Đề tài Về ngôn ngữ phạm trù

VỀ NGÔN NGỮ PHẠM TRÙ
1 Sự khác nhau giữa tập hợp và phạm trù
Từ khi bộ sách cơ sở của Bourbaki ra đời, chúng ta quen thế giới toán học được phát biểu
trên cơ sở lý thuyết tập hợp. Tất cả là tập hợp và ánh xạ giữa các tập hợp. Các cấu trúc toán
học là những cấu trúc bổ sung cho một tập hợp, chẳng hạn như một nửa nhóm sẽ là một
tập hợp G được trang bị môt phép toán hai ngôi G × G → G thoả mãn tính chất kết hợp.
Quan trọng hơn nữa, dấu bằng chỉ có ý nghĩa trong phạm vi một tập hợp nào đó. Khi ta
viết x = y ta đã ngầm hiểu x và y là phần tử của cùng một tập S nào đó. Chẳng hạn khi ta
viết
p
2 6=p−3 ta đã phải ngầm hiểu p2 và p−3 là hai số phức nào đấy.
Ngôn ngữ tập hợp không còn thực sự phù hợp nữa nếu thay vì nghiên cứu các con số, ta
muốn nghiên cứu các cấu trúc. Nếu H,G là hai nhóm Abel cho trước, câu hỏi ta thường đặt
ra là liệu G và H có đẳng cấu với nhau hay không, chứ không phải liệu G và H có bằng
nhau hay không. Ta nhận thấy rằng khái niệm tập hợp tất cả các nhóm Abel, bên cạnh
việc nó kéo theo đến những mâu thuẫn kiểu Russel, là một khái niệm vô tích sự, bởi vì ta
không quan tâm đến việc hai nhóm Abel có bằng nhau hay không, mà chỉ quan tâm đến
việc chúng có đẳng cấu với nhau hay không.
Phạm trù là một cấu trúc C bao gồm một lớp các đối tượng X ∈ C , giữa hai đối tượng bất
kỳ x , y ∈ C là một tập hợp các cấu xạ C (x , y) sao cho ta có phép hợp thành
HomC (x , y)×HomC (y, z)→ HomC (x , z) (1)
ký hiệu là ( f , g) 7→ g ◦ f , thoả mãn:
• tính kết hợp a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c với mọi c ∈ HomC (x , y), b ∈ HomC (y, z), a ∈
HomC (z, t);
• tiên đề đơn vị: với mọi x ∈ C ta có cấu xạ đơn vị 1x ∈ HomC (x , x) sao cho φ ◦ 1x =
φ = 1y ◦φ với mọi φ ∈ HomC (x , y).
Hai đối tượng x , y trong cùng phạm trù C , được coi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại
f ∈ HomC (x , y) và g ∈ HomC (y, x) sao cho f ◦ g = 1y và g ◦ f = 1x .
Sau đây là một số ví dụ:
• Phạm trù các tập hợp với cấu xạ là ánh xạ giữa các tập hợp;
1
Nhóm Galois
• Phạm trù các nhóm với cấu xạ là cấu xạ giữa các nhóm;
• Phạm trù các không gian vector trên một trường k đã cho với cấu xạ là các ánh xạ
k-tuyến tính;
• Phạm trù các module trên một vành R đã cho với cấu xạ là các ánh xạ R-tuyến tính;
• Phạm trù các không gian topo với cấu xạ là các ánh xạ liên tục;
• Phạm trù các đa tạp khả vi với cấu xạ là các cấu xạ khả vi.
• Phạm trù các lược đồ với cấu xạ là các cấu xạ lược đồ.
Mỗi phạm trù liệt kê ở trên thực ra là đối tượng nghiên cứu của một chuyên ngành toán
học: đại số tuyến tính nghiên cứu phạm trù các không gian vector trên một trường đã cho;
hình học vi phân nghiên cứu phạm trù các đa tạp khả vi.
Ta có thể đặt câu hỏi liệu khái niệm phạm trù có phải là một cái khung hình thức và vô bổ
hay không. Khó tưởng tượng được có mệnh đề không tầm thường mà lại đúng cho cả phạm
trù không gian vector và phạm trù các đa tạp khả khả vi. Vậy mà vẫn có những mệnh đề
như thế như chúng ta sẽ chỉ ra ở mục 3.
