Đề tài Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải Toán hình học 7

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 7
Học sinh thuyết minh về cách chứng minh hình
A. Lý thuyết: Một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS
Bài toán 1: Dựng một tam giác khi biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c.
Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
- Dựng đường tròn (A;b). Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia Ax.
- Dựng đường tròn (A;c) và đường tròn (C;a), gọi B là giao điểm của chúng.
Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
- Chú ý: Nếu hai đường tròn (A;c) và (C;a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng: Gọi góc xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn(O;r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được OAB.
- Dựng O’A’B’ = OAB(c.c.c) như bài toán 1, ta được: 
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
 - Dựng đường tròn (A;r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
 - Dựng các đường tròn (B;r) và (C;r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia phân giác của góc xAy.
Thật vậy: ABD = ACD (c.c.c) 
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
- Dựng hai đường tròn (A;AB) và (B;BA) chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
* Chú ý: Đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Cách dựng;
 - Dựng đường tròn (O;r) cắt a tại A, B.
 - Dựng đường trung trực của AB.
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tùy tiện.
B. Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ
Sau đây là một số cách đơn giản nhất, thông dụng để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học 7 được minh họa 
Học sinh thảo luận nhóm để tìm ra cách chứng minh một bài toán hình học
* Cách 1: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng , vẽ tia phân giác của một góc.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC (H BC), DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1). Phân tích bài toán:
Cho tam giác ABC có AB = 10cm, D là trung điểm của cạnh AB.Vẽ DH vuông góc với BC (HBC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2). Hướng suy nghĩ:
ABC cân tại A AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
GT
ABC ; AB =10cm; BC = 12cm; DA = DB = AB; DH BC
 DH = 4 cm
KL
ABC cân tại A
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC = 6cm.
Lại có: BD = AB = 5cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét HBD vuông tại H có: 
Từ đó : BD = DA; BH = HK (=3cm)
DH // AK (đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: 
Xét ABK và ACK có;
BK = KC (cách dựng )
 (bằng 900)
AK là cạnh chung
ABK = ACK (c.g.c)
AB = AC
ABC cân tại A
4) Nhận xét:
 Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC,từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm bài toán phụ là: Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: 
Cho tam giác ABC có góc B bằng góc C. Chứng minh rằng: AB = AC.
1). Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có góc B bằng góc C
Yêu cầu chứng minh: AB = AC
2). Hướng suy nghĩ:
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của góc BAC (Điểm I thuộc cạnh BC)
3). Chứng minh:
GT
ABC; 
KL
AB = AC
 Vẽ tia phân giác của góc BAC là AI (I thuộc BC) 
Suy ra : . Mà : (gt)
Suy ra: 
Xét ΔABI và ΔACI có: 
 (cmt)
Cạnh AI chung
 (cmt)
Suy ra: ΔABI = ΔACI (g.c.g)
Suy ra: AB = AC (2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét :
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
* Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Cô trò cùng nhau thảo luận về phương pháp chứng minh hình.
Bài toán 3: Chứng minh định lý: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền (Bài 25 / 67 - SGK toán 7 tập 2).
1) Phân tích bài toán: 
 Bài toán cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: AM = 
2) Hướng suy nghĩ:
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
3) Chứng minh
GT
ABC; = 900
AM là trung tuyến	
KL
 AM = BC
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét MAB và MDC có:
MA = MD (theo cách lấy )
 (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
Vậy MAB = MDC (c.g.c)
AB = CD (2 cạnh tương ứng).
 và (2 góc tương ứng)
AB //CD (vì có cặp góc so le trong bằng nhau )
Lại có: ACAB (gt)
AC CD (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)
= 900
Xét ABC và CDA có:
AB = CD (cm trên)
= 900
AC là cạnh chung
ABC = CDA (c.g.c)
 BC = AD (2 cạnh tương ứng )
Mà AM = AD AM = BC
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh AM = BC ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AM = AD. Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh và (Bài 7/24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho: Tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh và 
2). Hướng suy nghĩ:
Hai góc và không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc và và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
3) Chứng minh.
GT
ABC; AB < AC
M là trung điểm của BC	
KL
So sánh và 
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD =MA.
Xét MAB và MDC có;
MA = MD ( theo cách dựng)
 (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
Xét MAB = MDC (c.g.c)
AB = CD ( 2cạnh tương ứng)
và (hai góc tương ứng)
Ta có AB = CD mà AB < AC (gt) CD < AC.
Xét ACD có: CD < AC
 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà(theo chứng minh trên)
 hay 
4) Nhận xét:
 Trong cách giải bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. ta đã chuyển và về cùng một tam giác bằng cách vễ đường phụ như trong bài giải, lúc đó ta chỉ còn phải so sánh và ở trong cùng một tam giác ADC.
* Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD (Bài 38 / 124 SGK Toán 7 tập 1)
(Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lý: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
Để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
 3) Chứng minh:
GT
AB // CD; AC // BD
KL
 AB =CD; AB =BD 
Nối A với D
 Xét ΔABD và ΔDCA có:
+ (so le trong do AB // CD)
+ AD là cạnh chung
+ (so le trong do AC // BD)
Vậy ΔABD = ΔDCA (g.c.g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng )
4) Nhận xét:
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ΔABD = ΔDCA.
Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc, cạnh, góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
* Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng.
