Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm 2015-2016 - Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác tính giá trị lượng giác

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
15 
CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 
1. Phương trình đưa về dạng tích 
1.1. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng 
thành tích, công thức hạ bậc, 
Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) 
ĐS: 
2
7
2 ;
3 3
2 2
3
kx
kx k Z
x k

 
 
 

   

   

*Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu 
các góc bằng nhau 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 3 3
2 3 2cos3 cos sin 3 sin
8
x x x x   (2) 
ĐS: 
 
16 2
kx k Z     
*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng 
công thức nhân 3 
Ví dụ 3. Giải phương trình : 2 22cos 2 3 cos4 4cos 1
4
x x x      
 (3) 
ĐS 
 ,
12 36 3
kx k x k        
1.2. Phương trình sử dụng một số biến đổi khác 
 Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử 
chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
16 
     
  
 
 
2 2
2
2
sin 1 cos 1 cos , cos 1 sin 1 sin
cos 2 cos sin cos sin
1 cos2 sin 2 2cos (sin cos )
1 sin 2 sin cos
1 cos 2 sin 2 2sin (sin cos )
1 sin 2 sin cos
sin cos1 tan
cos
2 sin
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x xx
x
x
      
  
   
   
   
  
  
 sin cos
4
x x     
Ví dụ 4. Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cosx x x x    (4) 
Giải 
Cách 1:   2cos 1 2sin cos 1 0x x x   
Cách 2:   2cos sin 2sin cos 2cos cos sin 0x x x x x x x      
Ví dụ 5.Giải phương trình: cos 2 3sin 2 5sin 3cos 3x x x x    (5) 
Giải 
 (2sin 1)(3cos sin 2) 0x x x     
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu 
Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm, điều quan trọng nhất 
của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng 
giác để loại nghiệm. Ngoài ra, ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot. Khi đó, có thể sử dụng một 
số công thức 
   
   
sin sin
tan tan cota cotb=
cos cos cos cos
os os
tan cot tana-cotb=
cos sin cos sin
2tan cot c
sin 2
a b b a
a b
a b a b
c a b c a b
a b
a b a b
a a
a
 
    
  
   
   
   
ot tan 2cot 2
os os
1 tan tan 1 tan a tan
cos cos cos cos
a a a
c a b c a b
a b b
a b a b
 
  
     
Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức 
Ví dụ 6. Giải phương trình: 
2cos 4cot tan
sin 2
xx x
x
  (6) 
Đs: ,
3
x l l Z     
Ví dụ 7. Giải phương trình: 
   3 2
2
4 os 2 os 2sin 1 sin 2 2 sin cos
0
2sin 1
c x c x x x x x
x
    


 (7) 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
17 
Đs: 
2 ,
3
mx m Z  
Ví dụ 8. Giải phương trình: 
23tan3 cot 2 2 tan
sin 4
x x x
x
   (8) 
Giải 
 ĐK: 
os3x 0
sin2x 0 6 3 ,
cos 0
4sin 4 0
c kx
k Z
x kx
x
 

          
 (*) 
1 1arccos ,
2 4
x m m Z      
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
2
1) os3 os2 cos 1 0 2) 2 2 sin cos 1
12
1 13)(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan 4)sin 2 sin 2cot 2
sin 2 2sin
5)sin 2 os2 3sin cos 2 0
6) tan cos cos sin 1 tan
c x c x x x x
x x x x x x
x x
x c x x x
x x x x x
        
       
    
   
 3
3 3
tan
2
2 cos sin17)2 2 os 3cos sin 0 8)
4 tan cot 2 cot 1
19)cos cos 2 os3 sin sin 2 sin 3
2
10)sin os os2 tan tan
4 4
11) tan tan 2 sin3 cos 2
12)sin cos 4
x
x x
c x x x
x x x
x xc x x x x
x c x c x x x
x x x x
x

 
 
  
         
 
            
  
 
2 2
2 2
2
2 3 3 2
7sin 2 4sin
4 2 2
13)sin sin cos sin 1 2cos
2 2 4 2
14)2sin cot 2sin 2 1
sin 315)sin cos3 sin sin 3 cos sin sin 3
3sin 4
xx x
x x xx x
x x x
xx x x x x x x
x


      
      
  
  
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
18 
3. Tính các giá trị lượng giác biểu thức lượng giác 
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 
 a) a a0 04cos , 270 360
5
   b) 2cos , 0
25
     
 c) a a5sin ,
13 2
    d) 0 01sin , 180 270
3
     
 e) a a 3tan 3,
2
   f) tan 2,
2
      
 g) 0cot15 2 3  h) 3cot 3,
2
     
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: 
 a) a aA khi a a
a a
cot tan 3sin , 0
cot tan 5 2
   

 ĐS: 25
7
 b) a aB khi a a
a a
2
0 08tan 3cot 1 1sin , 90 180
tan cot 3
    

 ĐS: 8
3
 c) a a a aC khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2 cos cot 3
2sin 3sin .cos 4 cos
   
 
 ĐS: 23
47
 
 d) a aD khi a
a a3 3
sin 5cos tan 2
sin 2cos
 

 e) a a aE khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos tan 2
2cos sin
  

 ĐS: 3
2
 
 g) a aG khi a
a a
cot 3tan 2cos
2 cot tan 3
  

 ĐS: 19
13
 h) a aH khi a
a a
sin cos tan 5
cos sin
 

 ĐS: 3
2
 
Bài 3. Cho a a 5sin cos
4
  . Tính giá trị các biểu thức sau: A a asin .cos 
 ĐS: 9
32
Bài 4. Cho a atan cot 3  . Tính giá trị các biểu thức sau: 
 A a a2 2tan cot  ĐS: 11 
Bài 5. 
 a) Cho x x4 4 33sin cos
4
  . Tính A x x4 4sin 3cos  . ĐS: 7A
4
 
 b) Cho x x4 4 13sin cos
2
  . Tính B x x4 4sin 3cos  . ĐS: B = 1 
Bài 6. 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2015-2016 
19 
 Cho x x 1sin cos
5
  và 0 090 180x  . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . 
 ĐS: 4 3 4 3; ; ;
5 5 3 4
   
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức lượng giác khi biết 
a) khi 3tan sin ,
3 5 2
          
 ĐS: 38 25 3
11
 
b) khi 12 3cos sin , 2
3 13 2
           
 ĐS: (5 12 3)
26
 
c) a b a b khi a b1 1cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
    ĐS: 119
144
 
d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )   khi a b8 5sin , tan
17 12
  và a, b là các góc nhọn. 
 ĐS: 21 140 21; ; .
221 221 220
Bài 8. Tính giá trị của biểu thức lượng giác khi biết 
a) khi 5 3cos2 , sin 2 , tan2 cos ,
13 2
         
b) khicos2 , sin 2 , tan2 tan 2     
c) khi 4 3sin , cos sin 2 ,
5 2 2
        
d) khi 7cos2 , sin 2 , tan2 tan
8
    