Đề tài Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh lớp 6

ãy cho biết thứ tự ưu tiên cho dấu ngoặc nào trước ?
GV: Trong dấu ngoặc gồm những phép toán nào ? Thứ tự thực hiện của chúng ra sao ?
a) 
Trong quá trình giải bài toán GV cần đặt ra các câu hỏi có liên quan đến kiến thức trọng tâm của dạng toán để áp dụng giải bài tập. Các bài toán trên chúng ta đã sử dụng các kiến thức nào để giải ? Để nhằm giúp HS khắc sâu các kiến thức.
Qua bài toán trên nhằm rèn khả năng tính toán cho HS, giúp cho các nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính trong toán đồng thời cũng rèn luyện khả năng tư duy cho các em. Đặc biệt trong quá trình dạy học GV cần đặt nhiều câu hỏi gợi ý cho sinh nhằm giúp cho các em nắm vững kiến thức.
Ví dụ 2 ( Bài tập 92 phương pháp giải toán 6 tập 2 tr 157 )
	Quãng đường từ nhà đến trường dài 1200m. An đi xe đạp được quãng đường thì bị hỏng xe. An đành phải gửi xe và đi bộ đến trường. Tính quãng đường An đi xe đạp và đi bộ.
Gợi ý bài toán
GV: Đây là bài toán liên quan đến kiến thức nào ? 
 GV: Xác định đâu là b và đâu là ?
GV: Quãng đường An đi bộ chiếm bao nhiêu phần quãng đường từ nhà đến trường ?
 Giải:
Quãng đường An đi xe đạp là 
Quãng đường An đi bộ là 
Qua bài toán rèn luyện cho HS khả năng phân tích đúng bài toán và biết cách giải đúng bài toán, cho HS thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tế. Do đó trong quá trình dạy học GV cần tạo được sự tò mò, hứng thú và muốn khám phá sự hiểu biết của mình để nhằm làm tăng khả năng học tập cho các em.
 II/ Bồi dưỡng năng lực định hướng đường lối giải bài toán
 1. Cơ sở xác định biện pháp 
	Công việc định hướng tìm đường lối giải bài toán là một vấn đề khó khăn cho những học sinh yếu, kém và kể cả những học sinh khá, giỏi. Để giải quyết tốt bài toán thì cần phải có định hướng giải đúng. Do đó việc định hướng giải bài toán là một vấn đề rất cần thiết và quan trọng.
 2. Nội dung biện pháp 
Khi giải bài toán thì chúng ta cần phải biết đường lối giải nhưng không phải bài toán nào cũng dễ tìm thấy đường lối giải. Do đó việc tìm ra đường lối giải là một vấn đề nan giải, nó là một quá trình rèn luyện lâu dài. Ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản thì việc thực hành cũng rất quan trọng. Nhờ quá trình thực hành đó giúp cho HS hình thành nên những kỹ năng, kỹ xảo và định hướng được đường lối giải bài toán. Do đó nó đòi hỏi người dạy, người học phải có tính nghiêm túc, cẩn thận và kiên nhẫn cao.
 3. Yêu cầu của biện pháp 
	Việc xác định đường lối giải chính xác sẽ giúp cho HS giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn và tránh mất được thời gian. Chính vì vậy, đòi hỏi mỗi GV cần phải rèn luyện cho HS khả năng định hướng đường lối giải bài toán là điều không thể thiếu trong quá trình dạy học Toán.
 4. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( Bài tập 168d ôn tập Toán 6 tr 92 )
Tính: 	
Định hướng giải bài toán
GV: Để thực hiện được phép tính trên, trước tiên chúng ta cần làm gì ?
GV: Các phân số đó đã tối giản chưa ?
GV: Để thực hiện phép cộng phân số không cùng mẫu ta làm như thế nào ?
