Đề tài Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải toán 5

 tích các chữ số của nó 
	Giải :
-Gọi số có hai chữ số phải tìm là ( 1 a , b 9 )
-Theo đề bài ta có : = a x b x 3
	a x 10 + b = 3 x a x b (cấu tạo số ) ( 1 )
 Ta có : ( 3 x a x b ) : a nên ( a x 10 + b ) : a 	
	Mà : 	a x 10 : a suy ra b : a
-Ta xét 2 trường hợp :
+Nếu a = b thì ( 1 ) trở thành :
	a x 10 + a = 3 x a x a
	 11 x a = 3 x a x a
= 3 x a
 a = 11 : 3 ( không phải số tự nhiên )
Vậy trường hợp a = b sẽ bị loại.
	+Nếu a b thì :
	Vì b : a nên a 4 ( để b là một số tự nhiên có một chữ số )
	+Nếu a = 1 thì ( 1 ) trở thành ;
	1 x 10 + b = 3 x 1 x b
	 10 + b = 3 x b
= 2 x b
 b = 10 : 2
 b = 5 
	 Khi đó : = 15
	+Nếu a = 2 thì ( 1 ) trở thành :
	2 x 10 + b = 3 x 2 x b
	 20 + b = 6 x b
	20 = 5 x b	(cùng trừ đi b)
	 b = 20 : 5
	 b = 4
	 Khi đó = 24
	+Nếu a = 3 thì ( 1 ) trở thành :
	3 x 10 + b = 3 x 3 x b
	 30 + b = 9 x b
	30 = 8 x b 	(cùng trừ đi b ở 2 vế )
	 b = 30 : 8 	( không phải số tự nhiên)
	Vậy a = 3 sẽ bị loại.
	-Thử lại ;
	+Nếu = 15 thì 15 = 3 x 1 x 5
	15 = 15 ( đúng )
	+Nếu = 24 thì 24 = 3 x 2 x 4
	24 = 24 ( đúng )
1.5- Bài tập về số tự nhiên và thương các số :
	Ví dụ : Cho số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị. Tìm số đã cho, biết rằng khi chia số đó cho thương của chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì đượcthương là 20 và dư 2.
	Giải :
	Gọi số có hai chữ số phải tìm là : ( 1 b a 9 )
	Vì số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị nên a b , b 0
	Do đó ( 1 b a 9 )
	Theo đề suy ra ta có : = 20 x ( a + b ) + 2 ( 1 )
	a : b
	Ta có : ( a : b ) x 20 < 
	Suy ra : ( a : b ) x 20 < 100 ( Vì < 100 )	
	 ( a : b ) < 100 : 20
	 ( a : b ) < 5	
	Vậy : 2 < ( a : b ) < 5, suy ra ( a : b ) , hay (a : b ) = 4
	+Nếu ( a : b ) = 3 thay vào ( 1) ta được :
	 = 20 x 3 x 2
	 = 62
	+Nếu ( a : b ) = 4 thay vào ( 1) ta được :
	 = 20 x 4 + 2
	 = 82
	-Thử lại :	+Nếu = 62 ta có 62 = 20 x ( 6 : 2 ) + 2
	 62 = 62 (đúng)
	+Nếu = 82 ta có 82 = 20 x ( 8 : 2 ) + 2
	 82 = 82 (đúng) 
	Kết luận : số phải tìm là 62 hoặc 82
	1.6- Bài tập về tổng của số tự nhiên và các chữ số của nó.
	Ví dụ : Tìm số có 2 chữ số biết rằng số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 84.
	 Giải 
Gọi số phải tìm ( a , b 9 , a 0 )
Theo đề bài ta có : + a + b = 84
	Ta có thể đặt tính như sau :	ab
	 a
	 b
	84
	Nhận xét : vì a , b 9 nên b + a + b 9 x 3
	 b + a + b 27
	Suy ra : ( a + b + a ) có số nhớ đến hàng chục lớn hơn nhất là 2 .	
	Xét 3 trường hợp :
	+Nếu phép cộng trên không nhớ sang hàng chục thì a = 8 . 
