Đại số tổ hợp

s¸ch Lý hái häc sinh cã bao nhiªu c¸ch m­în mét quyÓn s¸ch tõ th­ viÖn.
Bµi 2. Qu¸n T¶n §µ cã 4 mãn bß: nhóng dÊm, lóc l¾c, n­íng mì chµi, n­íng l¸ c¸ch cã 3 mãn gµ:xèi mì, quay tø xuyªn, rót x­¬ng vµ 2 mãn cua : rang muèi , rang me. Hái nhµ v¨n V­¬ng Hµ cã mÊy c¸ch gäi mãn lai rai.
II, Quy t¾c nh©n.
Bµi 1. Mét bÐ cã thÓ mang hä cha lµ Lª hay hä mÑ lµ §ç, ch÷ ®Öm cã thÓ lµ V¨n, H÷u, Hång, BÝch, hoÆc §×nh, Cßn tªn cã thÓ lµ: Nh©n, NghÜa, TRÝ, §øc, Ngäc hoÆc Dòng. Hái cã bao nhiªu c¸ch ®Æt tªn cho bÐ.
Bµi 2. Mét nhãm sinh viªn gåm n nam vµ n n÷. Cã bao nhiªu c¸ch xÕp thµnh mét hµng sao cho nam vµ n÷ ®øng xen nhau.
Bµi 3. Trong vßng ®Êu lo¹i cuéc thi cê vua cã 2n ng­êi tham dù , mçi ng­êi ch¬i ®óng mét bµn víi ng­êi kh¸c. CMR cã 1.3.5(2n-1) c¸ch s¾p ®Æt.
Bµi 4. Cã bao nhiªu sè ch½n lín h¬n 5000 gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi 5. Cã bao nhiªu sè kh¸c nhau nhá h¬n 2.108 chia hÕt cho 3 lËp thµnh tõ c¸c ch÷ sè: 0, 1, 2 
Bµi 6. Cã bao nhiªu sè cã thÓ lËp tõ c¸c ch÷ sè: 2, 4, 6, 8 nÕu
a, Sè ®ã n»m tõ 200 ®Õn 600
b, Sè ®ã gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau
c, Sè ®ã gåm 3 ch÷ sè.
LUYỆN TẬP.
Bµi 1. Mét nhãm häc sinh cã 8 em häc sinh cã häc lùc trông b×nh, 7 em cã häc lùc kh¸, 5 em cã häc lùc giái. Cã bao nhiªu c¸ch ®Ó chän ®­îc tõ nhãm häc sinh ®ã:
a. Mét em cã häc lùc bÊt kú
b. Hai em cã häc lùc kh¸c nhau
c. Ba em cã häc lùc kh¸c nhau
Bµi 2. Mét c«ng ty cã 5 cæng ra vµo. Mét ng­êi kh¸ch ®i ®Õn c«ng ty, hái:
a. Cã bao nhiªu c¸ch ra vµo c«ng ty ®ã?
b. Cã bao nhiªu c¸ch ra vµo c«ng ty ®ã biÕt ng­êi kh¸ch ph¶i vµo mét cæng vµ ra b»ng cæng kh¸c.
Bµi 3. Sè ®iÖn tho¹i cña mét huyÖn A cã ch÷ sè b¾t ®Çu lµ 85. Hái huyÖn ®ã cã tèi ®a bao nhiªu m¸y ®iÖn tho¹i (mçi sè ®iÖn tho¹i gåm 6 ch÷ sè t­¬ng øng víi mét m¸y ®iÖn tho¹i)
Bµi 4: Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu:
1) Sè lÎ gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
2) Sè ch½n gåm 4 ch÷ sè bÊt kú? 
Bµi 5: Cho 8 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tõ 8 ch÷ sè trªn cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè, mçi sè gåm 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ kh«ng chia hÕt cho 10. 
Bµi 6. Cho tËp hîp A gåm 6 ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hái cã thÓ thµnh lËp tõ A bao nhiªu:
a. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè?
b. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
c. Sè tù nhiªn ch½n cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
d. Sè tù nhhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 5?
e. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®­îc b¾t ®Çu bëi ch÷ sè 1
f. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau cã tËn cïng kh«ng lµ ch÷ sè 5 
Bµi 7. Bµi 4. Cho tËp hîp A gåm 7 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hái cã thÓ thµnh lËp tõ A bao nhiªu:
a. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè?
b. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
c. Sè tù nhiªn ch½n cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
d. Sè tù nhhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 5?
e. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®­îc b¾t ®Çu bëi ch÷ sè 1
f. Sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau cã tËn cïng kh«ng lµ ch÷ sè 5 
g. Sè tù nhiªn lÎ cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau nhá h¬n 4000?
