Đề tài Bài toán cực trị hình học

Trong toán học thì bài toán cực trị giúp người làm toán được rèn luyện khả năng suy luận phán đoán, kĩ năng biến đổi BPT, PT ... Đặc biệt là đối với các học sinh lớp 8 thì các em đã được trang bị đầy đủ các tập hợp số ở lớp 7; các em đã được học về các BĐT, PT, BPT nên đến bài toán cực trị là cơ hội để các em sử dụng, sâu chuỗi, thể hiện các kiến thức, kỹ năng nói trên. Đối với học sinh khá và giỏi thì đây cũng là dịp để các em thể hiện được lượng kiến thức, khả năng toán học của mình. Có lẽ vì lí do đó mà trong các đề thi học sinh giỏi môn toán thì tần suất xuất hiện bài toán cực trị là không nhỏ.
	Có thể nói đối với học sinh giỏi toán thì các em đã làm quen với bài toán cực trị ngay từ khi còn học tiểu học song cho đến lớp 7 thì việc làm quen đó còn rất hạn chế. Đến lớp 8 các em được học hằng đẳng thức, bất đẳng thức, đối xứng tâm, đối xứng trục, khoảng cách giữa hai đường thẳng song, diện tích các hình ... hơn nữa về mặt nhận thức cũng như các giá trị khác của trí não cũng già dặn hơn đủ để học sinh nghiên cứu các bài toán phức tạp, có tính biến thiên do đó cơ hội để dạy bài toán cực trị mở ra rất nhiều. chính vì vậy, đối với người dạy toán, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi toán thì không thể bỏ qua cơ hội này.
Trong năm học vừa qua tôi được giao dạy môn toán lớp 8 và bồi dưỡng học sinh giỏi môn hình học lớp 8. Đây cũng là cơ hội thôi thúc tôi tim tòi, tích lũy thêm kinh nghiệm và truyền đạt cho các em, giúp các em tìm hiểu về bài toán cực trị hình học.
	Do năm vừa qua tôi chỉ dạy lớp 8 và thời gian có hạn nên tôi mới chỉ dừng lại ở chương trình hình học lớp 8.
 Sau đây tôi xin giới thiệu một số nội dung về bài toán cực trị hình học mà tôi đã áp dụng giảng dạy cho các em trong năm học qua.
Bài toán cực trị hình học
I. Khái niệm về bài toán cực trị
 Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán có liên quan tới giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lượng hình học biến thiên nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tổng các đoạn thẳng, chu vi các hình, diện tích đa giác ...).
II. Các cách trình bày bài toán cực trị
Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách : 
	Cách 1 : Chỉ ra một vị trí của hình rồi chứng minh rằng ở đó hình có đại lượng cần tìm đạt cực trị (Lớn hơn đại lượng tương ứng với mọi vị trí khác của hình nếu là bài toán GTLN và nhỏ hơn đại lượng tương ứng với mọi vị trí khác của hình nếu bài toán tìm GTNN).
	Cách 2 : Thay một đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương ứng ( nếu được) rồi từ đó dùng đến kiến thức tìm GTLN và GTNN của A với A là một đại lượng nào đó ( góc , đoạn thẳng..)
	a/ Ta chứng minh được A ( m không đổi ) có một hình sao cho A = m thì GTNN của a là m.
	b/ Ta chứng minh được A ( n không đổi ) có một hình sao cho A = n thì GTLN của A là n. 
Từ đó xác định vị trí của các điểm để đạt cực trị.
	Cách 3 : Thay việc tỡm cực đại của một đại lượng này bằng việc tỡm cực tiểu của một đại lượng khỏc hoặc ngược lại.