Khi đó a + b + b = 4 hay 8 + b + b = 4 . Điều này vô lý vì b là số tự nhiên nên 8 + b + b > 4 với mọi giá trị của b > 0.
+Nếu phép cộng trên có nhớ 1 sang hàng chục thì a = 8 – 1 = 7 . Khi đó tổng các trị số hàng đơn vị là b + a + b = 14
	2 x a + b = 14
	2 x b = 14 – a
	2 x b = 14 – 7
	 b = 7 : 2 không phải là số tự nhiên nên loại ra.
+Nếu phép cộng trên có nhớ sang hàng chục là 2 thì a = 6 – 2 = 6
Khi đó tổng các chữ số hàng đơn vị là b + a + b là : b + a + b = 24
	2 x b + 6 = 24
	 2 x b = 24 – 6
	b = 18 : 2 = 9
	Khi đó = 69
	*Thử lại : 	69 + 6 + 9 = 84
	 94 = 84 ( đúng)
Vậy số phải tìm là : 69.
	1.7- Bài tập dùng chữ số thay chữ :
	Ví dụ : tìm biết : 
	Giải : Vì 
	Nên ( cùng chia hai vế cho )
	1001 ( *)
	11 x 91 (Cấu tạo của số )
	 91 	 (Cùng chia 2 vế cho 11)
	Nhận xét : ta thấy 91 = 1 x 91 = 7 x 13 
 Vì a, b, c biểu thị các chữ số khác nhau nên ta chọn a = 7, = 713
	1.8- Bài tập về số thập phân :
	 a).Cấu tạo số :
	Ví dụ 1 : tìm biết , - , = 17,964
	Giải : ta thấy , = 10 x , 
	Nên : - 
	Hay 17,964 = 9
	 = 19,964 : 9
	 = 1,996 . Vậy : a = 1 , b = 9 , c = 9 , d = 6
	 b).Phối hợp bốn phép tính :
	Ví dụ : tính
	=
	=
	= 0, 01
2/. Phương pháp giải
* Phương pháp dùng chữ thay số, người ta có thể dùng các chữ cái a,b,c,x, y... hoặc A.B.C.M.N... để biểu diễn số có một hoặc nhiều chữ số. Tùy từng dạng bài toán mà ta có thể sử dụng các kiến thức về:
+ Cấu tạo thập phân của số (phân tích số theo cơ số 10).
+ Tính chẵn lẻ và tận cùng của số tự nhiên.
+ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức chữ.
+ Sự chia hết của một số tự nhiên.
+ Phương pháp thử chọn.
+ Phối hợp các kiến thức trên để giải bài toán một cách hay nhất, gọn gàng, dễ hiểu. 
+ Kỹ thuật thực hiện phép tính.
* Có thể giải bài toán về số và chữ số theo 3 bước sau:
+ Bước 1: dùng chữ hay số.
+ Bước 2: Dựa vào điều kiện đề bài thiết lập biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa các điều kiện đã cho và đã biết.
+ Bước 3: Vận dụng kiến thức đã học tìm ra đáp số bài toán.
III/. Phương pháp tổ chức bồi dưỡng chuyên đề số và chữ số cho học sinh giỏi lớp 5
Đối với chuyên đề số và chữ số, chuyên đề lớn trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4 thì phương pháp tổ chức bồi dưỡng có thể là: 
a. Tổ chức cung cấp lần lượt kiến thức có liên quan đến giải bài toán về số và chữ số và giải bài tập gắn liền với nội dung phần lý thuyết vừa được cung cấp chẳng hạn chúng ta vừa cung cấp cho học sinh một số kiến thức về cấu tạo thập phân của số rồi cho học sinh thực hành luyện tập giải bài toán về số và chữ số bằng kiến thức về cấu tạo thập phân của số.
Ví dụ 1: Cho 2 số có hai chữ số. Nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị.