Những ví dụ liệt kê ở trên là những phạm trù rất "lớn". Để nắm bắt cơ chế của lý thuyết
phạm trù, ta cần xét một số ví dụ phạm trù "nhỏ":
• Nếu cho X là một tập có thứ tự, ta xây dựng phạm trù tương ứng như sau: với mọi
x , y ∈ X ; tập cấu xạ HomX (x , y) có nhiều nhất một phần tử; và HomX (x , y) 6= ; khi
và chỉ khi x ¶ y . Phạm trù C được coi là đơn giản nếu với mọi cặp đối tượng x , y ∈ C ,
tập cấu xạ HomC(x , y) có nhiều nhất một phần tử. Phạm trù đơn thực chất chỉ là một
tập có thứ tự.
• Phạm trù "thương" của tập X bởi tác động của nhóm G được xây dựng như sau: đối
tượng của [X/G] là các phần tử của X , với mọi x , y ∈ X , Hom[X/G](x , y) là tập các
phần tử g ∈ G sao cho g x = y; luật hợp thành trong C suy ra từ phép nhân trong
G. Phạm trù C được được coi là tựa nhóm (groupoid) nếu mọi cấu xạ của nó đều khả
nghịch. Các phạm trù xây dựng như trên là các ví dụ cơ bản của tựa nhóm.
Mục đích của bài viết này là giới thiệu với bạn sức mạnh biểu đạt của ngôn ngữ phạm trù.
Tuy rằng bản thân nó không giúp bạn chứng minh một đinh lý hay một giả thuyết học búa,
nó có thể giúp bạn phát biểu một cách rành rọt một số trực quan hình học rất tinh tế.
2 Hàm tử và tương đương phạm trù
Hàm tử F : C →D từ phạm trù C vào phạm trù D là một ánh xạ từ lớp các đối tượng của
C vào lớp các đối tượng của D ký hiệu là x 7→ F x , cùng với ánh xạ giữa các tập hợp cấu xạ
F : HomC (x , y)→ HomD(F x , F y) (2)
tương thích với phép hợp thành và các phần tử đơn vị:
2
Nhóm Galois
• F( f ◦ g) = F( f ) ◦ F(g);
• F(1X ) = 1F x .
Dễ thấy khái niệm hàm tử trong lý thuyết phạm trù đóng vai trò tương tự với khái niệm
ánh xạ trong lý thuyết tập hợp.
Khái niệm hàm tử đầy chung thuỷ trong lý thuyết phạm trù đóng vai trò tương tự như khái
niệm đơn ánh trong lý thuyết tập hợp. Hàm tử F : C → D được gọi là đầy chung thuỷ nếu
với mọi x , y ∈ C , ánh xạ
F : HomC (x , y)→ HomD(F x , F y) (3)
là song ánh. Lưu ý rằng ta không hề đả động đến tính đơn ánh của ánh xạ giữa các lớp đối
tượng vì như đã nêu, ta không xét đến dấu bằng giữa đối tượng của môt phạm trù.
Khái niệm song ánh trong lý thuyết tập hợp được thay bằng khái niệm tương đương phạm
trù. Hàm tử F : C → D được gọi là tương đương phạm trù nếu như nó là đầy chung thuỷ
và với mọi đối tượng Y ∈ D, tồn tại X ∈ C sao cho F x đẳng cấu với Y .
Ta có thể hiểu rõ hơn khái niệm tương đương phạm trù thông qua hai ví dụ phạm trù nhỏ
được nêu ở cuối mục 1:
• Cho X là một quan hệ thứ tự. Quan hệ thứ tự này có thể không chặt có nghĩa là x ¶ y
và y ¶ x không nhất thiết kéo theo x = y . Ta có phạm trù đơn giản mà đối tượng là
các phần tử của X ; HomX (x , y) có không quá một phần tử và nó khác rỗng khi và chỉ
khi x ¶ y . Ta định nghĩa quan hệ tương đương trên X : x ∼ y khi và chỉ khi x ¶ y và
y ¶ x .
Chọn Y là một tập đại diện các lớp tương đương trong X . Quan hệ thứ tự hạn chế vào
Y xác định trên Y một quan hệ thứ tự chặt, và một cấu trúc phạm trù đơn giản. Ánh
xạ Y → X , dĩ nhiên không phải là toàn ánh, nhưng là một tương đương phạm trù.