III. Phân loại bài tập và ví dụ
Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên hình chiếu, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
a. Kiến thức cần nhớ:
1) Cho B ; C ; M 
 Nếu MA; A , thì : 	
 + MA MB. Dấu bằng xảy ra khi AB
 + AB AC MB MC
B
A
b
a
h
 2) Nếu a// b, khoảng cách giữa a và b là h, 
A a; B b thì độ dài nhỏ nhất của AB là h, xảy ra khi AB ^ a.
 b. Ví dụ:
Vớ dụ 1: Trờn hai cạnh BC, AC của tam giỏc đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tỡm vị trớ của M để MN cú giỏ trị nhỏ nhất.
Giải :
A
B
C
N
M
H
K
G
Kẻ MK, NH vuụng gúc với AB và MG NH. Tứ giỏc MGHK là hỡnh chữ nhật vỡ cú ba gúc vuụng, suy ra: MG = KH mà MN ³ MG ị MN ³ KH
Cỏc tam giỏc AHN, BKM đều là những tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn bằng 60o, suy ra:
AH = 
Do đú: KH = AB - (AH + BK) = AB - (
= AB - 
Suy ra: 	MN ³ ; min (MN) = 
	Û 	MN là đường trung bỡnh của DABC.
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Tỡm điểm M ở trong tam giỏc sao cho MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Giải :
A
B
C
M
F
E
D
Xột một điểm M bất kỡ ở trong tam giỏc. AM cắt BC tại D. Kẻ BE ^ AD, CF ^ AD. Ta cú:
BE Ê BD ị AM.BE Ê AM.BD
CF Ê CD ị AM.CF Ê AM.CD
 ị BE.AM + CF.AM Ê (BD + DC).AM
Nhưng BE.AM = 2SAMB
CF.AM = 2SAMC
BD + DC = BC
Do đú: 2(SAMB + SAMC) Ê BC.AM	(1)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E và F trựng với D. Khi đú AM ^ BC.
Tương tự ta cú: 
2(SABM + SCBM) Ê AC.BM	(2)
2(SCBM + SACM) Ê AB.CM 	(3)
(1) + (2) + (3):
	4(SABM + SACM + SBCM) Ê AM.BC + BM.CA + CM.AB
ị min(AM.BC + BM.CA + CM.AB) = 4SABC
Û AM ^ BC; BM ^ AC; CM ^ AB tức là M là trực tõm của DABC.
A
B
C
C’
B’
E
d
Vớ dụ 3: Qua đỉnh A của tam giỏc ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cỏch từ cỏc đỉnh B và C tới d là lớn nhất.
(Thi vụ địch toỏn cấp II, CHLB Nga)
Giải:
Ta xột hai trường hợp:
Trường hợp I: d cắt cạnh BC tại E
Gọi BB' và CC' là cỏc khoảng cỏch từ cỏc đỉnh B và C tới d. Hai tam giỏc ABE và ACE cú chung đỏy AE và cỏc đường cao tương ứng với đỏy đú là BB' và CC'. Ta cú:
SABC 	= SABE + SACE 
	= 
Ta thấy BB' + CC' nhận giỏ trị lớn nhất khi AE nhận giỏ trị nhỏ nhất, khi đú AE là đường cao kẻ từ đỉnh A của DABC, tức là d ^ BC. Nếu gọi AH là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A thỡ min (AE) = AH, do đú:
A
B'
B
M
C
d
C'
M'
//
//
 (1)
Trường hợp II: Đường thẳng d khụng cắt BC
 Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MM' ^ d. Tứ giỏc BB'C'C là hỡnh thang nhận MM' làm đường trung bỡnh nờn: BB' + CC' = 2MM'
mà MM' Ê AM (đường vuụng gúc và đường xiờn kẻ từ M tới d) do đú BB' + CC' lớn nhất khi M' º A lỳc đú BB' + CC' = 2AM và d ^ AM tại A (2)
A
B
C
M
A’
Như vậy, ứng với 2 trường hợp ta được 2 kết quả (1) và (2), do đú ta hóy so sỏnh BC với 2AM.
Trờn tia MA lấy điểm A’ sao cho MA’ = MB =MC = , dễ thấy BA’C= 900.
- Nếu MA = thỡ A º A’
 => BAC = BA’C= 900.
