Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2014-2015 - Bình Phước

G
I Ý GII 
Ng
i thc hin: Phm Vn Quý 
Email: phamvanquycqt@gmail.com 
Câu 1 (2.0 im) Cho biu thc: 
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
P
x yx y x y x y y x

   + + +
= + + +    + + 	 
a) Tìm iu kin xác nh và rút g	n P. 
+) 
iu kin  P có ngha là: 
3 3
3 3
3 3
0
0
0
0
0
0
0
x
y
x
x y
y
x y y x
x y x x y y
x y y x

 >

>
>

+ ≠ ⇔ 
>
+ ≠

+ + + ≠ +
. 
+) Ta có: 2. :
.
y x x x y x x y y yy xP
xyx y x y x xy y yx

  + + + ++
= +    + + 	 
( ) ( )
( )
2
:
x x y y x yy x
xyxy xy x y

  + + ++
= + 
+  
( )( )
( )
2
:
x y x yxy y x
xy xy xy x y
+ +
 +
= + 
+  
( )2
:
x y x y
xy xy
+ +
= 
( )2
.
x y xy
xy x y
+
=
+
( )x y xy
xy
+
= 
b) Cho 16xy = . Xác nh x, y  P có giá tr nh
 nht. 
+) Vi 16xy = ta có: ( ) 16
16 4
x y x y
P
+ +
= = 
+) Áp dng b	t 
ng thc Cauchy ta có: 2 2 16 4 1+ ≥ = =  ≥x y xy P . D	u “=” xy ra 
x y x y= ⇔ = . K
t hp vi gi thi
t 16xy = ta có: 4x y= = . 
+) Vy khi 16xy = thì giá tr nh nh	t ca P là bng 1 t c khi 4x y= = . 
S GIÁO D
C VÀ ÀO TO 
BÌNH PHC 
K THI TUYN SINH VÀO LP 10 THPT 
 THI MÔN TOÁN CHUYÊN – NM HC 2014–2015 
NGÀY THI: 01-7-2014 
Thi gian làm bài: 150 phút không k thi gian giao  
Câu 2 (2.0 im) 
a) Gii phng trình: 2 5( 2)
4
x x
x
+ =
+
Gii 
+) 
iu kin: 4x ≠ − 
+) ( )( )24 2 5PT x x x⇔ + + = 
 ( )( )2 24 4 4 5x x x x⇔ + + + = 
 
t 2 4t x x= + ta có phng trình tr thành: ( ) 2 14 5 4 5 0 5
=

+ = ⇔ + − = ⇔ 
= −
t
t t t t
t
 
 Vi 2 21 4 1 4 1 0 2 5=  + = ⇔ + − = ⇔ = − ±t x x x x x (nhn). 
 
 Vi 
 
     	


    = −  + = − ⇔ + + = 
+) K
t lun: Tp nghim ca phng trình là: { }
 
  = − − − + . 
b) Gii h phng trình: 
 − − + + =
+ + + =

 

 
 
 

    
   
Gii 
+) 
iu kin: + ≥

+ ≥

 
 
 
+) Ta có h ( ) ( ) ( )
 + + − − + + =⇔ 
+ + + =

 

 
 
 
 
 

     
   
( ) ( ) ( )
 + − + + + =
⇔ 
+ + + =

 
 
 
 

       
   
( )( )
 + − + =
⇔ 
+ + + =

  
 

   
   
 + =


− + =⇔ 

+ + + =

 
 
 

 
 
   

 + =


+ + + =
⇔ 
− + =

 + + + =

 
 

 
 

 
   
 
   

 Gii h: 
+ =


+ + + =

 
 

 
   
= − = −
 
 
⇔ ⇔ 
+ + + = − + = 

 

 
 

   
     
. Ta th	y iu kin ca 
n x trong phng trình − + = 
  là ≤
 ⇔ = ≥






. 
Thay x = 0 vào ta có 0 = 2 (vô lí). Do ó h vô nghim. 