Giải: Gọi số phải tìm là ab (a ạ 0; b < 10)
theo bài ta có: = a + b + a x b
a x 10 + b = a + b + a x b (phân tích = a.10+b)
a x 10 = a + a x b (cùng trừ đi b)
a x 10 = a x (1 + b) (nhân một số với một tổng)
10 = 1 + b (cùng chia cho a ạ 0)
b = 10 – 1 (tìm một số của một tổng)
b = 9.
Vậy chữ số hàng đơn vị là 9.
- Cứ thế ta giúp cho học sinh biết vận dụng kiến thức đã học, qua luyện tập, thực hành các bài toán, gắn liền với nội dung kiến thức vừa được học để giải được bài toán về số và chữ số (đây mới dừng ở mức độ kỹ năng, kỹ xảo giải các bài toàn về số và chữ số, học sinh khắc sâu được kiến thức).
- Sau khi học sinh được cung cấp tất cả kiến thức cần thiết để giải các bài toán về số và chữ số (ở mức độ kỹ năng và kỹ năng và kỹ xảo) thì ta sẽ cho học sinh giải những bài toán, phải phối hợp nhiều phương pháp vận dụng, nhiều kiến thức mới tìm được đáp số, giải bài toán bằng cách hay nhất, ngắn gọn, sáng tạo.
b. Hoặc đầu tiên ta có thể hệ thống lại toàn bộ những kiến thức có liên quan đến bài toán số và chữ số (đã trình bày ở phần hệ thống các kiến thức trong SGK và mở rộng cần củng cố cho học sinh học chuyên đề số và chữ số). Những kiến thức này học sinh đã được học dần trong quá trình học toán từ lớp 1 đến lớp 5. Sau đó tổ chức cho học sinh thực hành, luyện tập để vận dụng kiến thức đã được củng cố, thông qua hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp (đủ các dạng). Qua thực hành luyện tập học sinh càng hiểu, nắm vững, khắc sâu lý thuyết liên quan đến số và chữ số. Mức độ kiến thức của học sinh được nâng dần từ kỹ năng đkỹ xảođsáng tạo. Để làm được việc này đòi hỏi giáo viên phải có sự chuẩn bị chu đáo về kiến thức lý thuyết cần cung cấp cho học sinh, cũng như nội dung thực hành, luyện tập về chuyên đề này. Hệ thống bài tập phải được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh ở từng giai đoạn, căn cứ vào đó mà chuẩn bị phương pháp dạy học chi thích hợp.
- Đầu tiên, khi học sinh vừa làm quen với bài tập về số và chữ số thì giáo viên có thể định hướng cách giải bài tập bằng cách sử dụng phương pháp gợi mở-vấn đáp cho một học sinh hoặc cả lớp.
- Chủ yếu học sinh phải tự suy nghĩ, tìm tòi, tự trình bày cách làm.
- Học sinh cả lớp cùng tham gia đóng góp xây dựng một bài giải mẫu về số và chữ số (có sự hướng dẫn của giáo viên).
Chính bài làm mẫu về số và chữ số là phương tiện trực quan giúp học sinh nắm được các bước giải bài tập về số và chữ số.
Bước 1: gọi số phải tìm là.....
Bước 2: Dựa vào đề toán thiết lập biểu thức biểu diễn quan hệ điều kiện đã biết và chưa biết.
Bước 3: Vận dụng kiến thức đã học để tìm ra đáp số bài toán.
Trong quá trình dẫn dắt, hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên có thể sử dụng phương pháp giảng giải, minh hoạ cho cá nhân hoặc cho nhóm học sinh khi có nhu cầu: giảng giải minh hoạ cho cả lớp khi giáo viên phát hiện có vần đề cả lớp chưa giải quyết được hoặc giải quyết chưa trọn vẹn. Thành công của người giáo viên là phải tạo điều kiện cho từng học sinh tham gia giải quyết vấn đề, từ đó mà thu nhận kiến thức mới, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và sự sáng tạo về giải bài tập về số và chữ số.
CHƯƠNG II
 Phương Pháp dạy tính ngược từ cuối
1/.Khái niệm Phương pháp tính ngược từ cuối
	Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp một số phép tính từ cuối đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong bài toán. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.