 Giải :
===
Qua bài toán này nhằm giúp cho HS nắm vững các kiến thức và làm quen dần các bước phân tích, lập luận bài toán cho HS.
Ví dụ 2 ( Ví dụ 64 Ôn tập Toán 6 tr 99 )
Tính nhanh: 
 Định hướng giải bài toán
GV: Hãy quan sát và nhận xét ở 3 số hạng của biểu thức ?
GV: Để tính nhanh giá trị của biểu thức trên ta cần vận dụng tính chất nào để giải ?
 Giải:
Qua bài toán này rèn luyện khả năng quan sát và vận dụng các kiến thức đã học để giải bài toán.
Ví dụ 3 ( Ví dụ 62 Ôn tập Toán 6 tr 94 )
Tính: 
 	Định hướng giải bài toán
Đối với những bài toán như thế này thì chúng ta không thể tiến hành quy đồng mẫu để tính tổng được vì làm như vậy chỉ làm mất thời gian của ta. Khi chúng ta gặp những bài toán như thế này thì cần phải tìm ra quy luật của nó.
GV: Hãy phân tích số hạng thứ nhất thành hiệu ?
GV: Tương tự hãy phân tích các số hạng tiếp theo.
 Giải:
 ;
Bài toán này nhằm tăng khả năng tư duy và lập luận cho HS một cách chặt chẽ. Tìm ra được qui luật chung để giải hợp lí và nhanh hơn.
Ví dụ 4 ( Bài 7 Em học giỏi Toán 6 tr 92 )
	Một số có ba chữ số, chữ số tận cùng bên trái là 4. Nếu chuyển chữ số 4 này xuống cuối thì được một số mới bằng số ban đầu. Tìm số đó.
 Phân tích bài toán
GV: Bài toán yêu cầu làm gì ?
GV: Theo đề bài, ban đầu ta có số có ba chữ số nào ?
GV: Hãy viết số đó dưới dạng tổng của các số ?
GV: Nếu ta đổi chữ số 4 sang phải thì ta được số có ba chữ số nào ?
GV: Hãy viết số đó dưới dạng tổng của các số ?
GV: Số ban đầu và số mới có quan hệ như thế nào ?
Giải
Số ban đầu là = 4.100 + 10.a + b = 400 +10a + b
Số mới là = a.100 + 10.b + 4 = 100a +10b+ 4
Theo đề bài ( 400 +10a + b ) .= ( 100a +10b + 4 )
	Vậy số cần tìm là 432.
Đây một dạng toán ( lớp 6 ) mà HS gặp rất ít vì trong chương trình SGK cũng hạn chế cho những dạng bài tập như thế này. Phần đông chỉ có HS khá, giỏi mới giải được vì những bài toán này đòi hỏi khả năng phân tích, tư duy, suy luận rất cao. Do đó trong quá trình dạy học GV cũng cần tăng cường những bài tập như vậy để làm tăng khả năng tư duy, suy luận cho những HS khá, giỏi và gây được hứng thú học toán của các em.
 Tóm lại: Công việc định hướng giải bài toán cho HS là một công việc quan trọng đầu tiên của một bài giải, nó đòi hỏi phải định hướng đúng nên GV cần rèn luyện thường xuyên cho HS nhằm làm tăng khả năng suy luận, lập luận một cách logic, giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và tránh được mất thời gian khi giải bài toán.
 III/ Phân loại bài toán để bồi dưỡng năng lực giải toán cho các đối tượng HS
 1. Cơ sở xác định biện pháp 
	Bồi dưỡng năng lực phân loại bài toán cũng được coi là một bước quan trọng để bồi dưỡng cho từng đối tượng HS một cách hợp lí nhất. Khi chúng ta làm tốt công việc này sẽ giúp nhiều cho việc học tập của HS, nó cũng giúp HS nắm vững các kiến thức đồng thời tăng khả năng giải toán cho các em và gây được hứng thú nhu cầu ham học toán ở tất cả các đối tượng HS.
