Đề cương ôn tâp học kỳ II Toán 9

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 
A.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R 
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
 Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
(d) (d’) = thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) (d’) thì hệ có vô số nghiệm 
Hệ phương trình tương đương 
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
A.2 Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình: x2 + SX + P = 0
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
Giải hệ để tìm S và P 
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: 
t2 - St + P = 0
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
B. MỘT SỐ BÀI TẬP
Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
g) 
h) 
k) 
Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh
a. 
b.
c.
d.
e.
f.
g.	
h.
i.
Bài 3: Giải hệ phương trình:
 a. b. 
Bài 4:
Giải hệ phương trình: 
Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
 ( m là tham số)
Bài 5: 
1. Giải hệ phương trình 
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
Bài 6. 
	Cho hệ phương trình , với 
	a. Giải hệ đã cho khi m = –3
	b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. 
Bài 6 
	Cho hệ phương trình: ( m là tham số )Giải hệ phương trình với 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
I. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và 
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai 
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt:	
*) Nếu phương trình có nghiệm kép: 
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn: 
Phương trình bậc hai và 
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt:
*) Nếu phương trình có nghiệm kép: 
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng:
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì : 
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: 
(Điều kiện để có u và v là )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: 	
4. Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: 	
5. Phương trình trùng phương: 
Cách giải: Đặt y = x2 . Để đưa về PT bậc hai 
V: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph­¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a ¹ 0) cã: 
 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) Û D ³ 0
 2. V« nghiÖm Û D < 0
 3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) Û D = 0
 4. Cã hai nghiÖm ph©n biÖt (kh¸c nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiÖm cïng dÊu Û D³ 0 vµ P > 0
 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu Û D > 0 vµ P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiÖm d­¬ng(lín h¬n 0) Û D³ 0; S > 0 vµ P > 0
 8. Hai nghiÖm ©m (nhá h¬n 0) Û D³ 0; S 0
 9. Hai nghiÖm ®èi nhau Û D³ 0 vµ S = 0
 10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau Û D³ 0 vµ P = 1
 11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n Û a.c < 0 vµ S < 0
 12. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm d­¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n Û a.c 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP: 
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
e/ x2 - 5x + 6 = 0 
x2 + 8x + 15 = 0 
2x2 - 5x + 3 = 0 
x2 - 11x + 10 = 0 
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: .
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 3: 
 Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
 a) Tìm m để (1) có nghiệm
 b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất đó?
 c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 
 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.
 e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). 
 Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. 
Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . 
Xác định m và n để phương trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là : mx2 + (mn + 1)x + n = 0
HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT) 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
 Hàm số bậc hai
Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0
+ Nếu a 0
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng 
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình 
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
 Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai.
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
B. MỘT SỐ BÀI TẬP:
Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) và đường thẳng (d) 
y=(m-2)x+1 và (d’)y=-x+3 (m là tham số ). Xác định m để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung.
Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P): và đường thẳng (d): y=mx+1 (m là tham số ). Xác định m để: 
a) (d) tiếp xúc (P) 	b) (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (d) và (P) không có điểm chung.
Bài tập 3: Cho (P) : và (d) : 
Xác định m để (d) cắt (P)tại 2 điểm A(xA; yA) ; B(xB; yB) sao cho: 
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x
Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB
Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và .
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên; 
Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng và y = - 2x lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.
Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.
Bài 4: Cho đường thẳng (d): ;y = - 2x + 3.
Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d.
Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đường thẳng d.
Bài 5: Cho hai đường thẳng: y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4.
Chứng minh rằng khi thì hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho đường thẳng: y = 4x (d).
Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10.
Viết phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng (-8).
Viết phương trình đường thẳng (d3) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
Bài 7. Cho hàm số: .
Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phưong trình đường thẳng MN.
Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.
Bài 8. Cho hàm số: y = x2 và y = x + m (m là tham số).
Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B.
Tìm phưong trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
a). Tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.
b). áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là .
Bài 9. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số	 y = - x + m.
Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được.
Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm.
Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A 
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương pháp chung:
Bước 1: Gọi ẩn phù hợp, đơn vị tính, điều kiện cho ẩn nếu có.
Bước 2: Biểu đạt các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Bước 3: Lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình lập được ở bước 3.
Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
B. MỘT SỐ BÀI TẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
Bài 1: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
Bài 2: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tóc dòng nước?
Bài 3: Trên một đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy 1 điểm cố định A. Hai đim chuyển động M, N chạy trên đường tròn, cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi. Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt Nđúng 1 vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc mỗi điểm M, N?