	Những bài toán giải được bằng phương pháp tính ngược từ cuối thường cũng giải được bằng phương pháp đại số hay đồ thị
2/.ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài toán số học
*Ví dụ 1 : 
Tìm một số biết rằng khi bớt số đó đi 2, sau đó chia cho 6, được bao nhiêu cộng với 2, cuối cùng nhân với 4 được kết quả bằng 20.
+Phân tích đề toán :
Bước 1 : từ đề toán ta có thể xác định được số trước khi nhân với 4 được kết quả là 20
Bước 2 : Dựa vào số tìm được ở bước 1, ta sẽ tìm được số trước khi cộng với 2.
Bước 3 : Dựa vào số tìm được ở bước 2, ta sẽ tìm được số trước khi chia cho 6.
Bước 4 : Dựa vào số tìm được ở bước 3, ta sẽ xác định được số cần tìm ( là số trước khi trừ đi 2)
+Giải bài toán :
Số trước khi nhân với 4 là :
	20 : 4 = 5
Số trước khi cộng với 2 là :
	5 – 2 = 3
Số trước khi chia cho 6 là :
	3 6 = 18
Số cần tìm là :
	18 + 2 = 20
Vậy số phải tìm là 20.
*Ví dụ 2 : 
Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp hai lần, sau đó cộng với 2,5 rồi trừ đi 5, cuối cùng đem chia cho 4 được kết quả 1,25
	Tương tự như ví 1 ta phân tích đề toán và giải như sau :
Giải 
	Số trước khi chia cho 4 là : 
	1,25 x 4 = 5
	Số trước khi trừ đi 5 là :
	5 + 5 = 10
	Số trước khi cộng với 2,5 là :
	10 – 2,5 = 7,5
	Số cần tìm là :
	7,5 : 2 = 3,75
	Vậy số phải tìm là 3,75
*Ví dụ 3 :
	Tìm 4 số tự nhiên, biết rằng nếu chuyển 5 đơn vị từ số thứ nhất sang số thứ hai, chuyển 7 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba, chuyển 2 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ tư và chuyển 8 đơn vị từ số thứ tư sang số thứ nhất thì ta được 4 số đều bằng 15
	*Phân tích :
	Ta có thể tóm tắt 4 bước chuyển đổi nói trong bài theo sơ đồ sau :
 Số thứ nhất -5 Số thứ hai -7 Số thứ ba - 2 Số thứ tư 	
	 - 8
	+Số thứ nhất – 5 , số thứ hai + 5
	+Số thứ hai – 7 , số thứ ba + 7
	+Số thứ ba – 2 , số thứ tư + 2
	+Số thứ 4 – 8 , số thứ nhất + 8
	Như vậy : Số thứ nhất – 5 + 8 = Số thứ hai + 5 – 7 = số thứ ba + 7 – 2 = số thứ tư + 2 – 8 = 15 . Từ đây ta áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối để xác định 4 số cần tìm.
	*Bài giải :
	Số thứ nhất là
	15 – 8 + 5 = 12
	Số thứ hai là :
	15 + 7 – 5 = 17 
	Số thứ ba là :
	15 + 2 – 7 = 10
	Số thứ tư là :
	15 + 8 – 2 = 21
	Vậy 4 số cần tìm là : 12 , 17 , 10 và 21.
3/.ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải toán có lời văn
	*Ví dụ 1 : 
	Nhà Vân nuôi được một đàn gà. Tuần đầu, mẹ bán đàn gà. Tuần thứ hai bán số gà còn lại và tuần thứ ba bán số gà còn lại sau hai lần bán trước. Cuối cùng nhà vân còn 4 đôi gà. Hỏi đàn gà nhà Vân lúc đầu có bao nhiêu con ?
	Phân tích :
	-Ta dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn số gà còn lại sau lần bán thứ hai bằng sơ đồ
 8 con
	Từ sơ đồ trên ta có thể tính được số gà còn lại sau lần bán thứ hai.
