Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm 2014-2015 - Chuyên đề 6: Tích phân và ứng dụng của tích phân

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
29 
CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
1. Kiến thức liên quan 
1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản 
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng 
dx x C  . , aa dx ax C    
1
, 1
1
xx dx C

 


   
 
11 ( )( ) .
1
ax bax b dx C
a



  
 
ln , x 0dx x C
x
   1 .lndx ax b Cax b a   
x xe dx e C  1 .ax b ax be dx e C
a
   
ln
x
x aa dx C
a
  1 . ln
x
x aa dx C
a
 
 


   
cos sinxdx x C  1cos( ) .sin( )ax b dx ax b C
a
    
sin cosxdx x C   1sin( ) .cos( )ax b dx ax b C
a
     
2
1 tan
cos
dx x C
x
  2 1 1 tan( )cos ( ) dx ax b Cax b a   
2
1
sin
dx cotx C
x
   2 1 1 ( )sin ( ) dx cot ax b Cax b a    
1.2. Công thức tích phân 
 F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì 
 ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a   
1.3. Phương pháp đổi biến số 
1.3.1. Dạng 1 : Tính I =   '( ) ( )
b
a
f x x dx  
+ Đặt t = ( )x '( ).dt x dx  
 + Đổi cận : 
  I = 
( )
( )
( )
( ). ( )
( )
b
a
b
f t dt F t
a




 
1.3.2. Dạng 2 : Tính I = ( )
b
a
f x dx bằng cách đặt x = ( )t 
x a b 
t ( )a ( )b 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
30 
 Dạng chứa 2 2a x : Đặt x = asint, t ;
2 2
     
 (a>0) 
1.4. Phương pháp tích phân từng phần 
 * Công thức tính : ( )
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu     
 Đặt 











)(...
)(...
...
...
hamnguyenlayv
hamdaolaydxdu
dv
u 
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau: 
* Loại 1: 
( )
( ).sin ( ).
( ).cos ( ). ( )
( ). .
b
a
b
a
b
f x
a
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx



  







 , trong đó ( )P x là đa thức bậc n. 
*Loại 2: ( ).ln ( ). ln ( )
b
a
P x f x dx u f x  
1.5. Tính chất tích phân 
Tính chất 1: ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx  , k: hằng số 
Tính chất 2:  ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx     
Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b      
1.6. Diện tích hình phẳng 
1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: 
 ( )
b
a
S f x dx  (*) 
Lưu ý: 
 ( ) 0f x  vô nghiệm trên (a;b) thì 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
31 
 ( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx   
 ( ) 0f x  có 1 nghiệm ( ; )c a b thì 
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx     
1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
 1 2( ) ( )
b
a
S f x f x dx  (**) 
 Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức 
(*). 
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay 
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
 2 ( )
b
a
V f x dx  
Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương. 
2. Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 
   
 
1 1
0 0 0
4 2
3
1 0
1/ (2x+e ) x 2 / 2 3 3 / sinx+cos
2 34 / 5 / sin 2
x x xA d B e dx C x dx
x xD dx E x x dx
x


   
     
 
  
 
Lời giải 
1/ A e
2 1 32 /
ln 2 ln 2
eB
e
     
3 / 2C 
2
5 /
2
E 
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 
6 1
1 0
2 11/ 3 x 2 / x
1 3 1
xI x x d J d
x
  
   
Lời giải 
1/ 232
5
I  
2 / 28 2 3ln
27 3 2
J   
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
32 
   3
0 0
1/ 1 sin cos 2 / sinx sinI x xdx K x xdx
 
     
Lời giải 
 31/
4
I 
32 /
2
K 
  
* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu. 
 - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có 
luỹ thừa cao nhất. 
 - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. 
 - Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức. 
 - Nếu tích phân chứa dx
x
 thì đặt lnt x . 
 - Nếu tích phân chứa xe thì đặt xt e . 
 - Nếu tích phân chứa dx
x
 thì đặt t x . 
 - Nếu tích phân chứa 2
dx
x
 thì đặt 1t
x
 . 
 - Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt sint x . 
 - Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt cost x . 
 - Nếu tích phân chứa 2cos
dx
x
 thì đặt tant x . 
 - Nếu tích phân chứa 2sin
dx
x
 thì đặt cott x . 
Ví dụ 3. Tính các tích phân 
a) 
2
0
sinI x xdx

