Đại số 10 nâng cao bài: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
BÀI : ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
1. Chứng minh định lí P Þ Q bằng phản chứng :
	Giả sử kết luận không đúng từ đó chứng minh giả thiết cũng không đúng, tức là trái với giả thiết.
2. Sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” để phát biểu định lí :
	Mệnh đề có dạng A Þ B được phát biểu dưới dạng : Điều kiện đủ để có B là có A.
3. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần” để phát biểu định lí :
	Mệnh đề có dạng A Þ B được phát biểu dưới dạng : Điều kiện cần để có A là có B.
Bài 1: Chứng minh các mệnh đề sau đúng bằng phương pháp phản chứng :
a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc (trong) nhỏ hơn 60o.
c) Nếu x ≠ −1 và y ≠ −1 thì x + y + xy ≠ −1.
Giải
a) Giả sử a ³ 1 và b ³ 1. Suy ra : a + b ³ 2 (trái với giả thiết). Vậy phải có a < 1 hoặc b < 1.
b) Giả sử tam giác ABC không có góc (trong) nào nhỏ hơn 60o, tức là .
Suy ra : + + ³ 180o. 
Mà: + + = 180o nên nếu có một góc lớn hơn 60o thì phải có một góc nhỏ hơn 60o (điều này trái với giả sử trên). 
Do đó = = = 60o Þ Tam giác ABC đều (trái với giả thiết) Þ đpcm.
c) Giả sử x + y + xy = −1 Û (x + 1)(y + 1) = 0 Û x = −1 hoặc y = −1 9trais với giả thiết)Þđpcm.
Bài 2: Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.
a) Trong mp nếu hai đt phân biệt cùng vuông góc với một đt thứ ba thì hai đt ấy song song với nhau.
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 hoặc chữ số 0 thì nó chia hết cho 5.
d) Nếu a + b > 0 thì một trong hai số phải dương.
Giải
a) Điều kiện đủ để hai đt song song với nhau là hai đt đó cùng vuông góc với đt thứ ba.
b) Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác đó bằng nhau.
c) Điều kiện đủ để một số tự nhiên chia hết cho 5 là nó có chữ số tận cùng bằng 5 hoặc bằng 0.
d) Điều kiện đủ để một trong hai số a, b dương là tổng của hai số a và b phải dương.
Bài 3: Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
b) Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
d) Nếu a = b thì a2 = b2.
Giải
a) Điều kiện cần để để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tương ứng bằng nhau.
b) Điều kiện cần để một tứ giác là hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 6 là nó phải chia hết cho 3.
d) Điều kiện cần để a = b là a2 = b2.
TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất nào đó.
2. Cách cho một tập hợp :
Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
3. Tập rổng là tập hợp không có chứa phần tử nào, kí hiệu : Æ.
4. Tập A được gọi là tập con của tập B, kí hiệu A Ì B nếu mỗi phần tử của tập A đều là một phần tử của tập B.
5. Hai tập A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu là A = B nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của A.
6. Một số tập con của tập số thực (SGK ĐS10 nâng cao)
7. Các phép toán trên tập hợp :
Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A È B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B
A È B = {xïx ÎA hoặc xÎB}
Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A Ç B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B
A Ç B = {x ïx ÎA và xÎB}
Cho A Ì E. Phần bù của A trong E kí hiệu là CEA là tập hợp tất cả các phần tử của E mà không là phần tử của A.
Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A\B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
A\B = {x ï xÎA và xÏB}
BÀI TẬP
Bài 1: Xét xem các cách viết sau đúng hay sai ?
15ÎN ; −3/2ÎQ ; 0ÎR ; 21ÎZ ; 0ÎÆ ; ÎQ ; pÎR ; 1,6ÎQ ; ÎR
Bài 2: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó :
a) A = {xÎNïx < 5}	b) B = {xÎZï −2 < x £ 3}
c) C = {xïx = 3k với kÎZ và −1 < x < 12}	 d) D = {xïx =với kÎN và x ³ }
Giải
a) A = {0 ; 1; 2; 3; 4}	b) B = {−1; 0 ; 1 ; 2 ; 3}	c) C = {0; 3; 6; 9}
d) D = 
Bài 3: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó :
a) A = {2; 4; 6; 8; 10}	b) B = {3; 9; 27; 81}	
c) C = {2;4;7;8;11;13;14}
Giải
a) A = {2n ï nÎN và 1 £ n £ 5}	
b) B = {3nï nÎN và 1 £ n £ 4}
c) C = {nÎZï2 £ n £ 15, n và 15 không có ước chung khác 1}.
 Bài 4: Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào ?