	-Ta có thể biểu diễn số gà còn lại sau lần bán thứ nhất
	 ?	
 Còn sau lần 2
Từ sơ đồ trên ta tính được số gà còn lại sau lần bán thứ nhất
	-Số gà ban đầu có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau :
 ?
 còn sau lần 1
	Từ đây ta tính được số gà của cả đàn
	*Bài giải :
	Số gà còn lại sau lần bán thứ hai :
 ?
 Bán lần 3 8 con
	Số gà còn lại sau lần bán thứ hai là :
	8 : 2 x 3 = 12 (con)
	Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất :
 ?
 bán lần 2 12 con
	Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là
: 2 x 3 = 18 (con)
Số gà lúc đầu :
 ?
 bán lần 1 18 con
Số gà ban đầu là :
	18 : 2 x 3 = 18 (con)
	Đáp số : 18 con gà
	*Ví dụ 2 :
	Thái và Bình chơi trò đánh bi. Hai bạn có tất cả 48 viên bi. Ván thứ nhất, Thái “ăn “ của Bình số bi bằng số bi mà thái có. Ván thứ hai, Bình “ăn” của Thái số bi bằng số bi còn lại của Bình. Ván thứ ba, Thái lại “ăn” của Bình số bi bằng số bi còn lại của Thái và lúc này số bi của hai bạn bằng nhau.
	Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi ?
	Từ đề toán ta có thể biểu thị bằng sơ đồ sau :
	 Bình	Thái
 Sau ván 3	
	 Bình	 Thái	
Sau ván 2
	Bình	 Thái
Sau ván 1
	Bình	 Thái	
Ban đầu
	Dựa vào sơ đồ ta thấy : Sau ván 3 thì số bi của mỗi bạn là :
	48 : 2 = 24 (viên)
	Sau ván 2 số bi của Thái là :
	24 : 2 = 12 (viên)
	Lúc đó bình có :
	48 – 12 = 36 (viên)
	Sau ván 1 số bi của Bình là ;
	36 : 2 = 18 (viên)
	Lúc đó Thái có :
	48 – 18 = 30 (viên)
	Số bi ban đầu của Thái là :
	30 : 2 = 15 (viên)
	Số bi ban đầu của Bình :	
	48 – 15 = 33 (viên)
	Đáp số : Thái có 15 viên bi ; Bình có 33 viên bi .
4/.ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải toán vui và toán cổ.
	*Ví dụ 1 : Bài toán cổ :
	Một người bán một số sầu riêng như sau : Lần đầu bán tổng số sầu riêng và thêm 1 quả, lần thứ hai bán số sầu riêng còn lại và thêm 1 quả, lần thứ ba bán số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ hai và thêm 1 quả, cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi người đó có tất cả bao nhiêu quả sầu riêng ?
	Phân tích :
	Ta có thể hiểu bài toán này như sau : Tìm một số biết rằng lần lượt lấy số đó chia cho 2 rồi trừ đi 1, được bao nhiêu lại chia cho 2 rồi trừ đi 1, cuối cùng lại chia cho 2 rồi trừ đi 1 thì còn lại 10
	Ta có thể tóm tắt bài toán như sau :
	Tóm tắt : 1
	 Chia đôi trừ 1
 1 Chia đôi trừ 1
 1	 Chia đôi trừ 1 còn 10 
	Ta phân tích bài toán đã cho để tìm cách giải :
	a)-Tìm số sầu riêng còn lại sau khi bán lần thứ hai
	Lần thứ ba nếu chỉ bán số sầu riêng còn lại sau hai lần bán mà không thêm 1 quả thì số sầu riêng còn lại cuối cùng sẽ là : 10 + 1 = 11 (quả).