 2. Nội dung biện pháp 
 Muốn bồi dưỡng năng lực phân loại bài toán có hiệu quả thì chúng ta cần:
-Phân biệt được mức độ của bài toán.
-Mức độ và khả năng học tập của HS.
 -Hiệu quả của việc phân loại bài toán.
 3. Yêu cầu của biện pháp 
	Việc phân loại bài toán nhằm giúp cho HS nắm vững các kiến thức đã học. Qua đó cũng đánh giá được mức độ học tập của các em đồng thời cũng tăng khả năng học toán, giải toán cho các em. Từ đó GV có thể xây dựng kế hoạch dạy học một cách hợp lí nhằm đem lại hiệu quả học tập cho HS một cách tốt nhất.
 4. Các ví dụ minh họa
Học sinh yếu
Ví dụ 1 ( Bài 1.1a, b Rèn luyện kĩ năng giải bài tập Toán 6 tập 2 tr 42 ) 
Cộng các phân số sau: a) 	b) 
Giải
Do đối tượng là HS yếu nên khi giải bài toán cần đặt nhiều câu hỏi gợi mở ở mức độ dễ.
GV: Em có nhận xét gì về mẫu của 2 phân số ( câu a )
GV: Vậy để thực hiện phép cộng 2 phân số đó ta làm như thế nào ?
a) 
Riêng câu b, GV có thể cho HS nhắc lại quy tắc cộng 2 phân số không cùng mẫu trước khi thực hiện.
HS: nhắc lại quy tắc.
GV có thể đặt thêm nhiều câu hỏi gợi ý ( các bước quy đồng mẫu ) cho HS.
b) 
 	Qua những bài toán như thế này nhằm giúp cho HS nắm lại các kiến cơ bản đặt biệt là những HS yếu kém nên GV cần thường xuyên đặt nhiều câu hỏi gợi ý, từ đó HS mới có thể giải được những bài toán cao hơn.
Học sinh trung bình 
Ví dụ 2 ( Bài 2.1a, b Rèn kuyện kĩ năng giải bài tập Toán 6 tập 2 tr 43 )
	Tìm x biết
a/ 	b/ 
Gợi ý
GV: Để tìm giá trị của x ta làm như thế nào ?
GV: Để tính tổng trên ta làm như thế nào ?
 Giải:
Đối với HS trung bình đặt các câu hỏi dễ hiểu, gợi ý các chi tiết rõ ràng để các em dễ nắm được cách giải nội dung bài tập một cách hợp lí hơn. Câu b tương tự như câu a.
Qua bài toán này nhằm giúp cho HS vận dụng được các kiến thức cộng 2 phân số và tùy thuộc vào đối tượng giáo viên có thể đặt câu hỏi gợi ý thêm cho HS.
Học sinh khá, giỏi
Ví dụ 3 ( Đề số 2 Đề kiểm tra Toán 6 tập 2 tr 30 )
	Ba người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng người thứ nhất phải mất 4 giờ, người thứ hai phải mất 6 giờ, người thứ ba phải mất 5 giờ. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả ba người làm được bao nhiêu phần công việc.
Phân tích bài toán 
GV: Người thứ nhất phải mất 4 giờ để làm xong một công việc. Vậy trong 1 giờ người thứ nhất làm được bao nhiêu phần của công việc ?
GV: Người thứ hai phải mất 6 giờ để làm xong một công việc. Vậy trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần của công việc ?
GV: Người thứ ba phải mất 5 giờ để làm xong một công việc. Vậy trong 1 giờ người thứ ba làm được bao nhiêu phần của công việc ?
Đối với HS khá giỏi chúng ta sẽ hướng dẫn qua một cách sơ xài để cho HS tự độc lập suy nghĩ cách giải nào cho hợp lí nhất.
Giải
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được công việc.
Trong 1 giờ người thứ hai làm được công việc.