Bµi 8. Tõ tËp hîp sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a. Cã bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau ? Trong ®ã cã bao nhiªu sè kh«ng ®­îc b¾t ®Çu bëi c¸c sè 123 ?
b. Cã bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau mµ ch÷ sè 1 vµ 5 lu«n ®øng c¹nh nhau ?
Bµi 9. Tõ tËp hîp c¸c sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
a. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè
b. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau cã tËn cïng bëi ch÷ sè 6 vµ chia hÕt cho 3.
Bµi 10: Mét ng­êi cã 6 c¸i ¸o, trong ®ã cã 3 ¸o säc vµ 3 ¸o tr¾ng; cã 5 quÇn, trong ®ã cã 2 quÇn ®en; vµ cã 3 ®«i giµy, trong ®ã cã 2 ®«i giÇy ®en. Hái ng­êi ®ã cã bao nhiªu c¸ch chän mÆc ¸o - quÇn - giµy, nÕu:
	1) Chän ¸o, quÇn vµ giµy nµo còng ®­îc.
	2) NÕu chän ¸o säc th× víi quÇn nµo vµ giµy nµo còng ®­îc; cßn nÕu chän ¸o tr¾ng th× chØ mÆc víi quÇn ®en vµ ®i giµy ®en. 
Bµi 11. Víi c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5, cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi 12. Dïng 5 ch÷ sè 2,3,4,6,8 ®Ó viÕt thµnh sè gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái:
a. B¾t dÇu bëi ch÷ sè 2.
b. B¾t ®Çu bëi ch÷ sè 36
c. B¾t ®Çu bëi ch÷ sè 482
Bµi 13. Dïng 6 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 ®Ó viÕt thµnh sè tù nhiªn gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái:
a. Cã bao nhiªu sè nh­ vËy
b. Cã bao nhiªu sè b¾t ®Çu bëi ch÷ sè 1
Bµi 14. Cho 8 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7. Hái cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 4.
Bµi 15. Víi c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 5.
Bµi 16. Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiÕt lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 9 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái trong c¸c sè thiÕt lËp ®­îc cã bao nhiªu sè mµ ch÷ sè 9 ®øng chÝnh gi÷a.
Bµi 17. Cho A = {0,1,2,3,4,5} cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè ch½n, mçi sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau.
Bµi 18. 
a. Tõ c¸c ch÷ sè 4,5,6,7 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã c¸c ch÷ sè ph©n biÖt.
b. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè ch½n gåm 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
Bµi 19. Cho tËp E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 5?
II. Bµi tËp vÒ ho¸n vÞ, chØnh hîp, tæ hîp
Bµi 1. Cã 5 b¹n häc sinh ®­îc s¾p xÕp thµnh mét hµng ngang. Cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp nh­ vËy ?
Bµi 2. Cã 5 quyÓn s¸ch tham kh¶o m«n To¸n, 4 quyÓn s¸ch ham kh¶o m«n Lý vµ 6 quyÓn s¸ch tham kh¶o m«n Ho¸. XÕp nh÷ng quyÓn s¸ch ®ã vµo mét ng¨n trªn gi¸ s¸ch theo tõng m«n. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp nh­ vËy.
Bµi 3. Trong mét ®¸m c­íi, c« d©u chó rÓ mêi 4 ng­êi b¹n ®øng thµnh 1 hµng ®Ó chôp ¶nh chung víi m×nh. Cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp:
a. C« d©u ®øng c¹nh chó rÓ.
b. C« d©u kh«ng ®øng c¹nh chó rÓ.
c. C« d©u ®øng bªn tr¸i chó rÓ.
