Đề cương Lượng giác 10

ĐỀ CƯƠNG LƯỢNG GIÁC 10
3π2
x
+
0
O
π2
π
sinα>0
cosα>0
sinα>0
cosα<0
sinα<0
cosα<0
sinα<0
cosα>0
y
sin
cos
2π
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
I. Quan hệ giữa độ và rađian: 180°=π rad
Các góc đặc biết:0;π6;π4;π3;π2;π
II. Giá trị lượng giác của α:
1. sinα+k2π=sinα k∈Z 
 cosα+k2π=cosα k∈Z
 tanα+kπ =tanα k∈Z
 cotα+kπ =cotα k∈Z
2. sinα≤1 cosα≤1
III. Công thức lượng giác cơ bản:
1.
sin2α+cos2α=1
,∀α∈R
 cos2α=1-sin2α ; sin2α=1- cos2α 
2.
tanα=sinαcosα
, α≠π2+kπ k∈Z
3.
cotα=cosαsinα
, α≠kπ k∈Z
4.
tanα.cotα=1
, α≠kπ2 k∈Z
 cotα=1tanα 
5.
1+tan2α=1cos2α 
, α≠π2+kπ k∈Z
6.
1+cot2α=1sin2α 
, α≠kπ k∈Z
IV. Công thức cung liên kết: 
1. cos đối
cos-α=cosα
sin-α=-sinα
tan-α=-tanα
cot-α=-cotα
3. phụ chéo
sinπ2-α=cosα
cosπ2-α=sinα
tanπ2-α=cotα
cotπ2-α=tanα
5.hơn kémπ2
sinπ2+α=cosα
cosπ2+α=-sinα
tanπ2+α=-cotα
cotπ2+α=-tanα
2. sin bù
sinπ-α=sinα
cosπ-α=-cosα
tanπ-α=-tanα
cotπ-α=-cotα
4. hơn kém π tang, cotang
sinπ+α=-sinα
cosπ+α=-cosα
tanπ+α=tanα
cotπ+α=cotα
IV. Công thức cộng: 	
1. sina+b=sina.cosb+cosasinb
2. cosa+b=cosa.cosb-sinasinb
 sina-b=sina.cosb-cosasinb
 cosa-b=cosa.cosb+sinasinb
3. tana+b=tana+tanb1-tana.tanb
4. cota+b=1tana+b
 tana-b=tana-tanb1+tana.tanb
V. Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc:
1. 
sin2α=2sinα.cosα
sin2o=2sino.coso
cos2α=cos2α-sin2α
=2cos2α-1
=1-2sin2α
cos2α=1+cos2α2
sin2α=1-cos2α2
tan2α=2tanα1-tan2α
tan2α=sin2αcos2α
tan2α=1-cos2α1+cos2α
cot2α=cot2α-12cotα
cot2α=1+cos2α1-cos2α
2. 
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
tan3α=3tanα-tan3α1-3tan2α
VI. Công thức tổng thành tích – tích thành tổng: 
1.
cosa+cosb=2cosa+b2cosa-b2
cosacosb=12cosa-b+cosa+b
2.
cosa-cosb=2sina+b2sina-b2
sinasinb=12cosa-b-cosa+b
3.
sina+sinb=2sina+b2cosa-b2
sinacosb=12sina-b+sina+b
4.
sina-sinb=2cosa+b2sina-b2
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG: 
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác 
Phương pháp: Muốn chứng minh 1 đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác ở 1 vế thành biểu thưc lượng giác ở vế kia.