- Nếu MA > thỡ A’ nằm giữa M và A khi đú BA’M là gúc ngoài của D BAA’ nờn BAM < BA’M,
 tương tự CAM < CA’M, suy ra = 900.
-Nếu MA BA’C = 900.
Ngược lại, Nếu BAC = 900., theo tớnh chất đường trung tuyến của tam giỏc vuụng ta cú AM = => 2AM = BC.
Nếu BAC , vỡ nếu khụng thỡ theo trờn ta cú BAC ≥ 900
=> 2AM > BC.
Nếu BAC > 900, thỡ AM < , vỡ nếu khụng thỡ theo trờn ta cú BAC ≤ 900
=> 2AM < BC.
Từ kết quả trờn ta suy ra:
- Nếu tam giỏc ABC cho trước cú thỡ đường thẳng d đi qua A phải dựng là đường thẳng vuụng gúc với trung tuyến AM của DABC.
- Nếu bài toỏn cú hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuụng gúc với AM hoặc d' qua A và vuụng gúc với BC.
- Nếu : Đường thẳng d qua A và vuụng gúc với BC.
Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ABC . Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giỏc sao cho tổng cỏc khoảng cỏch từ B và C đến d cú giỏ trị nhỏ nhất .
Hướng dẫn: 
Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC. Vẽ BM, CN vuụng gúc với d. Sử dụng tiờn đề về diện tớch rồi biến đổi BM + CN = ( là diện tớch )
A
B
C
N
M
D
d
Do đú BM + CN nhỏ nhất nhỏ nhất AD lớn nhất. 
Sau đú giả sử AC AB rồi vận dụng quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu để tỡm cực trị.
 Giải : 
Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC .
Vẽ BM , CN vuụng gúc với d 
 Với mọi vị trớ của D trờn cạnh BC ta cú :
 SBAD + S CAD = S ABC 
 BM + CN = 
Do đú BM + CN nhỏ nhất nhỏ nhất AD lớn nhất. 
Giả sử AC AB thỡ trong hai đường xiờn AD , AC 
đường xiờn AD cú hỡnh chiếu nhỏ hơn do đú AD AC khụng đổi 
AD = AC D C .
Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB,AC .
Dạng 2: Vận dụng quy tắc các điểm, bất đẳng thức tam giác
a. Kiến thức cần nhớ:
Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luụn cú:
 AB + AC ³ BC
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC
Với n điểm A,,..A ta có :
 A+A++A A A A 
A
B
D
C
Mo
	Dấu bằng xảy ra khi A,,..Athẳng hàng.
b. Cỏc vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho tứ giỏc lồi ABCD. Tỡm điểm M cú tổng khoảng cỏch tới bốn đỉnh của tứ giỏc là nhỏ nhất.
Giải: 
Với ba điểm A, C, M bất kỳ ta cú:
MA + MC ³ AC dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M ẻ đoạn AC.
Tương tự: MB + MD ³ BD dấu "=" xảy ra Û M ẻ BD
A'
B
A
M
Mo
x
y
ị MA + MB + MC + MD ³ AC + BD; dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M vừa thuộc AC vừa thuộc BD. Vậy M là giao điểm của hai đường chộo AC và BD (trong tứ giỏc lồi hai đường chộo cắt nhau)
Vậy min(MA + MB + MC + MD) = AC + BD Û M º Mo 
Vớ dụ 2: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là xy.
a. Tỡm điểm M thuộc xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất
b. Tỡm điểm N thuộc xy sao cho là lớn nhất.
 Giải:
y
B
N
A
x
No
a. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua xy thỡ A' hoàn toàn xỏc định.
Xột tổng MA + MB = MA' + MB
Nối A' với B và ỏp dụng bất đẳng thức tam giỏc cho 3 điểm A', M, B ta cú:
	MA' + MB ³ A'B 
dấu "=" xảy ra khi M ẻ A'B khi đú M º Mo 
Vậy min (MA + MB) = A'B Û M º Mo 
b. Nếu lấy một điểm N bất kỡ trờn xy thỡ Ê AB. Giỏ trị lớn nhất của bằng AB khi và chỉ khi B là điểm nằm giữa hai điểm A và N. Suy ra:
.Nếu AB // xy khụng tỡm được điểm M thỏa món điều kiện để.