Bµi 4. Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 3, 6, 9 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ:
a. Kh«ng b¾t ®Çu bëi sè 13.
b. Lµ mét sè ch½n lín h¬n 5000
c. Chia hÕt cho 3
Bµi 5. Cã mét hép trong ®ã cã ®ùng 7 qu¶ cÇu mµu ®á vµ 3 qu¶ cÇu mµu xanh. LÊy tõ trong hép ra 3 qu¶ cÇu:
a. Cã bao nhiªu c¸ch lÊy ra nh­ vËy ?
b. Cã bao nhiªu c¸ch lÊy ®Ó trong ®ã cã 2 qu¶ cÇu ®á?
c. Cã bao nhiªu c¸ch lÊy ®Ó trong ®ã cã nhiÒu nhÊt 2 qu¶ cÇu ®á?
d. Cã bao nhiªu c¸ch lÊy ®Ó trong ®ã cã Ýt nhÊt 1 qu¶ cÇu ®á?
Bµi 6. Mét líp häc cã 20 b¹n häc sinh n÷ trong ®ã cã b¹n Mai vµ 16 b¹n häc nam trong ®ã cã b¹n Th¾ng.
1. Chän ngÉu nhiªn 3 häc sinh cña líp?
a. Cã bao nhiªu c¸ch chän nh­ vËy?
b. Cã bao nhiªu c¸ch ®Ó cã ®­îc 3 häc sinh cïng ph¸i?
c. Cã bao nhiªu c¸ch ®Ó cã ®­îc 3 häc sinh kh¸c ph¸i?
2. Chia líp thµnh 4 tæ, mçi tæ cã 9 häc sinh
a. Cã bao nhiªu c¸ch chia nh­ vËy?
b. Cã bao nhiªu c¸ch chia ®Ó sè häc sinh nam vµ n÷ ë c¸c tæ ®Òu nhau?
3. Chän mét ban c¸n sù líp gåm 5 em häc sinh, Ýt nhÊt 2 nam vµ 2 n÷:
a. Cã bao nhiªu c¸ch chän nh­ vËy?
b. Cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Th¾ng vµ Mai kh«ng chÞu lµm viÖc chung?
c. Cã bao nhiªu c¸ch chän nÐu Th¾ng vµ Mai cïng lµm viÖc chung?
Bµi 6. Cã 7 b¹n häc sinh trong ®ã cã 4 b¹n nam vµ 3 b¹n n÷. S¾p xÕp c¸c b¹n ®ã thµnh 1 hµng ngang.
a) Cã bao nhiªu c¸ch xÕp nh­ vËy?
b) Cã bao nhiªu c¸c s¾p xÕp ®Ó c¸c b¹n nam vµ n÷ ®øng xen kÏ?
c) Cã bao nhiªu c¸ch xÕp ®Ó c¸c b¹n nam ®øng liÒn nhau?
Bµi 7. Cã bao nhiª c¸ch s¾p xÕp 5 b¹n häc sinh trong ®ã cã b¹n Ngäc vµ Lan vµo ngåi vµo mét ghÕ cã 5 chç sao cho:
a) Ngäc vµ Lan lu«n ngåi c¹nh nhau.
b) Ngäc vµ Lan kh«ng ngåi c¹nh nhau.
c) Ngäc vµ Lan lu«n ngåi ë hai ®Çu ghÕ
Bµi 8. Cã bao nhiªu c¸ch ph©n phèi 15 phÇn th­ëng cho 3 häc sinh giái sao cho häc sinh thø 1 cã 2 phÇn th­ëng, häc sinh thø 2 cã 3 phÇn th­ëng, häc sinh thø 3 cã 10 phÇn th­ëng?
Bµi 9. Cho c¸c sè 1, 2, 3, 4, 5. Hái cã thÓ viÕt ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn:
a) Cã 5 ch÷ sè
b) Cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ b¾t ®Çu bëi sè 12?
c) Cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 2 vµ b¾t ®Çu bëi ch÷ sè 1?
d) Cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ kh«ng b¾t ®Çu bëi ch÷ sè 1,2,3?
e) Cã 8 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt ®óng 3 lÇn, ch÷ sè 2 cã mÆt 2 lÇn vµ mçi ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt ®óng mét lÇn?
f) Cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau kh«ng lín h¬n 345?