	Số 11 chính là số sầu riêng còn lại sau hai lần bán. Do đó số sầu riêng còn lại sau hai lần bán là :
x 2 = 22 (quả)
b)-Tìm số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất :
Lần thứ hai nếu chỉ bán số sầu riêng còn lại sau khi bán lần thứ nhất mà không thêm 1 quả thì số sầu riêng còn lại sau khi bán lần hai sẽ là : 22 + 1 = 23 (quả). Số 23 chính là số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất. Do đó số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất sẽ là : 23 x 2 = 46 (quả)
c)-Tìm số sầu riêng trước lúc bán lần thứ nhất :
Lần thứ nhất nếu chỉ bán tổng số sấu riêng mà không thêm 1quả thì số sầu riêng còn lại bán lần nhất sẽ là : 46 + 1 = 47 (quả) . Số 47 chính là tổng số sầu riêng lúc chưa bán. Vậy số sầu riêng lúc đầu là : 47 x 2 = 94 (quả)
Bài giải :
Tổng số sầu riêng 
Bán lần thứ nhất 1
Bán lần thứ hai 1
Bán lần thứ ba 1
Còn lai 10 
 số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ hai là :
10 + 1 = 11 (quả)
Do đó số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ hai là :
11 x 2 = 22 (quả)
 số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất là :
22 + 1 = 23 (quả)
Do đó số sầu riêng còn lại sau lần bán thứ nhất là :
23 x 2 = 46 (quả)
 số sầu riêng lúc chưa bán là : 
46 + 1 = 47 (quả)
Do đó số sầu riêng lúc chưa bán là : 
27 x 2 = 94 (quả)
Đáp số : 94 quả sầu riêng.
	Ví dụ 2 : bài toán vui tìm nhau
	Tý và Tỵ bị lạc nhau trong một toà nhà cao tầng. Tìm nhau mãi mới gặp ở tầng 2. Tỵ hỏi tý : “Cậu tìm tớ thế nào ? ”. Tý thở hổn hển : “ Khi phát hiện ra không thấy cậu, tớ đi xuống tầng 5, lại đi lên tầng 6 và cuối cùng đi xuống tầng 7 thì gặp cậu ”.
	Bạn có biết khi Tý phát hiện ra không thấy Tỵ thì Tý đang ở tầng mấy không ?
	Giải :
	Trước khi xuống 7 tầng đề đến tầng 2 thì lúc đó Tý đabg ở tầng 9 ( vì 2 + 7 = 9). Trước khi lên 6 tầng để đến tầng 9 thì lúc đó Tý đang ở tầng 3 (vì 9 – 6 = 3). Trước khi xuống 5 tầng để đến tầng 3 thì lúc đó Tý đang ở tầng 8 (vì 3 + 5 = 8), Vật khi phát hiện ra không thất Tỵ thì Tý đang ở tầng 8.
	Ngoài cách trình bày ngắn gọn trên ta có thể giải bài toán này theo nhiều cách cách trình bày sau :
Cách 1 : Gọi X là số chỉ tầng mà khi Tý phát hiện ra không thấy Tỵ thì ta có :	X – 7 + 6 – 5 = 2 hay X = 2 + 5 – 6 + 7, do đó X = 8
Cách 2 :Tổng số tầng mà Tý đã đi xuống là :
	5 + 7 = 12
	 Vì đi xuống 6 tầng thì gặp Tỵ ở tầng 2 nên lúc đầu Tý đúng ở tầng thứ 8 ( vì 6 + 2 + 8).
	Vậy lúc đầu khi Tý phát hiện ra không thấy Tỵ thì Tý đang ở tầng 8
Cách 3 : Trước khi Tý xuống tầng 2 (gặp Tỵ) thì lúc đó Tý ở tầng 9.
	 	(Vì 2 + 7 = 9 ).
	Tý xuống 5 tầng rồi lại lên 6 tầngthì coi như lúc đầu ở tầng bị lạc nhau Tý đã đi lên 1 tầng (vì 6 – 5 = 1).
	Vậy khi Tý phát hiện ra không thấy Tỵ thì lúc đó Tý đang ở tầng 8 (vì 9 – 1 = 8).
Cách 4 : Tý đi xuống 5 tầng rồi đi lên 6 tầng thì lúc đó Tý đã vượt qua tầng bị lạc nhau là : 7 – 1 = 6.