 Gii h: 
− + =


+ + + =
 
 

 
   
= + = +
 
 
⇔ ⇔ 
+ + + = + + + + + + =  
 

    
 
  
 
      
   
     
. 
 ( ) ( ) ( )

 = + = +
= +
  =
 
⇔ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔   
=+ + = −   
  =
+ + = − 
=


 
  
  
     
  
     

  
   
  
 
  
   
 	 
 (nhn). 
+) K
t lun: H phng trình có nghim là: =

=




. 
Câu 3 (1.0 im) Cho phng trình: − − + + − =
 

         . Tìm m  phng trình có hai 
nghim 
 

  th
a iu kin: ( )+ + − =
 
 
 
   . 
Gii 
+) Phng trình có hai nghim 
 

  ⇔ ∆ = − − − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤
 
         

     . 
+) Vì 

 là nghim ca phng trình nên ta có: − − + + − =
 

 

         
( ) ( )⇔ + + − + + − = ⇔ + = − − +

 
 
    
  
     
           
+) Khi ó ta có: ( )− − + + − = ⇔ + − − + =
 
 
  

   
 
  
            , (*). 
Mà theo nh lí Viet ta có: + = −
 


    , thay vào (*) ta có: − − − + =

 
        
=

⇔ − + = ⇔
 =


  
    
 

 
 	 
+) K
t lun: Vi m = 1 thì phng trình ã cho có hai nghim 
 

  tha ( )+ + − =
 
 
 
   . 
Câu 4 (3.0 im) Cho tam giác ABC nh	n, (AB < AC), không cân ni tip ng tròn (O), có AD, 
BE, CF là ba ng cao, vi H là trc tâm. 
a) Chng minh rng H là tâm ng tròn ni tip tam giác DEF. 
+) Ta có t giác BDHF ni ti
p (vì 

 
+ = + =    
  ) 
 
 =
 , (1). 
Mt khác ta có t giác ABDE ni ti
p (vì 

 

= =

  ) 
 
 =
  , (2). T (1) 
và (2) ta có: 
 
 =
 
 hay DH là phân 
giác trong ca góc 

. 
+) Ta có t giác CDHE ni ti
p (vì 

 
+ = + =    
  ) 
 
 =
 
, (3). 
Mt khác ta có t giác BCEF ni ti
p (vì 

 

= =
  ) 
 
 = , (4). T (3) 
và (4) ta có: 
 
 =
  hay EH là phân 
giác trong ca góc 

. 
+) Xét tam giác DEF có H là giao ca hai 
ng phân giác trong DH, EH nên H là tâm 
ng tròn ni ti
p ca tam giác DEF. 
b) Chng minh rng OA vuông góc vi EF. 
+) Gi Ax là ti
p tuy
n ti A ca ng tròn ngoi ti
p tam giác ABC ta có: OA Ax⊥ , (tính ch	t). 
x
O
MD
F
E
H
A
B C
+) Ta có 
 
FAx BCA= (cùng bng na s o cung AB), 
 
AFE BCA= , (do BCEF là t giác ni ti
p) 

 
 / /FAx AFE Ax DE =  . Mà OA Ax⊥ nên .OA EF⊥ 
c) Chng minh rng ng tròn ngo i tip tam giác DEF i qua trung im M c!a c nh BC. 
+) Ta có FC là phân giác trong ca góc 
DFE , 
 
 
 
090CFA CFB EFA DFB= =  = . 
+) Ta có tam giác EBC vuông ti E và có EM là ng trung tuy
n ME MC MCE =  ∆ cân ti M 

 
MCE MEC = . 
+) Ta có BCEF là t giác ni ti
p 
 
EFA BCE = . T ó ta có 
 
 
 
EFA DFB MCE MEC= = = . 
Mt khác ta có 

 
 


 
 


 

0
0
180
180
EFD EFA DFB
EFD EMC
EMC MCE MEC

 + + =
 = 
+ + =
 DMEF là t giác ni ti
p. 
d) G	i I, K l" l#t là hình chiu vuông góc c!a B, C trên ng th$ng EF. Chng minh rng: 
DE + DF = IK. 
Gii 
+) K BP CK BIKP⊥  là hình ch! nht IK BP = 
+) Ta có 5 im B, F, E, P, C cùng nm trên ng 
tròn ng kính BC. Gi Q là giao im ca FD vi 
ng tròn ng kính BC. 
+) Ta có DA là phân giác trong ca góc 
EDF mà 
DC DA DC⊥  là phân giác ngoài ca góc 

 
 
EDF CDE CDQ = . Ta có 
 
 090CEB CQB= = mà 

 
BQD BFD= (cùng bng góc 
BEF ) 
 