• Cho X là một tập hợp với tác động của nhóm G. Ta ký hiệu C = [X/G] là phạm trù
với đối tượng là các phần tử của X , với tập cấu xạ HomC (x , y) là tập các phần tử
g ∈ G sao cho g x = y; luật hợp thành trong C suy ra từ phép nhân trong G. Với mỗi
x ∈ X , ta ký hiệu Gx là nhóm dừng của điểm x bao gồm các phần tử g ∈ G sao cho
g x = x . Ta có Gx = HomC (x , x).
Chọn Y là một tập đại diện các quỹ đạo của G trong X : với mọi x ∈ X tồn tại duy
nhất y ∈ Y sao cho tồn tại g ∈ G với g x = y . Ta xây dựng phạm trù D với đối tượng
là phần tử của Y và HomD(y1, y2) là tập rỗng trừ khi y1 = y2, và trong trường hợp
này ta có HomD(y1, y2) = Gy1 . Dễ thấy rằng hàm tử hiển nhiên D →C là một tương
đương phạm trù.
Trong mỗi phạm trù C , các đối tượng lập thành một lớp, có thể không phải là một tập hợp.
Một lớp đẳng cấu là một lớp con mà trong đó các đối tượng đẳng cấu với nhau. Các lớp
đẳng cấu tạo thành một tập hợp C∼, gọi là tập các lớp đẳng cấu. Nếu C →D là một tương
phạm trù thì ánh xạ cảm sing C∼→D∼ là một song ánh giữa tập các lớp đẳng cấu.
Thay cho khái niệm tập con trong lý thuyết tập hợp, ta cũng có khái niệm phạm trù con
đầy: C ′ là phạm trù con đầy của C nếu lớp các đối tượng của C ′ là một lớp con của C và
với mọi x , y ∈ C ′ ta có
HomC ′(x , y) = HomC (x , y). (4)
3
Nhóm Galois
Hiển nhiên C ′ → C là một hàm tử đầy chung thuỷ. Ngược lại với mọi hàm tử đầy chung
thuỷ F : D → C , tồn tại một phạm trù con đầy C ′ của C sao cho F phân tích qua một
tương đương phạm trù giữa D và C ′.
3 Bổ đề Yoneda và phương pháp mở rộng phạm trù
Để phát biểu mệnh đề Yoneda, ta cần bổ sung một số khái niệm:
• Nếu C là một phạm trù, ta ký hiệu C opp là phạm trù đối của nó. Đối tượng của C opp
cũng chính là đối tượng của C , các cấu xạ cũng là cấu xạ của C nhưng bị đảo chiều
HomC opp(x , y) = HomC (y, x), (5)
cấu trúc hợp thành của C opp cũng là cấu trúc hợp thành của C .
• Nếu C và D là hai phạm trù, ta ký hiệu Fun(C ,D) là phạm trù mà đối tượng là các
hàm tử F : C → D. Cấu xạ f : F → G giữa hai hàm tử như vậy là một qui luật
cho ứng với mỗi đối tượng X ∈ C một cấu xạ f (x) : F x → Gx sao cho với mọi
g ∈ HomC (x , y) ta có biểu đồ giao hoán:
F x Gx
F y G y
f (x)
F(g) G(g)
f (y)
(6)
Cho C là một pham trù và x ∈ C là một đối tượng của C .
Khi đó ta có hàm tử hx : C opp → Set từ phạm trù đối C opp vào phạm trù các tập hợp, xác
định bởi
hx(y) = HomC (y, x) (7)
với mọi y ∈ C ; với mọi f ∈ HomC (z, y) ta có hx( f ) : hx(y)→ hx(z) cho bởi g 7→ g ◦ f với
mọi g ∈ HomC (y, x).
Tương tự như vậy, ta có hàm tử hx :C → Set từ phạm trù đối C vào phạm trù các tập hợp,
xác định bởi
hx(y) = HomC (x , y) (8)
với mọi y ∈ C ; với mọi f ∈ HomC (y, z) ta có hx( f ) : hx(y)→ hx(z) cho bởi g 7→ f ◦ g với
mọi g ∈ HomC (x , y).
Dễ thấy nếu ta chuyển từ phạm trù C sang phạm trù đối thì hx trờ thành hx và ngược lại.
Như vậy trên lý thuyết, hai hàm tử trên thực chất là một. Tuy vậy vì C và cCopp có cấu trúc
rất khác nhau, trong nhiều trường hợp hx rất dễ hình dung trong khi đó hx thì không dễ.