Bµi 10. Cho c¸c sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hái cã thÓ viÕt ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn:
a) Cã 5 ch÷ sè?
b) Cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã cã bao nhiªu sè ch½n?
c) Cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ nhá h¬n 4000?
d) Cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau lín h¬n 5000 vµ lµ sè ch½n?
e) Cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ ch÷ sè hµng chôc lµ 2?
f) Cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã lu«n cã mÆt ch÷ sè 4 vµ ch÷ sè ®¬n vÞ lµ 2?
g) Cã 9 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt ®óng 3 lÇn, mçi ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt ®óng mét lÇn?
Bµi 11. Cho c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5. Cã thÓ viÕt ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn:
a) Cã 3 ch÷ sè, trong ®ã nhÊt thiÕt cã mÆt ch÷ sè 1.
b) Cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã kh«ng cã mÆt ch÷ sè 1.
c) Cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 5.
d) Cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 0
e) Cã 8 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt ®óng 3 lÇn, mçi ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt ®óng mét lÇn?
Bµi 12. Mét tæ häc sinh gåm 5 nam vµ 5 n÷ xÕp thµnh mét hµng däc
a) Cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp kh¸c nhau?
b) Cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp sao cho kh«ng cã häc sinh cïng giíi ®øng kÒ nhau?
Bµi 13. Cã viªn bi xanh, 5 bi ®á, 3 bi vang. Cã bao nhiªu c¸ch lÊy ra 4 viªn bi:
a) Cã ®óng 2 viªn bi xanh?
b) Sè bi xanh b»ng sè bi ®á?
c) Mçi lo¹i bi cã Ýt nhÊt mét viªn (cã ®ñ ba mµu)?
d) Cã ®óng 2 mµu?
Bµi 14. ThÇy gi¸o d¹y To¸n cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u hái khã, 10 c©u hái trung b×nh, 15 c©u hái dÔ. Tõ 30 c©u hái ®ã cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu ®Ò kiÓm tra, mçi ®Ò gåm 5 c©u hái sao cho trong mèi ®Ò nhÊt thiÕt ph¶i cã ®ñ c¶ ba lo¹i c©u hái (khã, TB, dÔ) vµ sè mçi c©u hái dÔ kh«ng Ýt h¬n 2?
Bµi 15. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) M = 	Víi n Î N, n ³ 2.
b) N = 	víi n Î N, n ³ 6
c) P = 
d) Q = 
e) R = 
Bµi 16. Chøng minh r»ng:
a) " m, n Î Z+ . 
b) 
c) 
Bµi 17. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	a) - 4 = 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Bµi 18. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	1) + 50 = 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) = 9x2 - 14x
	9) 	10) 
	11) 	12) 
III.NHỊ THỨC NEWTON .
Bµi 1: Tìm các số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của với .
Bµi 2: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của
, biết rằng 
Bµi 3: Trong khai triển của thành đa thức
, hãy tìm hệ số lớn nhất .
Bµi 4: Tìm số hạng thứ bảy trong khai triển nhị thức:   ; 
Bµi 5: Cho khai triển nhị thức:
 Biết rằng  trong khai triển đó   và số hạng  thứ tư bằng . Tìm .
Bµi 6: Tìm hệ số của số hạng số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của
, biết rằng: 
Bµi 7: Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của 
Bµi 8: Khai triển biểu thức ta được đa thức có dạng . Tìm hệ số của , biết .
Bµi 9: Tìm hệ số của trong khai triển đa thức: 
Bµi 10: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết:
Bµi 11: Tìm số hạng  không chứa trong khai triển nhị thức , biết rằng  
Bµi 12: Tìm hệ số của trong khai triển của thành đa thức.
Bµi 13: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của 
Bµi 14: Tìm hệ số của trong khai triển của 
Bµi 15: Trong khai triển thì hệ số của số hạng là:
Bµi 16: Cho khai triển: . Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển.
Bµi 17: Cho khai triển: . Tìm số hạng chứa trong khai triển.
Bµi 18: Cho khai triển sau : . Tìm hệ số của 
Bµi 19: Cho khai triển: . Biết n là số nguyên dương nghiệm đúng phương trình: . Tìm hệ số của số hạng chứa .
Bµi 20: Có bao nhiêu số hạng hữu tỷ trong khai triển của biểu thức: 
Bµi 21: Có bao nhiêu số hạng hữu tỷ trong khai triển: 
Bµi 22: Cho .Biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển là 328. Tìm hệ số của số hạng thứ 5.
Bµi 23: Tìm hệ số của trong khai triển ?
