Đề cương ôn tập Toán học kì 1 có đáp án

Phần I: Giải tích.
Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số :
a);         b) 
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)                                         b) 
c)   với  ;               d) .
e) .
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a);                                                  b).
c);                                      d).
e);                                                f).
g);                                                 h).
Bài4: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số   đạt cực tiểu tại điểm ,  và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
Bài 5: Tìm giá trị của m để hàm số   đạt cực đại tại .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hàm số  chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)  trên đoạn [-4 ; 4].
b)  trên đoạn [-3 : 1].
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a);
b) trên đoạn [ 1 ; 10 ].
Bài9: Tìm trên parabol  đểm Mcách điểm   một khoảng ngắn nhất.
Bài 10: Trong các hình nón (tròn xoay) nội tiếp hình cầu bán kính R. Xác định chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất.
Chuyên đề 4: Đường tiệm cận
Bài 11: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của các đồ thị hàm số sau:
a)                               b)                               c)
Bài 12: Tìm abiết tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm .
Bài 13: Tìm bbiết 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với 2 trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 6.
Chuyên đề 5: Lũy thừa, Lô garit, Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài 14: So sánh các số sau:
a)    và ;                                           b)   và .
c)  và ;                                 d) và .
e)   và ;                                    f) và .
Bài 15: Tính giá trị các biểu thức:
a)                      b)                c)
Bài 16: Tính giá trị các biểu thức sau:
a);                                     b);                               c) .
Bài 17: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a)                            b)                           c)  
d)                e)                         f)  
g) 
Bài 18: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)                              b)                           c)
d)                       e)                      f)  
g)                     h)
i)               j).
Bài19: Biết   và  .  Hãy tính các lôgarit sau theo a và b:
a)               b)                      c)                   d) .
Chuyên đề 6: Phương trình mũ và lôgarit
Bài 20: Giải các phương trình sau:
a);                b).
c);                                                       d).
e);                                        f) .
g);                                                h).
Bài 21: Giải các phương trình sau:
a);                                                 b).
c);                                     d).
e).
Bài 22: Giải các bất phương trình sau:
a);
b)
c);
d)
e);                          f).
Bài 23: Biết số tiền cả vốn lẫn lãi thu được sau n tháng khi gửi tiết kiệm Sđồng ở ngân hàng với lãi suất r %/tháng được tính theo công thức . Hỏi nếu gửi 2 triệu đồng với lãi suất 1,2 %/tháng thì sau khoảng mấy năm, mấy tháng ta thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 2.793.086 đồng ?
Chuyên đề 7: Bài tập tổng hợp
Bài1 : Cho hàm số  
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.
Bài 2:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  .
b) Chứng minh rằng đường thẳng  luôn cắt (C) với mọi giá trị của m.
Bài 3 :   Cho hàm số :      có đồ thị  (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ . Viết phương trình đường thẳng d đi quaM và là tiếp tuyến của (C).
c) Dựa vào (C), tìm m để phương trình  có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 4 : Cho hàm số  , có đồ thị (C) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ .
c) Dựa vào (C) , xác định các giá trị m để phương trình :    có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 5 :  Cho hàm số :    ,  có đồ thị  (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
c) Tìm tất cả các điểm trên  (C) có tọa độ là các số nguyên .
Bài 6 : Cho hàm số 
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .
Bài 7 : Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình : .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0;-3).
Bài 8 : Cho hàm số  có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng .
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C) của hàm số trên . Suy ra đồ thị (C1) của hàm số .
Bài 9 : Cho hàm số .   Xác định m sao cho :
a) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng .
c) Hàm số đạt cực tiểu tại .
Bài 10 : Cho hàm số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng đường thẳng  (m là tham số) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B. Xác định m để độ dài AB ngắn nhất.
Bài 11 : Cho hàm số , có đồ thị(C) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 12 : Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng  cắt (C) tại tại 3 điểm phân biệt.
Phần II: Hình học.
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Biết AC=a, SA= 2a. Hãy tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC.
Bài 2. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Hãy tính thể tích khối chóp đó, biết:
a) các cạnh bên tạo với đáy một góc ;
b các mặt bên tạo với đáy một góc .
Bài 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Hãy tính thể tích khối chóp đó.
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số thể tích khối chóp D’.DEF và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
Bài 5. Một khối trụ có bán kính đáy là R, có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
b) Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ).
c) Gọi V là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và V’ là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số .
Bài 6. Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bên bằng a.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó.
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính diện tích thiết diện được tạo nên.
Bài 7. Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là . Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và .
Bài 8. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
Bài 9. Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cố SA = a, AB = b, . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) ;                                                    b)  và b = c
c)  và b = c.
Bài 11. Cho một tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác a, ta được một tứ diện S.ABC.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.
Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số :
a);         b) 
Giải:
a) Tập xác định: 
Đạo hàm: ; .
Dấu của y’ là dấu của biểu thức .
Ta có bảng biến thiên:
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng .
b) Tập xác định: 
Đạo hàm: ; 
.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
Giải:
a) Xét hàm số trên nữa khoảng , ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên nữa khoảng đang xét.
Do đó, .
Các câu còn lại làm tương tự.
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a);                                                  b).
c);                                      d).
e);                                                f).
g);                                                 h).
Đáp số:
a) Không có cực đại; cực tiểu 
b) Hàm số đạt cực đại tại , .