Có thể chỉ ra một vài ví dụ:
• Cho C là phạm trù các nhóm Abel, X = Z/2Z khi đó với mọi nhóm Abel Y ta có hX (Y )
là tập các phần tử y ∈ Y sao cho 2y = 0.
4
Nhóm Galois
• Cho C là phạm trù các đại số trên một trường k nào đó. Giả sử
R= k[x1, . . . , xn]/( f1, . . . , fm)
là thương của vành đa thức n biến x1, . . . , xn chia cho ideal sinh bởi các đa thức
f1, . . . , fm, khi đó với mọi k-đại số A, h
R(A) = HomC (R,A) là tập các nghiệm của hệ
phương trình f1 = . . .= fm = 0 với x1, . . . , xn ∈ A.
• Nếu C là phạm trù các không gian topo và x là tập điểm, nghĩa là tập chỉ có đúng
một phần tử cùng với cấu trúc topo hiển nhiên, khi đó với mọi không gian topo, hx(y)
chỉ đơn giản là tập hợp y bỏ đi cấu trúc topo.
• Nếu C là phạm trù các lược đồ trên một trường k cho trước, và X = Spec(k[ε]/ε2),
khi đó hX (Y ) là tập các k-vector tiếp xúc trên lược đồ Y .
Bây giờ ta sẽ phát biểu một mệnh đề quan trọng và đúng cho mọi phạm trù, đó là bổ đề
Yoneda. Một mệnh đề đúng cho mọi phạm trù thì hẳn phải tầm thường nhìn từ quan điểm
toán học.
Với ký hiệu như ở trên, ta thấy hx là một đối tượng của một phạm trù Fun(C , Set). Hơn nữa
qui luật x 7→ hx xác định một hàm tử
h• :C opp→ Fun(C , Set). (9)
Bổ đề Yoneda phát biểu rằng hàm tử h định nghĩa như trên là một hàm tử đầy chung thuỷ;
có nghĩa là với mọi đối tượng x , y ∈ C opp ta có một song ánh
h• : HomC opp(x , y) = HomC (y, x)→ HomFun(C ,Set)(hx ,hy). (10)
Tương tự như vậy, hàm tử
h• :C → Fun(C opp, Set) (11)
là một hàm tử đầy chung thuỷ.
Bạn đọc nên thử tự chứng minh bổ đề Yoneda. Nếu bạn đọc chưa quen với khái niệm phạm
trù, đây sẽ là một dịp tốt để luyện tập vì chứng minh này không dùng gì khác ngoài định
nghĩa thuần tuý của phạm trù. Còn nếu bạn đã quen với phạm trù rồi thì hẳn bạn đã một
lần thử sức chứng minh bổ đề Yoneda.
Dù rằng mọi định lý toán học đều là một dạng trùng ngôn (tautology), Bổ đề Yoneda là
một dạng trùng ngôn thuần tuý theo nghĩa nó không bao hàm bất kỳ một nội dung toán
học nào theo nghĩa truyền thống. Mặc dù vậy, nó tải trên mình hai triết lý rất sâu sắc.
Thứ nhất, thông tin về cấu trúc nội tại của mỗi đối tượng hoàn toàn chứa trong sự tương
tác của nó với các đối tượng khác. Ví dụ như thay vì việc nghiên cứu cấu trúc nội tại của
một vành giao hoán R, tức là một tập hợp được trang bị một số cấu trúc đại số, ta có thể
nghiên cứu tập hợp các đồng cấu vành Hom(R,A) với A là một vành biến thiên. Trong hình
học đại số, đây là quan điểm "hàm tử điểm" (functor of points) của Grothendieck.
Thứ hai, mọi phạm trù C có một mở rộng tự nhiên là phạm trù Fun(C opp, Set) các hàm tử
từ C opp vào phạm trù tập hợp. Thông thường để mở rộng một phạm trù C , ta sẽ tìm một
phạm trù kẹp giữa C và Fun(C opp, Set). Trong hình học đại số, khái niệm lược đồ được
xây dựng như một mở rộng của khái niệm lược đồ affine; lược đồ được xây dựng bằng
5
Nhóm Galois
cách dán các lược đồ affine lại với nhau. Phạm trù các lược đồ affine là phạm trù đối của
phạm trù Ring các vành giao hoán. Phạm trù lược đồ là phạm trù con đầy của phạm trù
Fun(Ring,Set) được xác định bằng một số đặc trưng nào đó. Nói cách khác, lược đồ được
đồng nhất với hàm tử điểm của nó. Quan điểm này cũng có thể được áp dụng vào hình học
vi phân, tức là phạm trù các đa tạp khả vi, hay hình học giải tích, tức là phạm trù các đa
tạp giải tích.