A = {1;2;3}	B = {xÎNïx < 4}
C = (0 ; +¥)	D = {xÎRï2x2 – 7x + 3 = 0}
Giải
Viết lại các tập hợp ở dạng liệt kê các phần tử ta được :
A = {1;2;3}	B = {0;1;2;3}
C = (0 ; +¥)	D = 
Do đó : A Ì C ; A Ì B ; D Ì C
Bài 5: Tìm tất cả các tập con của các tập hợp sau :
a) A = {1; 2}	b) B = {1 ; 2; 3}
Giải
a) Các tập con của A là : Æ ; {1} ; {2} ; {1; 2}
b) Các tập con của B là : Æ ; {1} ; {2} ; {3} ; {1;2} ; {1;3} ; {2;3} ; {1;2;3}
Þ Nếu tập A có n phần tử thì số tập con của A là : 2n.
Bài 6: Cho hai tập hợp A và B dưới đây. Viết tập A Ç B bằng 2 cách :
a) A = {xï x là ước nguyên dương của 12}
 B = {xï x là ước nguyên dương của 18}
b) A = {xï x là bội nguyên dương của 6}
 B = {xï x là bội nguyên dương của 15}
Giải
a) Ước chung lớn nhất của 12 và 18 là 6 nên ta có :
A Ç B = {xï x là ước nguyên dương của 6}
 = {1;2;3;6}
b) Bội chung nhỏ nhất của 6 và 15 là 30 nên ta có :
A Ç B = {xï x là bội nguyên dương của 30}
 = {30;60;90; . . .}
Bài 7: Cho A = {xÎZï −4 £ x < 3} và B = {xï x = 2k, kÎN}.
Tìm A Ç B , A È B
Giải
Ta có : A = {−4; −3;−2; −1; 0; 1; 2} và B = {0 ; 2; 4; 6; 8; . . .}
Do đó : A Ç B = {0; 2}
	 A È B = {−4; −3;−2; −1; 0; 1; 2; 4; 6; 8; . . .; 2k ; . . .}
Bài 8: Tìm các tập hợp A È B, B È C, A Ç C và B Ç C và biểu diễn các tập hợp đó trên trục số trong các trường hợp sau :
a) A = [0 ; 4]	B = (1 ; 5)	C = (−3 ; 1]
b) A = (−¥ ; 2]	B = [2 ; +¥)	C = (0 ; 3)
c) A = (−5 ; 1]	B = [3 ;+¥)	C = (−¥ ; −2)
Giải
a) A È B = [0 ; 5)	B È C = (−3 ; 5)	A Ç C = [0 ; 1]	B Ç C = Æ
b) A È B = R	B È C = (0 ; +¥)	A Ç C = (0 ; 2]	B Ç C = [2 ; 3)
c) A È B = [−5 ; 1)È[3 ; +¥)	B È C = (−¥ ; −2)È	[3 ;+¥)	
A Ç C = (−5 ; −2)	B Ç C = Æ
HS tự vẽ các trục số biểu diễn.
Bài 9: Vẽ biểu đồ Ven thể hiện các phép toán sau của các tập A, B và C :
a) A Ç (B Ç C)	b) (A\B) È (A\C) È (B\C)
Giải
a) 	b) 
Bài 10: Có thể nói gì về các tập A và B nếu các đẳng thức tập hợp sau là đúng :
a) A È B = A	b) A Ç B = A	c) A\B = A	d) A\B = B\A
Giải
a) Nếu A È B = A thì B là tập con của A vì theo định nghĩa ta luôn có B Ì A È B. Điều ngược lại cũng đúng. Vậy A È B = A nếu và chỉ nếu B là tập con của A
b) Nếu A Ç B = A thì A là tập con của B vì theo định nghĩa ta luôn có A Ç B Ì B.
c) Nếu A\B = A thì hai tập A và B phải không giao nhau (rời nhau). Thật vậy, nếu tồn tại xÎA và xÎB thì do A = A\B nên x ÎA\B. Suy ra, x ÏB (mâu thuẩn). Ngược lại bằng cách vẽ biểu đồ Ven dễ thấy nếu A Ç B = Æ thì A\B = A cũng đúng. Vậy A\B = A nếu và chỉ nếu A Ç B = Æ.
d) Nếu A\B = B\A thì A = B. Thật vậy, nếu A ≠ B thì phải có một phần tử của tập này nhưng không thuộc tập kia, chẳng hạn xÎA và x ÏB suy ra x ÎA\B nên xÎB\A do đó xÎB và x ÏA (mâu thuẩn). Dễ kiểm tra rằng điều ngược lại cũng đúng. Vậy A\B = B\A nếu và chỉ nếu A = B.