	Từ tầng bị lạc nhau, Tý đi xuống 6 tầng đến tầng 2 thì gặp Tỵ. Do đó lúc bị lạc nhau Tý đang đứng ở tầng 8 (vì 6 + 2 = 8).
5/.ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối đề giải bài toán về tính tuổi.
5.1.Những kiến thức cần lưu ý đến học sinh :
	-Các bài toán tính tuổi thuộc dạng toán điển hình, tìm 2 số khi biết tổng và hiệu, biết tổng và tỉ hoặc biết hiệu và tỉ.
	-Đối với các bài toán này ta thường dùng phương pháp “ Sơ đồ đoạn thẳng “ để giải, dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng tuổi trong từng thời kỳ ( trước đây, hiện nay và sau này )
	-Hiệu số của hai người không thay đổi theo thời gian.
	-Trong các bài tính tuổi của A và B thường gặp các đại lượng sau :
	+Tuổi của A và B
	+Hiệu số tuổi của A và B
	+Tổng tuổi của A và B
	+Tỉ số tuổi của A và B
	+Các thời điểm của tuổi A và B ( trước đây, hiện nay, sau này ).
5.2/ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải táon về tính tuổi :
*Ví dụ : Tuổi cháu hiện nay gấp 3 lần tuổi cháu khi cô bằng tuổi cháu hiện nay. Khi tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay thì tổng số tuổi của hai cô cháu là 96. Tính tuổi hiện nay của hai người.
*Giải bài toán 
Từ đề bài ta tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau :
	Tuổi cháu trước đây
	Tuổi cô trước đây
	Tuổi cháu hiện nay
	Tuổi cô hiện nay
	Tuổi cháu sau này 96 tuổi
	Tuổi cô sau này
	Nhìn vào sơ đồ ta có :
	Tuổi cháu hiện nay là :
	96 : ( 7 + 5 ) x 3 = 24 (tuổi)
	Tuổi cô hiện nay là 
	96 : ( 7 + 5 ) x 5 = 40 (tuổi )
	Đáp số : Cô 40 tuổi , cháu 24 tuổi.
Chương III 
Phân tích thực trạng việc giảng dạy bồi dưỡng 
học sinh giỏi thông qua các chuyên đề
1/.Phương pháp : tổ chức giảng dạy của giáo viên :
	-Hiện nay việc bồi dưỡng toán nâng cao ở các lớp là việc làm thường xuyên ở các trường tiểu học nhưng hiệu quả không cao , nguyên do là :
	+Hạn chế về trình độ chuyên môn và kiến thức toán học, do giáo viên chưa đầu tư số học sinh giỏi mà chỉ cố gắng bồi dưỡng học sinh còn yếuđể lên mức đạt yêu cầu.
	+Phần đông trình độ toán học của giáo viên chưa dáp ứng được yêu cầu giảng dạy toán nâng cao để bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về toán.
	+Thời gian học của một tiết toán quá ít, vì vậy đa số chỉ đạt ở mức độ được giao , không chịu đầu tư nghiên cứu chương trình nội dung toán nâng cao để năm vững kiến thức và nắm vững phương pháp dạy toán nâng cao.
	-Hiện nay trong nội dung chương trình toán các lớp ở bậc tiểu học đã bỏ hẵn các bài toán sao ( toán nâng cao) để dạy cho học sinh khá giỏi, vì vậy giáo viên chỉ dạy đủ trong sách giáo khoa là đã xem như hoàn thành việc dạy và học của mình, không có cơ hội để tìm hiểu thêm về toán nâng cao. Nếu có phát hiện thì cũng chỉ dừng ở mức độ là cho thêm các bài toán nâng cao để học sinh khá giỏi làm ở nhà, đôi khi lại không sửa chữa chỉ dẫn các bài toán này khi học sinh đã làm.
	-Phương pháp bồi dưỡng học sinh có nâng khiếu thường được tiến hành theo qui trình của từng giáo viên hoặc của ban giám hiệu nhà trường cùng tập thể thống nhất phương pháp giảng dạy như sau :
	+Củng cố cá