Trong 1 giờ người thứ ba làm được công việc.
Vậy trong 1 giờ cả ba người làm được: (công việc )
Đây là một bài toán rất gần với thực tế của cuộc sống nên học sinh rất tòi mò về các dạng bài toán như vậy vì qua những bài toán vậy làm cho học thấy mối quan hệ của toán học với cuộc sống thực tế, đồng thời thấy được lợi ít của học toán mang lại.
Học sinh khá, giỏi 
Ví dụ 4 ( Bài tập 176 Ôn tập Toán 6 tr 93 )
Có hai xe ô tô: Xe thứ nhất chạy từ A đến B hết 3 giờ, xe thứ hai chạy từ B đến A hết 2 giờ. Xe thứ hai khởi hành sau xe thứ nhất 1 giờ. Hỏi sau khi xe thứ hai chạy được 1 giờ thì hai xe đã gặp nhau chưa ?
Phân tích bài toán 
GV: Để biết hai xe có gặp nhau hay không ta làm như thế nào ?
HS: Tìm tổng phần quãng đường của hai xe đi được. Nếu tổng quãng đường của hai xe lớn hơn hoặc bằng 1 thì hai xe đó gặp nhau.
GV: Theo đề bài thì Ô tô A đi hết mấy giờ ?
HS: Ô tô đi hết 2 giờ.
GV: Ô tô A đi được bao nhiêu phần của quãng đường AB ?
HS: Ô tô đi được quãng đường AB.
GV: Theo đề bài thì Ô tô B đi hết mấy giờ ?
HS: Ô tô A đi hết 1 giờ.
GV: Ô tô B đi được bao nhiêu phần của quãng đường AB ?
HS: Ô tô đi được quãng đường AB.
Giải
Ta có: Ô tô A đi trong 2 giờ được quãng đường AB.
Ô tô B đi trong 1 giờ được quãng đường AB.
Tổng quãng đường cả hai xe chạy được là: 
 + =( quãng đường AB ).
Vậy với thời gian trên thì hai xe đã gặp nhau.
Đây là một trong những bài toán mà học thường rất ngán ngại trong giải toán vì đa số các em còn nhỏ nên khả năng phân tích bài toán chưa cao. Do đó trong quá trình giải toán GV nên hướng dẫn cho HS tập quen dần cách phân tích những dạng toán này. Nhằm làm tăng dần khả năng phân tích cho HS và đồng thời cũng tăng khả năng giải toán cho HS.
Tóm lại: Trong quá trình dạy học GV cần thực hiện phân loại bài toán vì làm như vậy sẽ giúp ít cho HS trong quá trình học tập và cũng gây được hứng thú học tập cho HS.
 IV/ Bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp và so sánh
 1. Cơ sở xác định biện pháp 
 	Nói đến năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh thì chúng ta cũng đã biết gần như mọi ngành nghề, mọi cấp học đều sử dụng đến nó. Đặt biệt với sự thay đổi phương pháp dạy học hiện nay thì năng lực này càng được chú trọng. Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh này không thể thiếu được trong toán học vì nó giúp cho học sinh tăng khả năng suy luận, sáng tạo trong giải toán và tự chiếm lĩnh tri thức. Qua đó cũng giúp cho HS hiểu rõ, hiểu sâu, hiểu rộng về vấn đề toán học.
 2. Nội dung của biện pháp 
	Muốn rèn luyện cho HS khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh tốt các bài toán chúng ta cần:
-Cần nắm vững các kiến thức cơ bản.
-Nắm kỹ nội dung của bài toán.
 	+Bài toán đã cho ta biết điều gì ?
 	+Yều cầu của bài toán là gì ( cần tìm cái gì ) ?
+Bài toán thuộc dạng toán nào ( nhận dạng bài toán) ? Để từ đó tìm mối quan hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm.
-Tổng hợp các dữ kiện để tìm ra lời giải.