.Nếu AB khụng song song với xy. Gọi No là giao của AB và xy thỡ No là điểm cần tỡm.
Vậy max = AB Û N º No 
Vớ dụ 3: 
Cho một điểm P cố định nằm ngoài một tam giỏc đều ABC sao cho PA = 3; PB = 2. Hóy xỏc định độ dài lớn nhất cú thể được của đoạn PC và dựng tam giỏc đều ABC như thế.
A
D
B
P
C
Giải
 Trờm nửa mặt phẳng bờ AP chứa điểm B dựng tam giỏc ABD đều. 
Ta cú : DAPB = DADC (c.g.c)
ị PB = DC
Xột ba điểm P, D, C ta cú:
PC Ê PD + DC = PA + PB = 3 + 2 = 5
Vậy max PC = 5
Cỏch dựng tam giỏc ABC 
A
2
P
B
C
D
3
- Dựng tam giỏc đều PAD cú cạnh bằng 3
- Trờn tia PD dựng PC = 5
- Trờm nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm P dựng tam giỏc ACB đều. Tam giỏc ABC là tam giỏc đều phải dựng.
Do DADC = DAPB ị PB = DC = 2
Vớ dụ 4: Cho góc xOy nhọn, A nằm trong góc đó. 
Tìm trên Ox, Oy lần lượt hai điểm B và C sao cho chu
 vi ABC nhỏ nhất.
 Giải: Gọi A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox, Oy. Do tính chất đối xứng ta có AB = A1B ; CA = CA2.
 AB + BC +CA = A1B +BC +CA2 A1A2
 Dấu “=” xảy ra B, C 
Vậy nếu B và C lần lượt là giao điểm của A1A2 
với Ox, Oy trong đó A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng 
của A qua Ox, Oy thì chu vi ABC nhỏ nhất.
 Chú ý: Để sử dụng bất đẳng thức tam giác
 đôi khi ta phải thay đổi phía của một đoạn thẳng
 đối với một đường thẳng. Cụ thể ta có ví dụ sau:
Vớ dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A và điểm D cố định
 thuộc cạnh đáy BC. Hãy dựng một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất.
Phân tích lời giải: Ta đổi phía của đoạn thẳng DE đối với đường thẳng AC bằng cách tạo ra một đoạn thẳng D’E’
sao cho D’E’ = DE, E’ trùng F và D cố định.
Muốn vậy ta quay D quanh A một góc bằng
 góc BAC ( trên nửa mặt phẳng không chứa
 D, có bờ AC, dựng tia Ax sao cho
 , trên Ax lấy D’ sao cho AD’= AD).
Như vậy D’ là điểm cố định và D’F = DE 
( vì D’AF = DAE theo trường hợp c.g.c)
Ta có DF + DE = DF + FD’ DD’ (hằng số)
Do đó DF + DE nhỏ nhất DF + FD’ nhỏ nhất F là giao điểm của DD’ và AC.
Chú ý: Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm: Trong tập hợp các hình có chung một tính chất, khi ta cố định một số yếu tố không đỏi của hình, các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định, việc theo dõi vị trí của chúng giúp ta tìm được cực trị của bài toán. Cụ thể ta có ví dụ sau:
 Vớ dụ 6: Trong các hình bình hành có diện tích và một đường chéo không đổi, hình nào có chu vi nhỏ nhất?
Giải:
Xét các hình bình hành ABCD có BD cố định. Diện tích hình bình hành không đổi nên diện tíchtam giác ABD không đổi, do đó A chuyển động trênđường thẳng d // BD.
	Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất.