Để ý rằng 1 biểu thức lượng giác có thẻ biến đổi thành nhiều dạng khác nhau. Ví dụ:
sin22x=1-cos22x (CT LG cơ bản)
sin22x=121-cos4x (CT hạ bậc)
sin22x=4sin2x.cos2x (CT nhân đôi)
	Tùy theo mỗi bài toán, ta chọn CT thích hợp để biến đổi
1.1. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1.1.1. Chứng minh: 
a. sin4α+cos4α=1-12sin22α b. sin6α+cos6α=1-34sin22α
c. sin8α+cos8α=1-sin22α+18sin42α
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng CT LG cơ bản và HĐT a2+b2=a+b2-2ab 	a3+b3=a+b3-3aba+b
a. sin4α+cos4α=sin2α2+cos2α2=sin2α+cos2α2-2sin2α.cos2α
=1-122sinα.cosα2=1-12sin22α
b. sin6α+cos6α=sin2α3+cos2α3=sin2α+cos2α3-3sin2α.cos2αsin2α+cos2α
=1-3sin2α.cos2α=1-34sin22α
c. sin8α+cos8α=sin4α2+cos4α2=sin4α+cos4α2-2sin4α.cos4α
=1-2sin2α.cos2α2-2sin4α.cos4α
=1-4sin2α.cos2α+4sin4α.cos4α-2sin4α.cos4α
=1-4sin2α.cos2α+2sin4α.cos4α=1-sin22α+18sin42α
Ví dụ 1.1.2. Chứng minh:
a. tanx+cotx=2sin2x b. cotx-tanx=2cot2x c. cotx-cot2x=1sin2x
d. sinx.cosx.cos2x.cos4x=116sin8x
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT nhân đôi – hạ bậc
a. tanx+cotx=sinxcosx+cosxsinx=sin2x+cos2xsinx.cosx=22sinx.cosx=2sin2x
b. Chứng minh tương tự
c. cotx-cot2x=cosxsinx-cos2xsin2x=cosx.2sinx.cosx-cos2x.sinxsinx.sin2x
=2cos2x-cos2xsin2x=1-cos2x-cos2xsin2x=1sin2x
d. sinx.cosx.cos2x.cos4x=12sin2x.cos2x.cos4x=14sin4x.cos4x=116sin8x
Ví dụ 1.1.3. Chứng minh các công thức sau (CT nhân ba)
a.sin3α=3sinα-4sin3α b.cos3α=4cos3α-3cosα c. tan3α=3tanα-tan3α1-3tan2α
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT cộng – CT nhân đôi
a. sin3α=sinα+2α=sinα.cos2α+cosα.sin2α
=sinα1-2sin2α+cosα.2.sinα.cosα
=sinα-2sin3α+2sinα.cos2α
=sinα-2sin3α+2sinα1-sin2α
=sinα-2sin3α+2sinα-2sin3α=3sinα-4sin3α
b. Chứng minh tương tự
c.tan3α=tanα+2α=tanα+tan2α1-tanα.tan2α=tanα+2tanα1-tan2α1-tanα.2tanα1-tan2α=3tanα-tan3α1-3tan2α
Ví dụ 1.1.4. Chứng minh:
a.cos3a.sin3a+sin3a.cos3a=34sin4a b. cos3a.cos3a+sin3a.sin3a=cos32a
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT nhân ba – CT cộng
a. Ta có: 4sin3a=3sina-sin3a 4cos3a=cos3a+3cosa
cos3a.sin3a+sin3a.cos3a=cos3a3sina-sin3a4+sin3acos3a+3cosa4
=14cos3a3sina-sin3a+sin3acos3a+3cosa
=143sina.cos3a-cos3a.sin3a+sin3a.cos3a+3.cosa.sin3a
=34sina.cos3a+cosa.sin3a=34sina+3a=34sin4a
b. Ta có: cos6a=cos32a=4cos32a-3cos2a
cos3a.cos3a+sin3a.sin3a=14cos3acos3a+3cosa+sin3a3sina-sin3a
=14cos33a+3cos3a.cosa+3.sina.sin3a-sin33a
=14cos33a-sin33a+3cos3a.cosa+sina.sin3a
=14cos6a+3cos3a-a
=144cos32a-3cos2a+3cos2a=cos32a
Ví dụ 1.1.5. Chứng minh:
a.sina+b.sina-b=cos2a-cos2b b. cosa+b.cosa-b=cos2a+cos2b-1
c.sinx.sinπ3-x.sinπ3+x=14sin3x d.cosx.cosπ3-x.cosπ3+x=14cos3x
e.tanx.tanπ3-x.tanπ3+x=tan3x 