 3. Yêu cầu của biện pháp 
	Nhằm giúp HS từng bước tăng khả năng tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận và sáng tạo trong giải toán.
 4. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( Ví dụ 71 Toán bồi dưỡng HS lớp 6 tr 65 )
Tìm số bị chia và số chia biết rằng thương bằng 5, dư bằng 12 và tổng của số bị chia, số chia, số dư bằng 150.
Phân tích bài toán ( theo sơ đồ đoạn thẳng )
Đặt: a là số bị chia; b là số chia; r là số dư.
GV: Dựa vào sơ đồ hãy cho biết mối quan hệ giữa số bị chia và số chia ?
HS: a – r = 5b hay a = 5b + r.
GV: Tổng của số bị chia, số chia và số dư bằng bao nhiêu ?
HS: a + b + r = 150
GV: Ngoài cách biễu diễn đó, còn có cách nào thể hiện mối quan hệ của tổng đó hay không ?
HS: 6b + r + r = 150 hay 6b = 150 – r - r = 150 -12 - 12 = 126
GV: Dựa vào đó ta có thể tìm được số chia b hay không ?
HS: b = ( số chia )
GV: Khi tìm được số chia ta có thể tìm được số bị chia a hay không ?
HS: a = 5b + 12 = 5.21 + 12 = 117
Giải
Từ sơ đồ, ta thấy 6 lần số chia bằng 150 - 12 -12 = 126
Số chia bằng 126 : 6 = 21
Số bị chia bằng 21.5 + 12 = 117.
Vậy số chia cần tìm là 21 và số bị chia là 117.
Qua bài toán nhằm làm tăng khả năng phân tích bài toán cho HS, việc lựa chọn phương pháp phân tích không phải vấn đề dễ do đó đòi hỏi GV và HS cần phải rèn luyện thường xuyên. Vì vậy trong quá trình phân tích bài toán GV cần lựa chọn phương pháp phân tích phù hợp và làm cho HS dễ hiểu.
Ví dụ 2 ( Bài tập 206 b Ôn tập Toán 6 tr 107 )
Một người mang bán một sọt Cam. Sau khi bán số Cam và 1 quả thì số Cam còn lại là 50 quả. Tính số Cam mang bán.
 Phân tích bài toán ( Vẽ sơ đồ đoạn thẳng )
GV: Dựa vào sơ đồ thì số sọt Cam được chia làm mấy phần ?
HS: Sọt Cam được chia làm 5 phần bằng nhau.
GV: Sau khi bán hết số Cam trong sọt thì số Cam trong sọt còn lại bao nhiêu quả và chiếm bao nhiêu phần Cam trong sọt ?
HS: Số Cam trong sọt còn lại 51 quả chiếm số Cam trong sọt.
GV: Để biết số Cam mang bán là bao nhiêu ta làm như thế nào ?
HS: Số Cam mang bán là 
Giải
 số cam người đó có là 50 + 1 = 51 ( quả )
Vậy số cam mang đi bán là 51 : = 85 (quả)
Ví dụ 3 ( Ví dụ 80 Toán bồi dưỡng HS lớp 6 tr 71 )
Người ta điều tra trong lớp học có 40 HS thì có 30 HS Toán, 25 HS thích Văn, 2 HS không thích cả Toán và Văn. Hỏi có bao nhiêu HS thích cả hai môn Văn và Toán ?
Phân tích bài toán
GV: Dựa vào sơ đồ, hãy cho biết số HS thích cả Văn và Toán chính là phần nào của sơ đồ ?
HS: Chính là x.
GV: Trong tổng số HS thích Văn có HS thích Toán hay không ? Vậy số HS chỉ thích Văn là bao nhiêu ?
HS: Trong tổng số HS môn Văn cũng có HS thích môn Toán. Số HS thích môn Văn là : 25 – x.