 Ta đổi phía của BA đối với d bằng cách lấy
B’ đối xứng với B qua d. Khi đó B’ cố định,
 BA + AD = B’A + AD B’D (hằng số)
BA + AD nhỏ nhất B’A + AD nhỏ nhất 
 A là giao điểm của d và đoạn B’D.
	Khi đó AB = AD. Vậy hình bình hành có 
chu vi nhỏ nhất khi nó là hình thoi.
Vớ dụ 7:
Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp hình vuông 
đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất
Giải : 
Cách1: A
B
C
D
O
G
K
E
F
H
Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD.Tâm của hai hình vuông này phải trùng nhau tại một điểm O
Ta có SEFGH = . 
Như vậy S nhỏ nhất Û OE nhỏ nhất.
Gọi K là trung điểm AB,ta có OE OK(hằng số); 
OE = OK Û E trùng K.
Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E, F, G, H là các trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD
Cách2: 
A
B
C
D
O
G
E
F
H
 Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD, ta chứng minh được AE = CG. 
SEFGH = EF2 vậy SEFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi EG nhỏ nhất
Û EG là khoảng cỏch giữa 2 đường thẳng AB, CD
Û EG ^ AB 
Û AECG là hỡnh chữ nhật.
Û AE = DG Û CG = DG Û G là trung điểm của DC, E là trung điểm của AB.
Dạng 3: Vận dụng các bài toán cực trị đại số
a. Kiến thức cần nhớ: Các bài toán cực trị đại số thường áp dụng
A2 + B2 ³ 0 với mọi giá trị của các biểu thức A và B, dấu “ = ” xảy ra A = B.
Tổng quát tổng các bình phương của các biểu thức thì không âm, tổng đó bằng không khi và chỉ khi giá trị của từng biểu thức đó bằng không.
Với a, b là hai số không âm ta có a + b ³ 2 dấu “ = ” xảy ra a = b. (Bất đẳng thức Côsi )
Với a, b là hai số bất kỳ ta có (a + b)2 ³ 4ab, dấu “ = ” xảy ra a = b.
Với a, b là hai số dương ta có dấu “ = ” xảy ra a = b.
Với k là số không âm ta có dấu “ = ” xảy ra k = 1.
A
B
O
K
M
H
b
a
x
y
1
2
3
 b. Ví dụ:
Vớ dụ 1:
Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhơ nhất
Giải 
Vẽ MH// OA, MK//OB thì SOHMKkhông đổi. 
Đặt SOHMK=S3, SAKM=S1,SMHB=S. 
Đặt MA = a ,MB = b.
Ta có 
 S3 = S – (S1 +S2)
 Nên 
Các tam giác AKM, MHB, AOB đồng dạng nên 
 => 
(áp dụng bất dẳng thức (a+b)24ab, xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b)
Vậy S 2S3, do đó diện tích AOB nhỏ nhất khi và chỉ khi a=b, khi đó M là trung điểm của AB suy ra B đối xứng với O qua H.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Điểm M nằm trên đường chéo AC. Hạ ME ^ AB tại E. MF ^ BC tại F. Tìm vị trí của M để diện tích DEF lớn nhất.
 Giải: 
 Cách 1: Xét AEM và DEM có chung đáy ME và đường cao tương ứng với
 đáy chung ME bằng nhau (đều là AE). 