f.sin5x-2sinxcos4x+cos2x=sinx g.cos5x2.cos3x2+sin7x2.sinx2=cosx.cos2x
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng
a.sina+b.sina-b=12cos2b-cos2a=122cos2b-1-2cos2a-1=cos2b-cos2a
b. cosa+b.cosa-b=12cos2a+cos2b=122cos2a-1+2cos2b-1=cos2a+cos2b-1
c.sinx.sinπ3-x.sinπ3+x=12sinxcos2x-cos2π3=12sinx.cos2x-14sinx
=14sin3x-sinx-14sinx=14sin3x
d.cosx.cosπ3-x.cosπ3+x=12cosxcos2x+cos2π3=12cosx.cos2x+14cosx
=14cos3x+cosx+14cosx=14cos3x
e. Từ kết quả câu c, d suy ra câu e. Hay làm trực tiếp như sau: (Áp dụng CT cộng – CT nhân ba)
tanx.tanπ3-x.tanπ3+x=tanx.tanπ3-tanx1+tanπ3.tanx.tanπ3+tanx1-tanπ3.tanx
=tanx.3-tanx1+3tanx.3+tanx1-3tanx
=tanx.3-tan2x1-3tan2x=tan3x
f.sin5x-2sinxcos4x+cos2x=sin5x-2sinx.cos4x-2sinx.cos2x
=-sin5x-sin3x-sin3x-sinx=sinx
g.cos5x2.cos3x2+sin7x2.sinx2=12cos4x+cosx+12cos3x-cos4x
=12cos3x+cosx=cosx.cos2x
Ví dụ 1.1.6. Chứng minh:
a.sina+sinb+sinc-sina+b+c=4sina+b2.sinb+c2.sinc+a2
b.cosa+cosb+cosc+cosa+b+c=4cosa+b2.cosb+c2.cosc+a2
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích
a.sina+sinb+sinc-sina+b+c=sina+sinb+sinc-sina+b+c
=2sina+b2.cosa-b2-2cosa+b+2c2.sina+b2
=2sina+b2cosa-b2-cosa+b+2c2
=-4sina+b2.sina+c2.sin-b-c2
=4sina+b2.sinb+c2.sinc+a2
b.cosa+cosb+cosc+cosa+b+c=2cosa+b2.cosa-b2+2cosa+b+2c2.cosa+b2
=2cosa+b2cosa-b2+cosa+b+2c2
=4cosa+b2.cosb+c2.cosc+a2
1.2. Bài tập:
1.2.1. Chứng minh:
a. sin3a1+cota+cos3a1+tana=sina+cosa
b. sin3a-2sin33a+cos2a.sina=cos5a.sin4a
c. cos4a=8cos4a-8cos2a+1
d. cos3a.cos3a-sin3a.sin3a=34cos4a+14
e. tana+tana+π3+tana-π3=3tan3a
1.2.2. Chứng minh:
a.cos2a-b-cos2a+b=sin2a.sin2b b. cos2a-b-sin2a+b=cos2a.cos2b
1.2.3. Chứng minh:
a. tana+tanb+tanc=tana.tanb.tanc+sina+b+ccosa.cosb.cosc
b. 1-cos2a-cos2b-cos2c+2cosa.cosb.cosc
=4sina+b+c2.sina+b-c2.sinb+c-a2.sinc+a-b2
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác
Phương pháp: Muốn rút gọn 1 biểu thức lượng giác, ta dung các CTLG để biến đổi biểu thức đã cho.
Muốn tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác, ta tìm cách rút gọn biểu thức này. Ngoài việc dùng các CTLG, nên xem xét biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó chọn cách giải thích hợp.
2.1. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 2.1.1. Rút gọn các biểu thức sau: 
a.A= sin2x+π3.cosx-π6-cos2π3-x.cos2x+π3 
b. B=cosx+cosx+2π3+cosx-2π3
c.C=sin2x+sin2x-π3-sinx.sinx-π3
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT cung phụ - CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng
a. Ta có: 2π3-x=π2-x-π6⇒cos2π3-x=cosπ2-x-π6=sinx-π6
A= sin2x+π3.cosx-π6-cos2π3-x.cos2x+π3
=sin2x+π3.cosx-π6-sinx-π6.cos2x+π3
=sin2x+π3-x-π6
=sinx+π2=cosx
b. B=cosx+cosx+2π3+cosx-2π3
=cosx+cosx+2π3+cosx-2π3
=cosx+2cosx.cos2π3=cosx+2cosx.-12