Hàm số đạt cực tiểu tại , .
c) Cực đại : ; cực tiểu 
d) Cực đại : ; cực tiểu  và .
e) Cực đại : ; cực tiểu 
f) Cực đại : ; cực tiểu  và .
g) Không có cực đại; cực tiểu .
h) Cực đại: ; cực tiểu .
Bài 4: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số  đạt cực tiểu tại điểm ,  và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
Giải:
Tập xác định: .
Đạo hàm: .
;
; .
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 .
Điều kiện để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại  là: 
Kết hợp các kết quả trên ta có hệ 
Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm là .
Bài 5: Tìm giá trị của m để hàm số  đạt cực đại tại .
Giải:
Tập xác định: .
Đạo hàm: ; .
Điều kiện để hàm số đã cho đạt cực đại tại  là: 
Vậy có hai giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán là .
Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) trên đoạn [-4 ; 4].
b) trên đoạn [-3 : 1].
Đáp số:
a) 
b) .
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) ; b) trên đoạn [ 1 ; 10 ].
Đáp số:
a) Ta có .
Nên .
; .
Mặt khác .
Suy ra .
Cách khác: Đặt  ta có  với .
Ta có .
Lại có .
Suy ra .
Bài 9: Tìm trên parabol  điểm M cách điểm  một khoảng ngắn nhất.
Giải:
Xét điểm tùy ý , ta có .
Xét hàm số , ta có .
Bảng biến thiên:
Dựa vào biến thiên ta thấy .
 ngắn nhất  đạt giá trị nhỏ nhất .
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là .
Chuyên đề 4: Đường tiệm cận
Bài 11: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của các đồ thị hàm số sau:
a) b)  c) 
Giải:
a) Ta có  nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng có phương trình là .
Mặt khác  nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang có phương trình là .
b) Đáp số: 2 tiệm cận đứng: ; một tiệm cận ngang: .
c) Đáp số: 2 tiệm cận đứng: ; một tiệm cận ngang: .
Bài 12: Tìm a biết tiệm cận ngang của đồ thị hàm số  cắt trục tung tại điểm .
Giải:
Ta có  nên đường thẳng  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng  cắt trục tung tại điểm .
Từ giả thiết, ta có .
Vậy, giá trị cần tìm của a là: .
Chuyên đề 5: Lũy thừa, Lô garit, Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài 14: So sánh các số sau:
a)    và ;                                           b)   và .
c)  và ;                                 d) và .
e)   và ;                                    f) và .
Nhận xét: Để so sánh các lũy thừa cùng cơ số ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ; để so sánh các lũy thừa cùng số mũ và khác cơ số ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số lũy thừa; để so sánh các logarit cùng cơ số ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit.
Giải:
a) So sánh hai lũy thừa cùng cơ số:
Xét hàm số , đồng biến trên . (vì cơ số )
Do đó, với .
Suy ra .
b) So sánh hai lũy thừa cùng khác cơ số và cùng số mũ:
Hàm số  đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó, với . Suy ra ${{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{0,111} \right)}^{e}}>{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{0,121} \right)}^{e}}$.
c) Giải tương tự câu a). Đáp số: .
d) Giải tương tự câu b). Đáp số: .
Bài 15: Tính giá trị các biểu thức:
a)                      b)                c)
Giải:
a) 
b) 
.
c) Ta có 
Suy ra .
Bài 16: Tính giá trị các biểu thức sau:
a);                                     b);                               c) .
Hướng dẫn: Vận dụng công thức  và .
a) .
b) .
c) .
Bài 17: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a)                            b)                           c)  
d)                e)                         f)  
g) 
Đáp số:
a) Tập xác định: .
b) Điều kiện xác định: .
Tập xác định: .
e) Điều kiện xác định: .
Tập xác định: .
g) Điều kiện xác định:
Tập xác định: .
Bài 18: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)                              b)                           c)
d)                       e)                      f)  
g)                     h)
i)               j).
Đáp số:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) 
f) ;
g) ;
h) 
i) 
j) 
.
Chuyên đề 6: Phương trình mũ và lôgarit
Bài 20: Giải các phương trình sau:
a);                b).
c);                                                       d).
e);                                        f) .
g);                                                h).
Đáp số:
a) ; b) .
c) ; d) .
e) . f)  (Hd: Đặt )
g) ; h) .
Bài 21: Giải các phương trình sau:
a);                                                 b).
c);                                     d).
e).
Đáp số:
a)  b) 
c) ; d) .
e) .
Bài 22: Giải các bất phương trình sau:
a);
b)
c);
d)
e);                          f).
Đáp số:
a)  b) 
c)  d) 
e)  f) .
Bài 23: Biết số tiền cả vốn lẫn lãi thu được sau n tháng khi gửi tiết kiệm Sđồng ở ngân hàng với lãi suất r %/tháng được tính theo công thức . Hỏi nếu gửi 2 triệu đồng với lãi suất 1,2 %/tháng thì sau khoảng mấy năm, mấy tháng ta thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 2.793.086 đồng ?
Hướng dẫn :
Giả sử sau khoảng n tháng ta thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 2.793.086 đồng.
Ta có  
.
Vậy sau 28 tháng (2 năm, 4 tháng) thì thu được số tiền là 2.793.086 đồng.
.