4 Nhóm đồng điều và kiểu đồng luân
Bất biến topo là một hàm tử a : Top → C từ phạm trù Top các không gian topo vào một
phạm trù đơn giản hơn như phạm trù tập hợp, phạm trù nhóm, hay phạm trù nhóm Abel.
Từ bất biến đây phải hiểu theo nghĩa nếu f : X → Y là một đồng phôi, tức là một cấu xạ
khả nghịch trong phạm trù Top, khi đó các bất biến tương ứng a(X ) và a(Y ) cũng phải đẳng
cấu với nhau.
Ví dụ đơn giản nhất là hàm tử pi0 : Top → Set cho ứng với mỗi không gian topo X , tập
pi0(X ) các thành phần liên thông của nó. Tương tự như vậy ta có có hàm tử nhóm đồng
điều cấp cao Hn : Top→ Ab từ phạm trù các không gian topo vào phạm trù các nhóm Abel.
Nó cho ứng với mỗi không gian topo X nhóm đồng điều cấp cao Hn(X ) và cho ứng với mỗi
ánh xạ liên tục f : X → Y một cấu xạ nhóm Hn( f ) : Hn(X )→ Hn(Y ).
Như vậy nếu X và Y là hai không gian topo đồng phôi thì các nhóm đồng điều Hn(X ) và
Hn(Y ) là các nhóm Abel đẳng cấu. Ngược lại, có rất nhiều trường hợp mà X và Y không
đồng phôi, nhưng đồng điều của chúng vẫn đẳng cấu, ví dụ như hình xuyến, phần mặt
phản nằm giữa hai đường tròn đồng tâm, và đường tròn. Hình xuyến và đường tròn là ví dụ
tiêu biểu của không gian topo không đồng phôi, nhưng có cùng kiểu đồng luân (homotopy
type).
Có thể lờ mờ cảm giác rằng hình xuyến và đường tròn có cùng kiểu đồng luân vì hình
xuyến có thê biến dạng liên tục làm độ dày của nó tiến về không và khi đó nó suy biến
thành đường tròn.
Ngôn ngữ phạm trù cho phép ta diễn đạt chính xác cái cảm giác lờ mờ này. Đối với tôi, định
nghĩa sạch sẽ của khái niệm kiểu đồng luân là một minh chứng rõ nét cho sức mạnh biểu
đạt của ngôn ngữ phạm trù.
Hai ánh xạ liên tục f0, f1 : X → Y được gọi là đồng luân với nhau nếu như tồn tại một ánh
xạ liên tục
f : [0,1]× X → Y (12)
sao cho f0(x) = f (0, x) và f1(x) = f (1, x), nói cách khác f là một biến dạng liên tục từ f0
đến f1 trên tập tham số là đoạn thẳng đơn vị.
Có thể chứng minh được rằng các ánh xạ cảm sinh
Hn( f0),Hn( f1) : Hn(X )→ Hn(Y ) (13)
là bằng nhau.
Nếu f : X → Y và g : Y → X là hai ánh xạ liên tục sao cho ta có quan hệ tương đương đồng
luân f ◦ g ∼ 1Y và g ◦ f ∼ 1X , khi đó Hn( f ) và Hn(g) là hai cấu xạ nghịch đảo giữa Hn(X )
và Hn(Y ).
6
Nhóm Galois
Tổng quát hơn, xuất phát từ phạm trù Top các không gian topo, ta xây dựng phạm trù
Homotop như sau: đối tượng của Homotop cũng vẫn là các không gian topo, đối tượng của
Top, nhưng tập các cấu xạ X → Y là tập các lớp tương đương ánh xạ liên tục f : X → Y đối
với quan hệ tương đương đồng luân. Ta định nghĩa kiểu đồng luân như một lớp đẳng cấu
trong phạm trù Homotop.
5 Tìm đọc thêm
Để tìm hiểu thêm về lý thuyết phạm trù, bạn tìm đọc quyển "Categories for the working
mathematician" của Mac Lane, một trong những cha đẻ của nó. Để tìm hiểu thêm về khái
niệm "kiểu đồng luân", bạn có thể đóc mấy trang đầu trong quyển "Algebraic topology" của
Hatcher.
7