B
E
A
 SAEM = SDEM
 Tương tự: SDMF = SCMF
Ta có: SDEF = SDEM + SMEF + SDMF
M
F
 = SAEM + SMEF + SCMF = SABC - SEFB
Vì SABC không đổi nên SDEF lớn nhất
 SEFB nhỏ nhất
D
C
Ta lại có: SEFB = 
Theo bất đẳng thức côsi ta có:
 = const (vì BF = AE)
 BE.BF 
Dấu “=” xảy ra BE = BF BEF vuông cân
 MEF vuông cân M là trung điểm AC
Nhận xét: ở cách 1 ta đã chia diện tích DEF thành tổng diện tích của các tam giác nhỏ rồi nhận dạng các tam giác có diện tích bằng nhau để thay thế để đưa về tổng của những diện tích tam giác đã có cách tính, sau đó mới sử dụng bất đẳng thức Cô si để tìm cực trị. Ngoài ra ta có thể giải theo cách khác như sau:
A
x
E
B
C
D
y
M
 Cách 2: 
y
 Đặt: BE = x > 0
 BF = y > 0 
F
 Ta có: AB = BE + EA = x + y (vì BF = EA)
x
 Ta có: SDEF = S ABCD - (SAED + SBEF + SDCF )
 = (x+y)2 - [( x+y). y + xy + (x+y).x] 
 = (x+y)2 - ( x+y)2 - xy = [(x+y)2 - xy] 
 Vì (x+y)2 = const nên SDEF max (xy) min
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: xy 
 Dấu “=” xảy ra x = y EB = BF M là trung điểm AC.
Nhận xét: Cách 2 cũng rất nhẹ nhàng vì các diện tích của các tam giác đưa ra đã có cách tính dễ dàng.
 Vớ dụ 3: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. Xột cỏc hỡnh thang cú 4 đỉnh ở trờn 4 cạnh của hỡnh vuụng và hai đỏy song song với một đường chộo của hỡnh vuụng. Tỡm hỡnh thang cú diện tớch lớn nhất và tớnh diện tớch lớn nhất ấy.
Giải: 
H
A
x
E
a - x
B
a - y
F
y
C
G
D
Gọi EFGH là hỡnh thang cú cỏc đỉnh nằm trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng và hai đỏy FG; EH song song với đường chộo BD của hỡnh vuụng.
Đặt 	 AE = x ị EB = a - x
	 CF = y ị FB = a - y
Dễ thấy DDHG = DBEF(c-g-c)
Cỏc tam giỏc EAH, FCG vuụng cõn tại A và C
Gọi S là hiệu của diện tớch hỡnh vuụng và
 diện tớch hỡnh thang EFGH thỡ:
	S = SAEH + SCFG + SBEF+ SDHG= SAEH + SCFG + 2SBEF
= = 
= = 
= 
SEFGH lớn nhất khi và chỉ khi S lấy giỏ trị nhỏ nhất. 
Điều này xảy ra khi x + y - a = 0 Û x + y = a ị x = a - y hay AE = BF; khi đú cỏc đường chộo EG và HF song song với cỏc cạnh của hỡnh vuụng và diện tớch lớn nhất của hỡnh thang phải tỡm là .
* Chỳ ý:
	Cú trường hợp để tỡm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiều
đại lượng khỏc: A = B + C + ... rồi đi tỡm cực trị của B và C... từ đú suy ra cực trị của A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thỡ C... cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại.
Vớ dụ 4:
Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất
Giải: 
Cách 1: Đã trình bày ở phần trên.
Cách 2: Đã trình bày ở phần trên. 
A
B
C
D
O
G
E
F
H
 Cách 3: 
 Xét hình vuông EFGH nội tiếp hình vuông ABCD, ta chứng minh được AE = BF = CG = DH. 
Gọi AB = a , AE = x 
Ta có : EB = FC = DG = HA = a – x.
Gọi diện tích hình vuông EFGH là S , ta có:
S = a2- 4.
 = a2- 2ax+ 2x2
 = 2(x-)2 + > = ,
 Min S = Û x = Û E là trung điểm của AB.
Cách 4: 
SEFGH nhỏ nhất Û 4S AEH lớn nhất Û 4 lớn nhất 
 Û x(a-x) lớn nhất 
Chú ý rằng x và a-x là hai số dương có tổng không đổi ( bằng a) nên diện tích của chúng
 lớn nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau. Khi đó:
 x=a - x Û x = Û E là trung điểm của AB.
Vớ dụ 5:
Trên ba cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho . Cho diện tích tam giác ABC không đổi tìm k để diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giải : 
A
B
N
C
P
M
=k 
=
Tương tự: ; 
=1-
ị SMNP SABC
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = 1
Vậy diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi k = 1.