GV: Tổng số HS của cả lớp là bao nhiêu ?
HS: Có 40 HS.
GV: Để tìm số HS thích cả hai môn Văn và Toán ta làm như thế nào ? 
HS: 30 + ( 25 – x ) + 2 = 40 
Giải
Gọi x là số HS thích cả môn Văn và Toán.
Số HS thích Văn mà không thích Toán là 25-x.
Theo đề bài ta có :
Vậy số HS thích cả hai môn Văn và Toán là 17 HS.
Việc giải bài toán có rất nhiều phương pháp đặt biệt là việc phân tích bài toán. Do đó trong quá trình dạy học thì GV cần lựa chọn phương pháp phân tích sau cho học sinh dễ hiểu. Đối với bài toán này thì lựa chọn phương pháp phân tích bằng phương pháp trực quan sẽ mạng lại hiệu quả rất cao, thông thường các dạng bài toán như thế này thì công việc phân tích bài toán được thể hiện ở những hình ảnh trực quan và giúp cho HS dễ hiểu hơn vì các mối quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện một cách cụ thể. Tuy nhiên tùy vào đối tượng của HS mà GV có thể đặt
thêm nhiều câu hỏi gợi ý để giúp cho các em hiểu rõ. Từ đó giúp cho các em giải các bài toán một cách dễ dàng hơn.
 V/ Bồi dưỡng năng lực giải toán bằng nhiều cách và biết lựa chọn phương án tối ưu
 1. Cơ sở xác định biện pháp
Giải toán là một quá trình thúc đẩy tư duy phát triển. Việc đào sâu, tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán chẳng những góp phần phát triển tư duy của HS mà còn góp phần hình thành nhân cách cho HS. Giúp các em không dừng lại ở một lời giải mà phải hướng tới nhiều lời giải và chọn ra một lời giải đẹp, hoàn mĩ hơn trong lúc giải toán nói riêng cũng như trong việc rèn luyện nhân cách sống của các em.
 2. Nội dung của biện pháp
HS tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán là một vấn đề rất khó. Kể cả đối với HS giỏi. Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy GV rèn luyện cho HS tìm ra nhiều lời giải là một vấn đề rất cần được quan tâm. Qua đó giúp HS tìm ra cách giải hay và ngắn gọn. Từ đó rèn cho HS tính kiên trì, sáng tạo trong học tập và dần hoàn thiện phương pháp giải toán cho bản thân.
 3. Yều cầu của biện pháp
Trong quá trình giải toán cũng như bồi dưỡng HS giỏi, mỗi GV luôn không ngừng tìm tòi nghiên cứu những những phương pháp dạy tối ưu nhất. Từ đó giúp HS lĩnh hội các phương pháp giải toán hay, phát huy được tính sáng tạo của mình. Tìm ra được nhiều cách giải hay và hợp lí.
 4. Một số ví dụ minh họa
	Ví dụ 1 ( Bài 121 SGK Toán 6 tập 2 tr 52 )
Đoạn đường sắt Hà Nội - Hải Phòng dài 102 km. Một xe lửa xuất phát từ Hà Nội đi được quãng đường. Hỏi xe lửa còn cách Hải Phòng bao nhiêu kilômét ?
Cách 1 
	Đoạn đường xe lửa đã đi (km)
	Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng 102 – 61,2 = 40,8 (km)
Cách 2
	Phần đoạn đường xe lửa chưa đi là: 1- (quãng đường)
	Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng (km).
Ở ví dụ này, sau khi xác định dạng toán, tìm hiểu được nội dung dạng toán. GV cần cho HS thấy được cả hai cách giải đã nêu ở trên đều đi đến kết quả. Nhưng cách 1 dễ thực hiện hơn cách 2, cách 1 ít sai sót hơn cách 2 do không thực hiện phép trừ về phân số. Chính vì vậy, cách 1 là cách tối ưu. Khi dạy, GV nên hướng dẫn HS làm theo cách 1.
