Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Bắc Hồng (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS BẮC HỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút)
PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số 6; 7; 9; 12; 16; 21; 27.... 
Câu 2: Một hộp có 23 viên bi xanh, 30 viên bi đỏ và 38 viên bi trắng. Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có 3 viên bi màu trắng
Câu 3: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
Câu 4: Tìm các số tự nhiên a, b. Biết: a + 1 chia hết cho b và b + 1 chia hết cho a
Câu 5: So sánh A = 1.3.5.7. ... .99 và B =
Câu 6: Giải phương trình: 
Câu 7: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 
Câu 8: Cho số x () thoả mãn điều kiện : . Tính giá trị các biểu thức: A = 
Câu 9: Cho DABC có ÐC - ÐB = 900, đường cao AH. Biết HB = 4cm, HC = 1cm. Tính độ dài HA
Câu 10: Cho DABC cân tại A, đường cao AH = 6cm; đường cao BK = 7,2cm. Tính BC
II- PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11: Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời và . Tính giá trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2018
Câu 12: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
 . Chứng minh tam giác ABC đều.
Câu 13: 
a. Cho tam giác MNP cân tại M (có ). Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của ∆MNP. Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt tia ND tại E, kẻ MF ^ NE (F Î NE). Biết DM = cm, DN = 3cm. Tính độ dài đoạn MN
b. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh CD sao cho CM = 2DM. Gọi E là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng BD. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O và N lần lượt là trung điểm của DE và BC. Chứng minh đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN 
-------------------- hết --------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
I. Trắc nghiệm: mỗi câu đúng 1 điểm: 
Câu1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
1231
56
27
(a, b) = (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 3); (3; 2)
A = B
x = - 2
 	
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
 hoặc 
123
2cm
9cm
Câu 11 (2, 5 điểm): 
Ta có => 
0,75đ

0,75đ
Thay vào ta được x = y = ; z =
0,5 đ
 => P = 
0,5đ
 Câu 12 (2,5 điểm):
 Đặt thì x, y, z dương và 
0,75đ
Ta có: 
 
0,75đ

0,5đ
Dấu “=” xảy ra .
 Với x = y = z thì a = b = c hay tam giác ABC đều.
0,5đ

Câu 13
a.
(3điểm)

Ta có: Ta có DMNP cân tại M, MD là 
phân giác => MD ^ NP
Ta có (2 góc đối đỉnh)
=> và 
suy ra (vì ND là phân giác )
=> DMDE cân tại M
và FE = FD
0,75đ
0,5 đ
DMNE vuông tại M, có đường cao, ta có
ME2 = EF.EN = EF.(2EF + DN ) 
 (vì FE = FD)
 cm

1,0đ
0,75đ

b.
(2điểm)

Kéo dài tia HE cắt BC tại F
Ta có HF // AB, theo Talet ta có:
 (Vì HE = HD, DDHE vuông cân) 
 Mặt khác tứ giác HFCD là hình chữ nhật 
Þ FC = HD và BC = AD 
nên Þ HE = NF (1)

 0,5đ
0,5 đ
Ta lại có DEFB vuông cân Þ EF = BF mà BF = AH nên AH = EF (2)
Từ (1) và (2) Þ DAHE = DEFN (c – g – c)
 mà Þ AE ^ NE
0,5đ
0,5đ

Lưu ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tối đa