. 
Vớ dụ 5:
C
B
A
M
N
P
	Cho tam giác ABC cân tại C. Biết =k . Vẽ các phân giác CM, AN, BP
a) Chứng minh =
b) Cho SABC = S . Tìm giá trị lớn nhất của SMNP.
 Hướng giải :
DCPN đồng dạng DCAB theo tỉ số .
 =>=>
 =>
C
B
A
M
N
P
 => =>SCPN =
 =>
SAPM=SMNB =>SAPM+SMNP=
SMNP=SABC-SCPN-SMNP-SAPM
 =()SABC
 =
 =
b) 
ị 
 Dấu “=” xảy ra k =1
 DABC đều.
Vớ dụ 6:
Cho hình vuông ABCD Cạnh a. Gọi M, N, P, là 3 điểm lần lượt lấy trên các cạnh BC; CD; AD sao cho tam giác MNP đều.
a) Chứng minh CN2-AP2 = 2BM.DP 
D
C
B
A
M’
p
N
M
b) xác định vị trí của M, N, P sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ nhất 
Hướng giải : 
a) MN2 = MC2 + CN2
 = 
 MP2 = MM’ + M’P2
 = a2 + 
 = a2 + 
MN = MP
b) S=nhỏ nhất MP nhỏ nhất MPAD
MP // AB N là trung điểm của DC, NP = NM = a
Vớ dụ 7:
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Từ điểm I thuộc miền trong của tam giác. Vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với các cạnh của tam giác. Tìm vị trí của I sao cho AL2 + BH2 + CK2 nhỏ nhất. 
A
B
C
K
L
I
H
Hướng giải : 
AL2+LI2 = AK2 + KI2 ( = AI2)
 BH2 + HI2 = BL2 + LI2 
 CK2 + IK2 = CH2 + IH2
 AL2 + CK2 + BH2
 = AK2 + CH2 + BL2
Lại có AL2 + BL2 2AL.BL
Tương tự:
 Dấu “=” xảy ra AL = BL ; BH = CH ; CK = AK
I là giao các trung trực của DABC
Vớ dụ 8:
A
B
C
D
y
x
x
K
M
N
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên BC. Điểm N di động trên cạnh CD sao cho góc MAN bằng 45. Đặt BM = x; DN = y.
a) Chứng minh hệ thức a2 = a(x + y) + xy.b
b) Xác định vị trí của M, N sao cho DMAN có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị đó theo a
Hướng dẫn: 
a)SABC = SBMA + SNAD + SAMN + SCMN
a2 = 2SKMN + SMNC
a2 = a(x + y) + (a - x)(a - y)
b) SAMN=SANK=a(x+y)
	 SAMN lớn nhấtx; y nhỏ nhất (vì a2 = a(x + y) +xy)
	 x= 0 hoặc y = 0 M º B; N º C hoặc N º D; M º C giá trị lớn nhất đó là SABC=.
Vớ dụ 9:
B
A
D
C
E
F
O
Cho tam giác ABC; O là điểm bất kì nằm trong tam giác, tia AO; BO; CO cắt BC; CA; AB tại D, E, F. Chứng minh:
a) 
b) 
c)
Dấu bằng xảy ra trong các BĐT trên khi nào ?
Hướng giải: 
a) đặt SABO= S1; SACO= S2; SBCO= S3; SABC= S
.
b) 
Tương tự 	 , 
Dấu bằng xảy ra S1= S2= S3 O là trọng tâm tam giác ABC.
c) 
Dấu bằng xảy ra S1=S2=S3 O là trọng tâm tam giác ABC.
Vớ dụ 10:
 Cho tam giác ABC; O là điểm bất kì nằm trong tam giác, các tia AO; BO; CO cắt BC; CA; AB lần lượt P, Q, R
Chứng minh: 
a, 
b, dấu bằng xảy ra khi nào? 
c, Trong ba tỉ số có một tỉ số không lớn hơn 2 và