	Ví dụ 2 So sánh hai phân số
	a) và 	b) và 
Giải
	a) và 	
Cách 1
 Quy đồng cùng mẫu, so sánh các tử với nhau.
 	. Ta có -3 < 1, khi đó: 
Cách 2
 	Sử dụng phân số trung gian.
 (Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0) (1)
 (Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Cách 3
Sử dụng tính chất a.d > b.c thì với các mẫu b, d đều dương
Ta có (-3).4 < 4.1 suy ra 
Ở đây cách 1 và cách 2 là phương án tối ưu để giải câu a này. Vì ta chỉ cần qua một phép biến đổi đơn giản đã đi đến kết quả. Cách 3 ta phải tính toán phức tạp hơn. Khi hướng dẫn HS giải một bài tập thì GV nên hướng dẫn tất cả các cách giải để từ đó cho HS lựa chọn phương án nào là hợp lí và dễ hiểu nhất.
b) và 
Cách 1
 Sử dụng phần bù đơn vị
	Ta có (1)	
	 (2) Mà (3)
	Từ (1), (2), (3) suy ra < 
Cách 2
Đưa về cùng mẫu, so sánh tử.
	Tìm mẫu chung của 2 mẫu BCNN(17, 27) = 17.27 = 459
	 (1) ; (2) 
Mà 405 < 425 nên (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra < 
Cách 3
Đưa về cùng tử, so sánh mẫu.
	Tìm tử chung của 2 tử BCNN(15,25) = 3.52 = 75
	 (1) ; (2) 
 Mà 85 > 81 nên (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra < 
Cách 4
Sử dụng tính chất a.d < b.c thì với các mẫu b, d đều dương
	15.27 < 17.25 ( Vì 405 < 425) suy ra < 
Ở ví dụ b này ta thấy ưu điểm hơn hẳn là cách 1 và cách 4 so với cách 2 và cách 3. Đối với cách 3 và cách 4 ta cần huy động nhiều kiến thức, thực hiện nhiều bước tính dễ dẫn đến sai sót còn cách 1và cách 4 thì ngược lại.
	Ví dụ 3 ( Bài 77 SGK Toán 6 tập 2 tr 35) 
Tính giá trị các biểu thức sau:
	 với 
	 với 
Giải
	 với 
Cách 1
Thực hiện theo thứ tự thực hiện các phép tính.
	Thay vào biểu thức . Ta được:
Cách 2
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, đặt a làm thừa số chung và thực hiện tính toán trong ngoặc trước sau đó mới thay giá trị .
Thay vào biểu thức . Ta được: 
Vậy giá trị của biểu thức A tại là 
 với 
Cách 1
Thực hiện theo thứ tự thực hiện các phép tính.
	Thay vào biểu thức . Ta được
Cách 2
	Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
	Vậy giá trị của biểu thức đã cho tại bằng 0.
	Ở ví dụ này, ta thấy cách thứ 2 là cách giải tối ưu. Vì cách 2 thực hiện phép tính toán ít, số nhỏ. Cách 1 thì ngược lại. Trong quá trình dạy học, dạng toán này ta rất thường gặp. GV cần cho HS nắm được quy trình giải như sau:
	Bước 1: Rút gọn biểu thức đã cho (tùy theo nội dung bài toán mà ta có các cách rút gọn khác nhau).
	Bước 2: Thế giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã được rút gọn.
	Bước 3: Tính giá trị của biểu thức số đã thu được ở bước 2.
	Bước 4: Trả lời: Vậy giá trị của biểu thức..tại .là.
Ví dụ 4 ( Bài 141SGK Toán 6 tập 2 tr 58)
	Tỉ số của hai số a và b bằng . Tìm hai số đó biết rằng a – b = 8.
Giải
Cách 1
	Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng.
	Ta có như vậy a : b = 3 : 2.