Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm 2015-2016 - Chuyên đề 4: Số phức

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
20 
CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC 
1. Kiến thức cơ bản. 
1.1. Các khái niệm 
1.2. Các phép toán trên số phức. 
* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức. 
 Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: 
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
    
     
 ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i    
* Phép chia số phức khác 0. 
 Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ) 
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số 
 z-1= 22 2
1 1z z
a b z


Thương 'z
z
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: 
1
2
' '..z z zz z
z z
  
2. Các dạng bài tập. 
2.1. Dạng 1: Các phép toán trên số phức. 
Ví dụ 1: Cho số phức z = 3 1
2 2
i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
21 
Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: 1(1 )(3 2 )
3
z i i
i
   

số phức liên hợp của z là: 53 9
10 10
z i  
Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết    22 1 2z i i   
 Phần ảo của số phức 2z   
Ví dụ 4: Tìm mô đun của số phức (1 )(2 )
1 2
i iz
i
 

26
5
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn 
 31 3
1
i
z
i



. Tìm môđun của số phức .z iz 
8 2 
Ví dụ 6: Tìm các số thực ,x y thỏa mãn đẳng thức: 
 a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i 
 b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i. 
 c)    33 5 1 2 35 23x i y i i      
 a) 
1
7
4
7
x
y
  

 
 b) 
9
11
4
11
x
y
 

 
 c) 
3
4
x
y

 
 Bài tập tự luyện 
Bài 1. Tìm các số thực x, y biết: 
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; 
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 
Bài 2. Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là một số thực 
Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: 3(3 2 ) (1 2 ) 11 4
2 3
x i y i i
i
    

Bài 4. Cho hai số phức: 1 2z 2 5 ; z 3 4i i    . Xác định phần thực, phần ảo của số phức 
1 2.z z 
Bài 5. Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức: 
a) z (2 3 )(1 ) 4i i i    b) 3(2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 )z i i i i      
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
22 
c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i) 
d) z = 2 5
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i i i
 
   
 e) z = (1 2 )( 4 )
(1 )(4 3 )
i i
i i
  
 
Bài 6. Tìm các số phức: 2z z và 25i
z
, biết z 3 4i  . 
Bài 7. Cho số phức z = 2 + 3i.Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
1
z iw
iz


Bài 8. Cho số phức 1 7 (3 2 )( 1 3 )
1 2
iz i i
i
    

 Tính mô đun của z và tìm tọa độ điểm biểu 
diễn hình học của z trong hệ tọa độ Oxy. 
Bài 9. Cho z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 2 ) 7 8
1
i i
i
  

. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i 
Bài 10. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. 
Bài 11. Cho số phức z thỏa mãn    21 2 3
1
ii z i z
i
   

.Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z 
trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 
Bài 12. Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, trong đó z = x + yi (x,y  Z) 
2.2. Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức. 
Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: , , ,...z z z ta sẽ sử 
dụng Dạng đại số của z là z x yi  với ,x y R 
Ví dụ 1: Tìm số phức z biết  2 3 1 9z i z i    
z= 2-i 
Ví dụ 2: Tính mô đun của số phức z biết rằng:      2 1 1 1 1 2 2z i z i i       
2
3
Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 
22 2 . 8z z z z   và 2z z  . 
số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i 
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: 1 2 3 4z i z i     và 2z i
z i


là một số thuần 
ảo. 
 12 23
7 7
z i   
Ví dụ 5: Tìm tất cả các số phức z biết 22z z z  
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
23 
Vậy z=0; 1 1 1 1;
2 2 2 2
z i z i      
Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn 2z  và z2 là số thuần ảo. 
số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i 
Ví dụ 7: Tìm số phức z biết 5 3 1 0iz
z
   
1 3z i   hoặc 2 3z i  
Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn 2z i  và   1z z i  là số thực 
z=1; z=-1+ 2i 
 Bài tập tự luyện 
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2z i   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = 1 – 2i 
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn:  2 10z i   và . 25z z  . 
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn  1 2 26z i   và . 25z z  . 
Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp: 
a) 2z  và z là số thuần ảo. b) 5z  và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. 
Bài 6. Tìm số phức z thoả mãn 2z  và z2 là số thuần ảo. 
Bài 7. Giải phương trình: 
 a) 2 0z z  . b) 2z z z  
Bài 8. Tìm số phức z biết 21( 1)(1 ) | | .
1
zz i z
i
   

Bài 9. Tìm số phức z biết: 1 1z   và (1 )( 1)i z  có phần ảo bằng 1. 
Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn: 1 5z   và 
_ _
17( ) 5z z z z  . 
Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn 
   
5
5 22
2 1 4
z
z i
i
 


   
. 
2.3. Dạng 3: Biểu diễn hình học một số phức. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z. 
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập 
hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ 
thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau: 
 Giả sử z = x+yi (x, y  R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm 
M(x;y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
24 
Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm 
M(z) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: 
 a) 1z i  =2 b) 2 1z i   c) 4 4 10z i z i    
a) (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. 
b) tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. 
c) 
2 2
1
9 16
x y  
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 
  1z i i z   
 22 1 2x y   
Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho 2 3z iu
z i
 

 là một số thuần ảo. 
   
   
2 21 1 5
; 0;1
x y
x y
    


 Bài tập tự luyện 
Bài 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những 
điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau 
a) (1 3 ) 3 2z i z i     b) 2 2z i z z i    c)  3 4 2z i   
Bài 2. Trong các số phức thỏa mãn 32 3
2
z i   . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều 
kiện: 3 2z i z i    . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun 
nhỏ nhất 
Bài 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2z i z i    .Tìm số phức z có môđun 
nhỏ nhất. 
Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 5 3z i z i     . Tìm số phức z có 
môđun nhỏ nhất. 
Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn 2 52z i   , tìm số phức z mà 4 2z i  là nhỏ 
nhất. 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
25 
Bài 7. Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z 
thỏa mãn 2 2 1z i   , hãy tìm số phức có z nhỏ nhất 
Bài 8. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện  1 2 1
1
i z
i

 

.Tìm số phức có mô đun nhỏ 
nhất, lớn nhất. 
2.4. Dạng 4. Phương trình bậc hai trên tập số phức 
 Giải phương trình bậc hai 
Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C  C, A  0) 
Phương pháp: 
 Tính  = B2 – 4AC 
*) Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = 2
B
A
  , z2 = 2
B
A
  
(trong đó  là một căn bậc hai của ). 
*) Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = 2
B
A
 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức 
2) 1 0a z z   2) 2 5 0b x x   4 2) 2 3 0c z z   
Ví dụ 2: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z   Tính giá trị biểu thức 
2 2
1 2A z z  
2 2
1 2 20A z z   
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 2 6 13 0z z   Tính 6z
z i


17 ;5