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau.Chứng minh rằng: ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều.
Phân tích bài toán:
Bài cho rABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh rABC là tam giác vuông và rABM là tam giác đều.
Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minhrABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra AB AC và suy ra 
Chứng minh:
GT
ΔABC;
trung tuyến AM
 KL
ΔABC vuông
ΔABM đều
Vẽ MI AC ( I AC)
Xét ΔMAI và ΔMAH có:
AM là cạnh chung
 (gt)
Vậy ΔMAI = ΔMAH (cạnh huyền, góc nhọn)
MI = MH (2 cạnh tương ứng)
Xét rABH và rAMH có:
 vì cùng bằng 900
AH là cạnh chung
 (gt)
Vậy ΔABH = ΔAMH (g.c.g)
BH = HM (2 cạnh tương ứng)
Từ đó suy ra, BH = HM = BM = CM
MI = CM
Xét rMIC vuông tại I có MI =CM nên , từ đó suy ra: 
VậyrABC vuông tại A. Vì ,=> 
Lại có AM = MB = BC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
rABM cân tại M và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm () thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC (AB < AC).Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ΔABC (AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm ra cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
3) Chứng minh:
ABC; AB < AC; 
 GT MB = MC = BC, AHDE
AH là tia phân giác 
 KL BD = CE
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE tại F.
Xét ΔMBF và ΔMCE có:
 (so le trong do BF // CE) 
MB = MC (gt) 
 (đối đỉnh)
Vậy ΔMBF = ΔMCE (g.c.g) BF = CE (2 cạnh tương ứng)
Mặt khác ADE có AHDE và AH cũng là tia phân giác của (gt)
Do đó: ΔADE cân tại A 
Mà BF // CE (theo cách vẽ) 
Do đó 
ΔBDF cân tại B
 BF = BD
Từ đó suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
Năm cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “Tam giác bằng nhau”, và nhiều khi cũng cần sử dụng một phương pháp nữa trong giải toán đó là “Phương pháp tam giác đều”
* Cách 6: Phương pháp “Tam giác đều”
Đây là phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ta xét một bài toán điển hình:
Bài toán 8: 
Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD =BC. Chứng minh rằng: 
1) Phân tích bài toán:
 	Bài cho tam giác ABC cân tại A, ; AD = BC (D AB). Yêu cầu chứng minh:
2) Hướng suy nghĩ:
 	Đề bài cho tam giác ABC có góc ở đỉnh là 200 , suy ra góc ở đáy là 800.
Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều, Do đó vễ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
rABC; AB = AC;
Ta có: 
AD = BC (D AB)
KL
Ta có:rABC; AB=AC; (gt). 
Suy ra: 
Vẽ tam giác đều BCM (M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta được: AD = BC = CM.
ΔMAB = ΔMAC (c.c.c) 
Xét rCAD và rACM có:
AD = CM (cmt)
 (vì đều bằng 200)
AC là cạnh chung
Vậy rCAD = rACM (c.g.c)
=> do đó: 
4) Nhận xét:
1. Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác đều bằng nhau dễ dàng.
2. Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM (M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM (M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM (M và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ax).
Ngoài ra còn có những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn đến điều phải chứng minh, còn cách khác còn tùy thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình Học.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, .Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC . Chứng minh: rOBC cân.
1). Phân tích bài toán:
 Bài toán cho tam giác ABC vuông tại A, .Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Yêu cầu chứng minh: rOBC cân.
2) Hướng suy nghĩ:
 Ta thấy, có là số đo của mỗi góc trong tam giác đều. Do đó sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán.
3) Chứng minh:
GT
rABC; ; 
O thuộc tia BA; BO = 2AC
KL
ΔOBC cân tại O.
Ta có: ΔABC; ;(gt)
Vẽ tam giác đều BCM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: 
Gọi H là trung điểm của OB thì ΔHMB = ΔABC (c.g.c)
Xét ΔMHB và ΔMHO có:
HO = HB (cách vẽ)
HM là cạnh chung
Suy ra: ΔMHB = ΔMHO(c.g.c)
MO = MB(2 cạnh tương ứng)
ΔMOB cân tại M 
Xét ΔMOB và ΔMOC có:
OM là cạnh chung
MB = MC (ΔMBC đều)
Suy ra: ΔMOB = ΔMOC (c.g.c)
 OB = OC(2 cạnh tương ứng)
 ΔOBC cân tại O
4) Nhận xét: 
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát hiện thấy: , ta có là số đo của mỗi góc trong tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được rHMB = rABC (c.g.c); dẫn tới rOBC cân tại O. Đó chính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”.
=> Kết luận:
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình Học 7 là phương pháp học nhằm phát huy cao độ năng lực tự giác, chủ động và sáng tạo một cách khoa học nhất của học sinh. Qua đó nhằm giúp các em khỏi bỡ ngỡ trước các bài toán cũng như người giáo viên đỡ vất vả giải thích mà có khi hiệu qủa lại không cao.
Qua một thời gian giảng dạy và trao đổi nghiên cứu hiệu quả của học sinh lớp tôi nhận thấy. Với phương pháp này hứng thú học tập của các em được nâng cao, các em thích thú và chủ động tìm ra lời giải cho các bài mà trước đây các em bỏ qua. Còn bản thân mỗi giáo viên có thêm một phương pháp dạy học đạt hiệu quả hơn.