Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm 2015-2016 - Chuyên đề 5: Đại số tổ hợp, xác suất

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
26 
CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
1. Kiến thức cơ bản 
1.1. Đại số tổ hợp 
1.1.1. Quy tắc cộng: 
 Có n1 cách chọn đối tượng A1. 
 n2 cách chọn đối tượng A2. 
 A1  A2 =  
 Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2. 
1.1.2. Quy tắc nhân: 
Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2. 
 Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2. 
1.1.3. Hoán vị: 
 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử. 
 Số hoán vị: Pn = n!. 
1.1.4. Chỉnh hợp: 
 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một 
chỉnh hợp chập k của n phần tử. 
 Số các chỉnh hợp: !
( )!
k
n
nA
n k


1.1.5. Tổ hợp: 
 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần 
tử. 
 Số các tổ hợp: !
!( )!
k
n
nC
k n k


 Hai tính chất: k n kn nC C
 , 11 1
k k k
n n nC C C

   
1.1.6. Nhị thức Newton 
 0 1 1
0
( ) ...
n
n k n k k n n n n
n n n n
k
a b C a b C a C a b C b 

      
 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): 1
k n k k
k nT C a b

  
 Đặc biệt: 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n nx C xC x C x C      
1.2. Xác suất 
1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển:   AP A  

+ 0 P(A) 1 +   1P   ,   0P   
1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc: 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
27 
a) Quy tắc cộng xác suất 
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì: 
     P A B P A P B   
c) Quy tắc nhân xác suất 
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: 
     P AB P A P B 
2. Các dạng toán 
2.1. Bài toán đếm: 
Ví dụ 1. Cho tập  0;1;2;3;4;5A  , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 
khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. 
ĐS : 384 
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai 
chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. 
ĐS: 11040 
Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. 
ĐS:805 (cách) 
Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm 
phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439. 
Đs: n = 10. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010. 
2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên 
đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( 2n  ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã 
cho. Tìm n. 
3) Cho tập  0;1;2;3;4;5A  , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác 
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com 
2.2. Nhị thức Newton: 
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 12.
n
x
x
   
, biết rằng 
2 1
1 4 6
n
n nA C n

   
ĐS 7920 
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: 3 2 18 49n n nA C C   . 
ĐS: hệ số của x8 là 4 37 2 280C  
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
28 
2.3. Xác suất: 
Ví dụ 1. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy 
ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng 
một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng. 
ĐS 37
91
. 
Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó 
có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K). 
ĐS 13
649740
. 
Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 
0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5. 
ĐS 13
49
Ví dụ 4. Cho tập  1,2,3,4,5E  . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số 
đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. 
12
25
.
Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. 
Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt 
qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu. 
D 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1) Từ các chữ số của tập  0;1;2;3;4;5T  , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số 
khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất 
một số chia hết cho 5. 
2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học 
sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.
3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số 
trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ. 
4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu 
đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.