Đề khảo sát chất lượng học thêm đợt 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường Tiểu học Thượng Quân (Có hướng dẫn chấm)

PHÒNG GD & ĐT KINH MÔN
TRƯỜNG THCS THƯỢNG QUẬN
Ngày khảo sát: 01/12/2017
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC THÊM ĐỢT II
 NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán 9 – Thời gian: 90 phút.
Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 
 1) 2(x – 3) = 9 – x
	 2) 
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A = với 
2) Cho ba đường thẳng:
(d1): y = 3x – 2; (d2): 3x – 2y = 1 và (d3): y = (m – 2)x – 3m – 5 
Tìm m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) cùng đi qua một điểm
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 18.
2) Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + 2y2 = 9
Câu 4 (3,0điểm)
Cho đường tròn (I) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MQ, MK(Q, K là các tiếp điểm) và cát tuyến MNP không đi qua tâm I (N nằm giữa M và Q). Gọi O là trung điểm của NP, tia QO cắt đường tròn tâm (I) tại H. MI cắt QK tại E.
1) Chứng minh các điểm M, K, I, Q cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh KH //MP
3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEI nằm trên đường thẳng cố định
Câu 5 (1,0 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất của x thỏa mãn 5x2 + y2 + 2x – 4xy – 3 = 0
----------------- Hết -----------------
Họ tên thí sinh ..........................................................SBD: ........................
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC THÊM ĐỢT II
 NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán 9 – Thời gian: 90 phút.
Câu
ý
Đáp án
Điểm
1
1
2(x – 3) = 9 – x
1,00
2x – 6 = 9 – x 
2x + x = 9 + 6
3x = 15 x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
0,25
0,25
0,25
0,25
2
 (2)
1,00
ĐKXĐ: x 
0,25
0,25
2x2 – x – 3 = 0
x1 = -1; x2 = 
0,25
Giá trị x = -1 không thỏa mãn điều kiện xác định, ta loại.
Vậy phương trình có nghiệm x = 
0,25
2
1
Rút gọn A = với 
1,00
Với ta có
A = 
0,25
=
0,25
= 
0,25
0,25
2
Cho ba đường thẳng (d1): y = 3x – 2 ; (d2): 3x – 2y = 1 và (d3): y = (m – 2)x – 3m – 5 Tìm m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) cùng đi qua một điểm
1,00
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình 
Giải hệ phương trình tìm được 
Do đó (d1) cắt (d2) tại A(1;1)
0,25
0,25
Để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) cùng đi qua một điểm thì A(1;1) phải thuộc đường thẳng (d3)
Do đó (m – 2).1 – 3m – 5 = 1 -2m – 7 =1m = -4
0,25
0,25
3
1
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 18.
1,00
Gọi chữ số hàng chục là x với 
Chữ số hàng đơn vị là y với 
tổng các chữ số bằng 12 nên ta có phương trình x + y = 12 (1)
0,25
Số đã cho là 10x + y
Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số là 10y + x
Vì số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình 
10y + x – 10x – y = 18 -x + y = 2 (2) 
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ 
Giải hệ phương trình tìm được (thỏa mãn)
0,25
Vậy số tự nhiên có hai chữ số là 57
0,25
2
Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x2 + 2y2 = 9
1,00
0,5
Giả sử tồn tại m để hệ có nghiệm thỏa mãn x2 + 2y2 = 9
Ta có m2 +2(m +1)2 = 9
m2 + 2m2 + 4m +2 = 9
3m2 + 4m – 7 = 0
m = 1; m = 
0,25
Vì m nguyên nên m = 1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x2 + 2y2 = 9
0,25
4
1
Chứng minh các điểm M, K, I, Q cùng nằm trên một đường tròn.
1,00
Vẽ hình đúng
0,25
Từ giả thiết có
 K, Q nằm trên đường tròn đường kính MI
Vậy các điểm M, Q,I, K cùng thuộc đường tròn đường kính MI
0,5
0,25
2
Chứng minh KH // MP
1,00
O là trung điểm của NP(I NP) nên IO NP(quan hệ vuông góc đường kính và dây)
O thuộc đường tròn đường kính MI
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MQ)	(1)
Xét đường tròn (I) có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung KQ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên KH //MP
0,25
0.5
0,25
3
Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEI nằm trên đường thẳng cố định
1,00
 Gọi A là giao điểm của MP và QK
+ Chứng minh MI QK tại E
+ Tứ giác AOIE nội tiếp đường tròn đường kính AI nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEI chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOIE. 
Gọi F là trung điểm của AI thì FA = FO nên F nằm trên đường trung trực của OA
+ Chứng minh MN.MP = ME.MI (cùng bằng MQ2)
 và ME.MI = MA.MO MN.MP = MA.MO
Vì M, N, P cho trước cố định nên O là điểm cố định
Do M,N,P,O cố định nên A là điểm cố định thỏa mãn MN.MP = MA.MO
Vậy khi I thay đổi nhưng luôn đi qua N, P thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEI nằm trên đường thẳng cố định là đường trung trực của AO
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Tìm giá trị lớn nhất của x thỏa mãn 5x2 + y2 + 2x – 4xy – 3 = 0
1,00
Nếu x nhận giá trị nào đó thỏa mãn 5x2 + y2 + 2x – 4xy – 3 = 0 thì phương trình (ẩn y) y2 – 4xy +5x2 + 2x – 3 = 0 (1) phải có nghiệm 
Phương trình (1) có nghiệm Dy 0
 (-2x)2 – (5x2 + 2x – 3) 0
4x2 – 5x2 – 2x + 3 0
-x2 – 2x + 3 0
x2 + 2x – 3 0
(x – 1)(x + 3) 0
-3 x 1
Do đó x đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm y = 2x = 2.1 = 2
Vậy y = 2 thì x đạt giá trị lớn nhất bằng 1
0,25
0,25
0,25
0,25