  
1
) ln
e
b J x xdx  
1
0
) xc K xe dx  
1I  
2 1
4
eJ  
1K  
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
33 
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 
a) 2y x , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2. 
b) 2y x , 2 3y x   và hai đường thẳng x =0, x=2. 
c) 2 , 2y x y x   
Lời giải 
8)
3
a S  
b) 4 
c) 9
2
Ví dụ 5 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn 
bởi 21 , 0y x y   
 16
15
 
Bài Tập tự luyện 
Bài 1: Tính các tích phân sau 
1.
1
3
0
( 1)x x dx  2. 22
1
1 1( )
e
x x dx
x x
   3. 
2
1
1x dx 
4. 
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx


  5. 
1
0
( )xe x dx 6. 
1
3
0
( )x x x dx 
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx   8. 
2
3
1(3sin 2 )x cosx dx
x


  9. 
1
2
0
( 1)xe x dx  
10. 
3
3
1
( 1). x dx

 11. 
2
1
7 2 5 
e x x dx
x
  12. 
2
2
( 3)x x dx

 
13. 
4
2
3
( 4)x dx

 14. 
2
2 3
1
1 1 dx
x x
    15. 
2 2
3
1
2x x dx
x
 
16. 
8
23
1
14
3
x dx
x
 
 
 
 
Bài 2: Tính các tích phân sau 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
34 
1. 
2
3 2
3
sin xcos xdx


 2. 
6
0
1 4sin xcosxdx

 3. 
1
2
0
1x x dx 
4. 
1
2
0
1x x dx 5. 
1 2
3
0 1
x dx
x  6. 
1
2 2
0 (1 3 )
x dx
x 
7. 
2
sin
4
xe cosxdx


 8. 
2
2 3
0
sin 2 (1 sin )x x dx

 9.
1
5 3 6
0
(1 )x x dx 
12. 
6
2
0
cos
6 5sin sin
x dx
x x

  11. 
9
4 1
x dx
x  12. 
6
0
1 4sin .cosx xdx

 
13. 
2
1
2
0
xe xdx 14. 
1
1 lne x dx
x
 15. 
1
sin(ln )e x dx
x 
16. 
1
0
1x x dx 17. 
1
2 3
0
5x x dx 18. 
8
2
3
1
1
dx
x x  
19. 
ln 5
ln 3 2 3
x x
dx
e e  20. 
1
0
xe dx 21. 
3
3
0
sin x
cos
x d
x

 
22. 
1
2
0
1 x dx 23. 
1
2
0
1
4
dx
x 24. 
1
2
0
1
1
dx
x 
Bài 3: Tính các tích phân sau 
1. 
2
2
0
cosx xdx

 2. 
1
0
sinxe xdx 3. 
2
0
(2 1) osxx c dx

 
4. 
1
0
xxe dx 5. 
1
ln
e
x xdx 6. 
2
2
0
( 1)sin xx dx

 
7. 
2
2
0
( os )sin xx c x dx

 8. 
2
2
0
sin 3xxe dx

 9. 
1
2
0
( 2) xx e dx 
10. 
1
2
0
ln(1 )x x dx 11. 
1
(2 2) ln
e
x xdx 12. 
2
0
cosx x dx

 
13. 
2
0
(2 7) ln( 1)x x dx  14. 
1
2
0
( 2) xx e dx 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 
35 
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
a) 3 21 2
3 3
y x x    , trục hoành, x = 0 và x = 2. 
b) 2 1, 1, 2y x x x     và trục hoành. 
c) 3 212 ,y x x y x   
d) 3 1y x  và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2. 
e) 2 4 , 0, 0, 3y x x y x x     
f) 3sinx, y=0, x=0, x=
2
y  
g) , Ox, 0, 3xy e x x   
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục 
hoành: 
a) 2 4 , 0, 0, 3y x x y x x     
b) cos , 0, 0,y x y x x     
c) tan , 0, 0,
4
y x y x x     
d) 22 , 1y x y   
e) 1ln , , , 0y x x x e y
e
   