Bµi 24: 
Xác định n sao cho trong khai triển nhị thức : hạng tử thứ 11 là số hạng có hệ số lớn nhất.
Bµi 25: 
Trong khai triển sau có bao nhiêu số hạng hữu tỷ : 
Bµi 26: Tìm hệ số của trong khai triển 
Bµi 27: Trong khai triển nhị thức : .Tìm số hạng không phụ thuộc x
Bµi 28: Với là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:
Bµi 29: Tính tổng: + +.....+
Bµi 30: Tính tổng: + +.....
Bµi 31: Tìm sao cho: 
Bµi 32: Chứng minh hệ thức sau: 
Bµi 33: Chứng minh :  
Bµi 34: Chứng minh rằng với mọi ,ta luôn có đẳng thức:
Bµi 35: Chứng minh rằng 
Bµi 36: Tính tổng 
Bµi 37: Tìm số nguyên dương n sao cho 
Bµi 38:  Tính giá trị của biểu thức :
, biết rằng   
Bµi 39: CMR: 
Bµi 40: Chứng minh đẳng thức  :
Bµi 41: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
 .
Bµi 42: Cho n là một số nguyên dương.
a) Tính tích phân : 
b) Tính tổng số : 
bµi 43: CMR 
bµi 44: Chứng minh rằng: .
Bµi 45: Tính tổng 
IV.BÀI TẬP XÁC SUẤT
Bài 1. Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 20 sp. Tìm xác suất để cho trong 20 sp lấy ra:
Có 5 phế phẩm
Bị cả 10 phế phẩm
Có đúng 5 chính phẩm
Bài 2.Lớp học môn xác suất gồm 70 học sinh trong đó có 25 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm gồm 10 học sinh. Tìm xác suất để trong nhóm chọn ra có 4 học sinh nữ.
Bài 3. Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử các hành khách lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau và mỗi toa còn ít nhất 12 chỗ trống. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau:
Toa I có 4 người, toa II có 5 người, còn lại là toa III
Mỗi toa có 4 người
Hai hành khách A và B cùng lên một toa
Bài 4.Thang máy của một khách sạn 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách. Coi như mọi người chọn tầng một cách ngẫu nhiên và độc lập. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau:
Tất cả cùng ra ở tầng 5.
Tất cả cùng ra ở một tầng
Mỗi người ra ở một tầng khác nhau
Hai người cùng ra một tầng, 3 người ra 3 tầng khác nhau, tức là 5 người ra 4 tầng khác nhau.
Bài 5. Một em bé có 5 bìa với các chữ N, N, A, H, H. Tìm xác suất để em bé trong khi sắp ngẫu nhiên thu được chữ NHANH?
Bài 6. Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:
Tổng số chấm ở mặt trên hai con xúc xắc bằng 8
Hiệu số nốt ở mặt trên hai con súc sắc có giá trị tuyệt đối bằng 2.
Số nốt ở mặt trên 2 con súc sắc bằng nhau.
Bài 7. Một tổ gồm 10 người ngồi theo một hàng ngang. Mọi người ngồi vào chỗ một cách ngẫu nhiên. Tìm khả năng để cho A và B ngồi cạnh nhau?
Giải bài toán trên với 10 người ngồi trên một bàn tròn?
Bài 8.Viết 5 con số lên 5 quả cầu như nhau. Chọn hú họa lien tiếp ra 3 quả và xếp theo thứ tự từ trái qua phải. Tìm xác suất để nhận được số chẵn?
Bài 9. Rút ngẫu nhiên ra 5 quân bài từ bộ bài tam cúc gồm 32 con. Tìm xác suất sao cho trong 5 con rút ra có:
1 con tướng, 1 con sỹ, 2 con xe và 1 con tốt?
Lập được “tứ tử”
Lập được “ngũ tử”
Lập được bộ ba “xe – pháo – mã”
Có ba con màu đỏ, hai con màu xanh.
Bài 10.Biển đăng ký xe máy loaij 50cm3 ở Hà Nội gồm 3 phần. Phần đầu là số chỉ vùng Hà Nội: số 29. Phần giữa là 3 chữ số. Phần cuối gồm 2 chữ cái.
Tính xem có thể lập được bao nhiêu biển đăng ký xe máy 50cm3 ở Hà Nội?
Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một biển đăng ký. Tính khả năng để nhận được biển gồm 3 số 468?