=cosx-cosx=0
c.C=sin2x+sin2x-π3-sinx.sinx-π3
=sin2x+sinx-π3sinx-π3-sinx
=sin2x+2sinx-π3.cosx-π6.sin-π6
=sin2x-sinx-π3.cosx-π6
=sin2x-12sin2x-π2+sin-π6
=sin2x-12cos2x+14
=sin2x-121-2sin2x+14=34
Cách khác: 
C=sin2x+sin2x-π3-sinx.sinx-π3
=121-cos2x+121-cos2x-2π3+12cos2x-π3-cosπ3
=34-12cos2x+cos2x-2π3-cos2x-π3
=34-12cos2x+2sin2x-π2.sin-π6
=34-12cos2x-sin2x-π2
=34-12cos2x-cos2x=34
Ví dụ 2.1.2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ vào x:
a. A=3sin4x+cos4x-2sin6x+cos6x
b. B=cos2x+cos2x+a-2cosa.cosx.cosx+a
c. C=cos2x+sin2x+a-2sina.cosx.sinx+a
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng 
và HĐT a2+2ab+b2=a+b2 	a3+b3=a+ba2-ab+b2
a. A=3sin4x+cos4x-2sin6x+cos6x
=3sin4x+3cos4x-2sin2x+cos2xsin4x-sin2x.cos2x+cos4x
=3sin4x+3cos4x-2sin4x+2sin2x.cos2x-2cos4x
=sin4x+2sin2x.cos2x+cos4x
=sin2x+cos2x2=1, ∀x. Vậy A không phụ thuộc vào x
b. B=cos2x+cos2x+a-cosa.2cosx.cosx+a
=121+cos2x+121+cos2x+2a-cosacos2x+a+cosa
=1+12cos2x+cos2x+2a-cosa.cos2x+a-cos2a
=1+cosa.cos2x+a-cosa.cos2x+a-cos2a
=1-cos2a=sin2a, ∀x. Vậy B không phụ thuộc vào x
c. C=cos2x+sin2x+a-2sina.cosx.sinx+a
=1+12cos2x-cos2x+2a-sinasin2x+a+sina
=1-sin2x+a.sin-a-sin2x+a.sina-sin2a
=1-sin2a=cos2a, ∀x. Vậy C không phụ thuộc vào x
Ví dụ 2.1.3. Tính giá trị biểu thức:
a.A=1sin10°-4sin70° b. B=sin20°.sin40°.sin80°
c.C=cosπ9+cos5π9+cos7π9 d.D=sin10°.sin50°.sin70°
e.E=cos2π7+cos4π7+cos6π7 f.F=cosπ7-cos2π7+cos3π7
Hướng dẫn giải: Áp dụng CT phụ - CT tổng thành tích–tích thành tổng 
a.A=1sin10°-4sin70°=1sin10°-4cos20°=1-4cos20°.sin10°sin10°
=1-2cos30°-sin10°sin10°=2sin10°sin10°=2
b. B=sin20°.sin40°.sin80°=12sin20°cos40°-cos120°=12sin20°.cos40°+14sin20°
=14sin60°-sin20°+14sin20°=14sin60°=38
c.C=cosπ9+cos5π9+cos7π9=cosπ9+2cos6π9.cosπ9=cosπ9-cosπ9=0
d.Tương tự câu b, ta tính được D=18
Cách khác: Áp dụng CT nhân đôi sinx.cosx=12sin2xVí Dụ 1.1.2.d 
cos10°.D=cos10°sin10°.sin50°.sin70°=cos10°.sin10°.cos40°.cos20°
=12sin20°.cos20°.cos40°=14sin40°.cos40°=18sin80°=18cos10°
⇒D=18
e. Nhận xét E có dạng cosa+cos2a+cos3a, với a=2π7. Ta tính 2sina2.E
2sinπ7.E=sinπ7cos2π7+cos4π7+cos6π7
=sinπ7.cos2π7+sinπ7.cos4π7+sinπ7.cos6π7
=sin3π7-sinπ7+sin5π7-sin3π7+sinπ-sin5π7
=-sinπ7+sinπ=-sinπ7
⇒E=-12
f.F=cosπ7-cos2π7+cos3π7=cosπ-6π7-cos2π7+cosπ-4π7=-cos6π7-cos2π7-cos4π7=-E=12
2.2. Bài tập:
2.2.1. Rút gọn biểu thức (không còn căn thức) A=2+2+2cosx 0≤x≤π
2.2.2. Rút gọn biểu thức:
a. A=sin4a+cos4a+sin4a+π4+cos4a+π4
b. B=sina.cos2a+π6.cos2a-π6+sin3a.sina+π6.sina-π6
2.2.2. Tính giá trị biểu thức:
a.A=cosπ15.cos2π15.cos4π15.cos8π15 b.B=cosπ9.cos5π9.cos7π9 c.C=cot10°.tan20°.tan40°
2.2.3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ vào x:
A=sinx-sinx+π5+sinx+2π5-sinx+3π5+sinx+4π5