CED CQD = . 
T ó ta có ( ) DE DQCQD CED g c g∆ = ∆ − −  = 
.DE DF DQ DF FQ + = + = Nh vy  chng 
minh bài toán ta ch" c#n chng minh BP = FQ. 
+) Ta có 
 
BFD EFA= (câu c), mà 
 
 ( )BFD PBF slt= 

 
   / /PBF BFD PF BQ BF PQ BFPQ =  =   là 
hình thang. Mà BFPQ là t giác ni ti
p nên BFPQ 
là hình thang cân BP FQ = . 
Vy ta có DE DF DQ QF FQ BP IK+ = + = = = ,(pcm). 
Câu 5 (1.0 im) Gi	i ph

ng trình nghim nguyên: 2 22 2 3 4 0x y xy y+ + + − = . 
Gi	i 
Cách 1 
+) Ta có PT ( )2 2 22 3 4x xy y y y⇔ + + + + = 
 ( )2 2 24 2 4 12 16x xy y y y⇔ + + + + = 
 ( ) ( )2 24 4 12 9 25x y y y⇔ + + + + = 
 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 25 0 5 5 0 3 4 4 3x y y⇔ + + + = = + = + = + = +
   
+) Vì ,x y Z∈ nên ta có các trng hp sau: 

 TH1: 
( )
( )
2 2
2 2
1
0 0
2 0 1
2 3 5 1
42 3 5 2 3 5 4
4
x
x y x y
x y y
y y
xy y y
y

 = −

+ = + =
 
 
 + =
  =     ⇔ ⇔ ⇔+ = =
 
   
=
 + =   + = − = −    
= −
Q
P
I
K
D
F
E
H
A
B C

 TH2: 
( )
( )
( )

 + =
  
 + =   ⇔ 
= − + = 

 

 


 


 
 


  


  


 TH3: 
( )
( )
( )

 + = 

 
 + = 
  
=⇔  
 + =

= −


 


 


 


 

 




  




 
 




 TH4: 
( )
( )
( ) ( )
( )

 


 


 


 

 



 

 

  


   
  

 

 
 
  

   
 

 = ±



 + =  
  =
 + = 
   
 + =  =    ⇔ ⇔ ⇔ 
 =  
=
 
   + = 
 + =   == −    = − = − 
+) K
t lun: Phng trình ã cho có 2 cp nghim nguyên là: 1 4 1 2 4; ; ; ; .
1 4 0 3 3
= − = = ± = =
 
 
 
 

    
= = − = = − = −    
x x x x x
y y y y y
Cách 2 
+) Ta có PT 
 

  
       ⇔ + + + − = . Xem ây là phng trình bc hai n x ta có : 

 
 
 
    

    ∆ = − + − = − − + . 

 phng trình có nghim ta có 
      

  ∆ ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ . Mà y là s nguyên nên ta có 
{ }
∈ − − − − 
+) L#n lt thay các giá tr ca y  trên vào phng trình #u ta c các nghim nguyên ca phng 
trình là: 1 4 1 2 4; ; ; ; .
1 4 0 3 3
= − = = ± = =
 
 
 
 

    
= = − = = − = −    
x x x x x
y y y y y
Câu 6 (1.0 im) Cho a, b là hai s% thc dng th
a + ≥ 
  Tìm giá tr nh
 nht c!a biu thc: 
= + + +
 

 
  
 
. 
Gii 
+) Ta có    = + + + + + + + − −   

 
   

 
 
 

 
 
 

   
  
   
+) Áp dng B
T Cauchy ta có: + + ≥  

 

 


 
; + + ≥  

 

 


 
. D	u “=” xy ra khi a = b = 1. 
+) Khi ó + +≥ + + + − ≥ + + −
 
 
 
  

 
 
 

   
     
+) Ta luôn có b	t 
ng thc: 



 
  


 
 
+
+ ≥ , (*). Tht vy (*) 
 
 
 

 
 
    ⇔ + ≥ + + 

 
 

        ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ . D	u “=” xy ra khi a = b. 
+) Áp dng (*) ta có 

 


 

   

+ +≥ − + . 
t  


 

 

+
= ≥ ta có : 
( ) ( )

  
     
    
 
 
 
 
 
 
≥ − + = − + − + = − + + ≥ . D	u “=” xy ra  

  ⇔ = ⇔ + = . 
+) K
t lun: Giá tr nh nh	t ca P là 4 t c khi a = b = 1. 
Ht