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Câu 2 : 

a, Điều kiện 
b, (với )

0.5 điểm
1 điểm
1.5 điểm
Câu 3:

a, Theo tính chất đường phân giác 
Đặt ta có: 
x
y
I
D
C
B
A

nên (1) và (2)
Giải (1) ra tìm được thay vào (2) và rút gọn được 
Vậy 
b,Gọi E là điểm đối xứng của B qua AM 
, BP=EP, AE=AB
 và đối xứng nhau qua AM 
AE=AD, 
đối xứng với nhau qua AN.
Tứ giác ADEB có ABAD 
M
N
D
C
B
A
P
Q
E
F
kết hợp với tính chất đối xứng trên 
Hoàn toàn tương tự ta dựng và đối xứng qua CQ và và đối xứng với nhau qua CP.
Từ đó suy ra tứ giác BEDF có 
 là ba cạnh của tam giác vuông và PQ2=BP2+DQ2
2 điểm
2 điểm
Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa./.