Dạng 3: Đẳng thức lượng giác trong tam giác – Nhận dạng tam giác
Phương pháp: 	* Dùng công thức biến đổi lượng giác
	* Tính chất ∆ABC có: A+B+C=π
3.1. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 3.1.1. Cho ∆ABC, chứng minh:
a. sinA+sinB+sinC=4cosA2.cosB2.cosC2
b. sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosA.cosB.cosC
c. sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC
Hướng dẫn giải: 
a. ∆ABC có: A+B+C=π⇔B+C2=π2-A2 ⇒sinB+C2=sinπ2-A2=cosA2cosB+C2=cosπ2-A2=sinA2
sinA+sinB+sinC=2sinA2.cosA2+2sinB+C2.cosB-C2
=2sinA2.cosA2+2cosA2.cosB-C2
=2cosA2sinA2+cosB-C2
=2cosA2cosB+C2+cosB-C2
=2cosA2.2.cosB2.cosC2
=4cosA2.cosB2.cosC2
b. ∆ABC có: A+B+C=π⇔B+C=π-A ⇒cosB+C=cosπ-A=-cosA
sin2A+sin2B+sin2C=1-cos2A+121-cos2B+121-cos2C
=2-cos2A-12cos2B+cos2C
=2-cos2A-cosB+C.cosB-C
=2-cos2A+cosA.cosB-C
=2-cosAcosB-C-cosA
=2-cosAcosB-C-cosB+C
=2+2cosA.cosB.cosC
c.∆ABC có:A+B+C=π⇔B+C=π-A⇒sinB+C=sinπ-A=sinAcosB+C=cosπ-A=-cosA
 sin2A+sin2B+sin2C=2sinA.cosA+2sinB+C.cosB-C
=2sinA.cosA+2sinA.cosB-C
=2sinAcosA+cosB-C
=2sinA-cosB+C+cosB-C
=2sinA-2sinB.sin-C
=4sinA.sinB.sinC
Ví dụ 3.1.2. Cho ∆ABC, chứng minh:
a. tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
b. tanA2.tanB2+tanB2.tanC2+tanC2.tanA2=1
Hướng dẫn giải: 
a.∆ABC có:A+B+C=π⇔A+B=π-C
⇔tanA+B=tanπ-C
⇔tanA+B=-tanC
⇔tanA+tanB1-tanA.tanB=-tanC
⇔tanA+tanB=-tanC1-tanA.tanB
⇔tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
b.∆ABC có:A+B+C=π⇔A2+B2=π2-C2
⇔tanA2+B2=tanπ2-C2
⇔tanA2+B2=cotC2
⇔tanA2+tanB21-tanA2.tanB2=1tanC2
⇔tanC2tanA2+tanB2=1-tanA2.tanB2
tanC2.tanA2+tanC2.tanB2+tanA2.tanB2=1
Ví dụ 3.1.3. Chứng minh ∆ABC cân tại A⇔sinAsinB.cosC=2
Hướng dẫn giải: Sử dụng sinx=0⇔x=0 với 0<x<180°
∆ABC có:A+B+C=π⇔B+C=π-A⇒sinB+C=sinπ-A=sinA
sinAsinB.cosC=2⇔sinA=2sinB.cosC
⇔sinA=sinB+C+sinB-C
⇔sinA=sinA+sinB-C
⇔sinB-C=0
⇔B-C=0⇔B=C⇔∆ABC cân tại A
Ví dụ 3.1.4. Chứng minh ⇔cos2A+cos2B+cos2C=-1
Hướng dẫn giải: Sử dụng cosx=0⇔x=90° với 0<x<180°
cos2A+cos2B+cos2C=-1⇔2cos2A-1+2cosB+C.cosB-C=-1
⇔cos2A-cosA.cosB-C=0
⇔cosAcosA-cosB-C=0
⇔cosA-cosB+C-cosB-C=0
⇔-2cosA.cosB.cosC=0
⇔cosA=0cosB=0cosC=0⇔A=90°B=90°C=90°⇔∆ABC vuông
3.2. Bài tập:
3.2.1. Cho ∆ABC, chứng minh:
a. cosA+cosB+cosC=1+4sinA2.sinB2.sinC2
b. cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosA.cosB.cosC
c. cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosA.cosB.cosC
3.2.2. Cho ∆ABC, chứng minh:
a. cotA2+cotB2+cotC2=cotA2.cotB2.cotC2
b. cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1
3.2.3. Chứng minh ∆ABC cân⇔tanB+tanC=2cotA2
3.2.4.Chứng minh ∆ABC cósinA-tanB=tanA2-tanB2⇔∆ABC cân
3.2.5. Chứng minh ∆ABC cósinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC ⇔∆ABC vuông