Tìm xác suất để nhận được một biển có tổng ba số phần giữa lớn hơn 24
Bài 11.Một em bé có một hộp chứa 2 bi trắng và 4 bi đỏ. Em rút hú họa từng viên bi một cho đến viên cuối cùng. Tìm xác suất để viên bi cuối cùng là đỏ?
Bài 12. Ở Hạ nghị viện của một quốc gia nào đó có 20 nghị sĩ thuộc đảng Cộng hòa, có 10 nghị sĩ thuộc đảng Dân chủ. Cần lập một tiểu ban gồm 5 nghị sĩ. Tìm xác suất để tiểu ban được chọn ngẫu nhiên có:
3 nghị sĩ thuộc đảng Cộng hòa và 2 nghị sĩ thuộc đảng Dân chủ?
Cả 5 nghị sĩ cùng thuộc vào một đảng?
Bài 13.Một người mua buôn 15 ti vi. Anh ta sẽ đồng ý cho xếp lô tivi 15 chiếc này lên xe nếu anh ta kiểm tra ngẫu nhiên 4 chiếc không có chiếc nào bị khuyết tật. Vậy xác suất để anh ta chấp nhận lô hàng 15 chiếc này là bao nhiêu nếu trong lô này có 3 chiếc bị khuyết tật?
Bài 14.Ta kiểm tra lần lượt 10 sản phẩm. Mỗi sản phẩm thuộc một trong hai loại: chính phẩm hoặc phế phẩm. Ký hiệu Ak = {sản phẩm kiểm tra thứ k là chính phẩm}, k từ 1 đến 10. Hãy biểu diễn Ak qua các biến cố sau:
Cả 10 sản phẩm đều là chính phẩm
Có ít nhất một sản phẩm là phế phẩm
Các sản phẩm kiểm tratheo thứ tự chẵn là chính phẩm, còn các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là phế phẩm.
Có 1 phế phẩm và 9 chính phẩm.
Có 2 phế phẩm và 8 chính phẩm (chỉ ra một biến cố đại diện và số các biến cố dạng như thế)
Bài 15. Ba người cùng bắn vào bia, mỗi người bắn 1 viên. Ai = {người thứ I bắn trúng bia}. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua A1, A2, A3.
Chỉ có người thứ nhất bắn trúng
Có ít nhất một người bắn trúng
Cả ba người cùng bắn trúng
Người đầu bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.
Có đúng một người bắn trúng.
Có đúng hai người bắn trúng
Có ít nhất hai người bắn trúng.
Không có ai bắn trúng
Không có quá hai người bắn trúng?
V.ĐỀ THI ĐẠI HỌC .
Bài 1 (B-2002): Cho đa giác đều , (, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Tìm n.
Bài 2(B-2004): Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
Bài 3(B-2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Bài 4(D-2006): Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?
Bài 5 (A-2002): Cho khai triển nhị thức: 
, (n nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.
Bài 6 (D-2002): Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Bài 7(A-2003): Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 
 , biết rằng .
Bài 8(B-2003): Cho n là số nguyên dương, tính tổng: 
 S=	(Đs: )
Bài 9(D-2003): Với n nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để a3n – 3 = 26n	(Đs: n = 5)
Bài 10(A-2004): Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của: 
Bài 11(D-2004): Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của , với x > 0.
Bài 12(A-2005): Tìm số nguyên dương n sao cho:
Bài 13(D-2005): Tính giá trị của biểu thức: , biết rằng:
Bài 14(A-2006): Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .
Bài 15(B-2006): Cho tập hợp A gồm n phần tử . Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồn 2 phần tử của A. Tìm sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
Bài 16(A-2007): CMR , (với )
Bài 17(B-2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .
Bài 18(D-2007): Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của: 
Bài 19(A-2008): Cho khai triển: , trong đó và các hệ số thỏa mãn . Tìm số lớn nhất trong các số .
Bài 20(B-2008): CMR 
Bài 21(D-2008): Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Bài 22(A-2012): Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , với .
Bài 23(D-2014)Cho một đa giác đều n đỉnh, . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.
Bài 24(B-2012): Trong một lớp gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng ghi bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
Bài 25(A-2013): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Bài 26(B-2013): Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Bài 27(A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác xuất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
Bài 28(B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và ba 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn