Cực trị hình học - Kiến thức trọng tâm

di động trên cạnh BC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và với AB , chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
A
B
C
M
x
y
D
K
H
E
1
2
h.24
Giải : 
SADME lớn nhất Û lớn nhất 
Kẻ BK ^ AC cắt MD ở H.
SADME = MD . HK
SABC = AC . BK
Đặt MB = x , MC = y , 
MD//AC ta có : 	; 
Theo bất đẳng thức 	Þ . 	
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
Vậy 	maxSADME =SABC khi đó M là trung điểm của BC.
Ví dụ 14: Cho D ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a . Gọi D là trung điểm của AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC . Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH . Khi đó hình thang trở thành hình gì ?
Giải:
Ta có : 
2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) .HK
Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi 
Nên (BH + KC) .HK lớn nhất ÛBH + KC) = HK = 
A
D
D
B
H
K
C
E
h.25
Do đó :
max SDEKH =
Khi đó đường cao HK = suy ra :
KC = BC -BH –HK = a - - = 
Do đó DH = HB = , EK = KC = . 
Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.
Sử dụng tỉ số lượng giác.
A
B
C
a
c
b
h.26
a-Kiến thức cần nhớ:
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
+ b = a.sinB = a.cosC
+ b = c.tgB = c.cotgC
b-Các ví dụ:
Ví dụ 15: Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.
h.27
A
B
C
H
Giải:
Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S. Kẻ đường cao AH . Đặt = a
DAHC vuông tại H, ta có :
 , 
AH = HC .cotg =BC.cotg
Do đó : S = BC.AH = BC.BC.cotg =BC2cotg
Þ BC = 
Do S không đổi nên :
BC nhỏ nhất Û tg nhỏ nhất Û nhỏ nhất Û a nhỏ nhất Û nhỏ nhất 
Ví dụ 16: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc lớn nhất . 
A
B
C
D
M
M
K
x
y
h.28
( Cho công thức biến đổi tg( x +y )= )
Giải:
Đặt , ( x + y < 900 )
lớn nhất Û + nhỏ nhất 
Û x + y nhỏ nhất Û tan (x + y) nhỏ nhất 
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)
tg x = 
tg y = 
tg( x +y )= = =
tg (x + y) nhỏ nhất Û nhỏ nhất 
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
 ≥ 
Dấu đẳng thức xảy ra Û Û m = 
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m =
Do đó lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1
Phần 3: Bài tập ôn luyện
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là :
Lớn nhất
h.29
A
B
M
C
D
D’
A’
O
N
H
C’
B’
d
Nhỏ nhất 
Hướng dẫn:
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.
m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Suy ra : m = 4MN do đó:
m lớn nhất Û MN lớn nhất
m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất
a) MN £ MO Þ m lớn nhất Û M≡O Û d//AB
b)kẻ MH ^ OB . Chứng minh MN ≥MH Þ MN nhỏ nhất Û N ≡H Û d≡BD hoặc d ≡AC.
Bài 2 : Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB ,AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :
DE có độ dài nhỏ nhất .
A
B
D
C
E
M
I
h.30
Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất .
Hướng dẫn: (h.30)
a)Gọi M là trung điểm của BC .
DBDM = DAEM Þ
Þ
Gọi I là trung điểm của DE .
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM
Min DE = AM Û I là trung điểm của AM
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
 b)Đặt AE = x, AB =AC =a thì AD = a - x , SADE = 
SBDEC nhỏ nhất Û SADE lớn nhất Û x(a - x) lớn nhất
Do x +( a- x) = a không đổi nên x( a - x) lớn nhất Û x = a - x Û x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Bài 3 : Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm :
Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE .
h.31
A
B
C
M
D
O
E
Giá trị nhỏ nhất của diện tích D MDE
Hướng dẫn:
a) (h.31)Gọi O là trung điểm của DE
Ta có OA = OD =OE = OM 
Þ DE = OA + OM ≥ AM = 
minDE = a/2 Û O là trung điểm của AM 
h.32
A
B
C
M
D
K
E
H
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
b) (h.32)Kẻ MH ^ AB , MK ^ AC 
ME ≥ MK , MD ≥ MH .
2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK =. =
minSMDE = Û D ≡ H và E ≡ K
Bài 4 : Cho điểm m di chuyển trên đoạn thẳng AB .Vẽ các tam giác đềuAMC và BMD về một phía của AB . Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều tren là nhỏ nhất .
h.33
K
A
B
M
D
C
1
2
x
y
Hướng dẫn: (h.33)
Gọi K là giao điểm của AC và BD .
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với DAKB
Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
;
Þ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó : min (S1 +S2) = Û M là trung điểm của AB.
h.34
A
M
B
Q
H
P
C
N
y
I
h-x
Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất . Biết M ÎAB ; N Î AC ; P,Q Î BC.
Hướng dẫn: (h.34)
Gọi I là giao điểm của AH và MN
Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h - x
DAMN D ABC 
Þ 
Þ SMNPQ = xy = . x(h - x)
Þ SMNPQ lớn nhất Û x(h - x)lớn nhất 
 x +(h - x) = h không đổi nên
 x(h - x) lớn nhất Û x = h - x Û x = h/2
Khi đó MN là đường trung bình của DABC
Bài 6 : Cho D ABC vuông tại A . Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 +IN2 +IK2 nhỏ nhất.
h.35
A
K
B
H
M
C
N
I
E
Hướng dẫn: (h.35)
Kẻ AH ^BC , IE ^AH 
ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật.
IK2+ IN2 = IK2 +AK2 = AI2 ≥ AE2
IM = EH
 nên IK2+ IN2 + IM2 = AI2 +EH2 ≥ AE2+EH2 
Đặt AE = x , EH =y ta có :
 Þ IK2+ IN2 + IM2 ≥ . 
Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH.
A
h.36
B
C
M
N
KKK
x
n
z
m
y
k
I
Bài 7 : Cho tam giác nhọn ABC .Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z .
Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất.
Hướng dẫn: (h.36)
Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,
 BC = a , AC = b , AB = c .
x2 +y2 +z2 = 
=(IA2 - IK2 ) + (IB2 - IM2 ) + (IC2 - IN2 )
= (IA2 - IN2 ) + (IB2 - IK2 ) + (IC2 - IM2 ) = n2 + k2 + m2 
Þ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2
 = ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 ) 
x2+ k2 ≥ 	y2+ m2 ≥	
 z2 + n2 ≥ 
Þ x2 +y2 +z2 ≥ . 
min(x2 +y2 +z2 ) = Û x = k , y = m , z = n.
Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC.
Bài 8 : Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.
h.37
Hướng dẫn: (h.37)
Kẻ OH ^CD , ta tính được OH = 4cm
SABFE = 1/2(AE + BF).EF 
= OH.EF £ OH. AB = 4.10 =40
max SABEF =40 cm2
Û EF // AB , khi đó OH ^ AB
h.38
Bài 9 : Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.
Hướng dẫn:(h.38)
Đặt CM = m , CN = n , MN = x
m + n + x = 2CD = 2a và m2 +n2 = x2 
Do đó : x2= m2 +n2 ≥ 
2x2 ≥ ( 2a - x)2 Þ ≥ 2a - x
x ≥ 
min MN =2a Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của , AN là phân giác của 
Bài 10 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lớn nhất .
h.39
a
a
Hướng dẫn:(h.39)
Kẻ OD ^ AB ; O’E ^ AC ta có:
SABC = AB.AC =.2AD.2AE= 2.AD.AE
Đặt OA =R ; O’A = r ;
AD = R sina ; AE = r cosa 
Þ SABC = Rr. 2sina .cosa 
2sina .cosa £ sin2a + cos2a =1
SABC £ Rr
Do đó : 
max SABC = Rr Û sina = cosa Û sina = sin( 900- a ) Û a = 900 - a Û a = 450.
 Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc thì D ABC có diện tích lớn nhất .
Bài 11 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn . Vẽ tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB. Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH . Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: (h.40)
DEFG là hình bình hành.
Kẻ OI ^FH , ta có OI là đường trung bình của D BHC nên OI = ½ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên Þ OI = ½ OM Þ GD = ½ OM 
Mà ED = ½ OM Þ EG = GD 
Þ DEFG là hình thoi
ÞÞDEFG đều
Þ SDEFG =2SEFG = 2. = £ = 
max S = Û H ≡ B Û Û Û AC = R.
Bài 12 : Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .
Chứng minh rằng : 
h.41
A
B
K
D
z
C
I
H
·O
x
y
·
M
E
c
b
Tìm vị trí của điểm D để tổng nhỏ nhất .
Hướng dẫn: (h.41)
a) Lấy E trên BC sao cho 
DCDE đồng dạng với D ADB
Þ 
Tương tự DBDE đồng dạng với D ADC
Þ
Þ
b) == Do đó S nhỏ nhất Û nhỏ nhất Û x lớn nhất Û D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)
h.42
A
B
P
Q
C
O
H
M
Bài 13 : Cho DABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh BC .Gọi P ,Q là hình chiếu của M trên AB , AC . Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất .
Hướng dẫn: (h.42)
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
Kẻ OH ^ PQ . Đặt =a thì = a
PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina
Do a không dổi nên 
PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Û AM ^BC.
Bài 14 : Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.
 Hướng dẫn: (h.43)
Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC
Đặt AB = 2a , AC =2x thì r1 = a , r2= x Suy ra BC =2a - 2x và r3 = a - x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
Ta có : =
h.43
S lớn nhất Û x( a -x) lớn nhất 
Mặt khác x + (a - x) = a không đổi nên 
 x( a -x) lớn nhất Û x = a - x Û x = Û C ≡O1
Lúc đó ta có S =
Bài 15 : Cho đường tròn (O;R) . Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O2) gấp đôi bán kính đường tròn (O1). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1) và(O2) .
Hướng dẫn: 
Gọi x là bán kính đường tròn (O1) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O2 ) (h.44)
Xét DOO1O2 ta có : O1O2 £ O O1 +OO2
Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x) Þ 6x £ 2R Þ x £ 
Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O1)và (O2 ) , ta có :
 S = 
Do x £ nên x2 £ Þ S ≥ ;	
min S = Û x =
Khi đó O1,O,O2 thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O1) và (O2 ) là và (h.45).
Bµi 16: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 , điểm M nằm trên đường chéo BD .
a) Nêu cách dựng đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AD và CD. Nêu cách dựng đường tròn (K) đi qua M và tiếp xúc với hai cạnh AB,BC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường tròn không đổi .
c) Xác định vị trỉ của điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất . 
a) Qua M kẻ đường vuông góc với BD cắt AB,BC,CD,DA tại P,Q,F,E .
H
J
Do AB,BC tiếp xúc với (K) nên K Î MB
PQ ^ KM nên PQ là tiếp tuyến của (K)
Vậy (K) là đường tròn nội tiếp DPBQ 
Tương tự (I) là đường tròn nội tiếp DEDF (2 đ)
b) Tổng chu vi hai đường tròn (I) và (K) bằng:
 2p.IM + 2p.MK = 2p .IK 
 MD = ID +IM =
 MB = KB +MK =
Þ BD = MD + MB = =IK
Þ IK = Do BD = AB =
Þ IK = ( - 1) = 2 - 
Vậy tổng chu vi hai đường tròn bằng 2p(2 - ) (4 đ)
Gọi x và y là bán kính các đường tròn (I) và(K) 
Ta có : x + y = 2 - 
Gọi S1 ,S2 là diện tích các hình tròn trên 
S1 + S2 = px2 +py2 = p(x2 + y2 ) ≥
S1 + S2 nhỏ nhất Û x =y Û M là trung điểm của BD. ( 4đ)
Bµi to¸n cùc trÞ PhÇn h×nh häc 
I. mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n.
 a) - Ta chøng minh ®­îc A ³ m (m kh«ng ®æi)
- Cã mét h×nh sao cho A = m th× GTNN cña A lµ m
 b) Ta chøng minh ®­îc A £ t (t kh«ng ®æi)
- Cã mét h×nh sao cho A = t th× GTLN cña A lµ t
- Tõ ®ã ta x¸c ®Þnh ®­îc vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm ®Ó ®¹t ®­îc cùc trÞ.
Ph©n lo¹i bµi tËp vµ vÝ dô minh ho¹ :
T×m cùc trÞ dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c 
KiÕn thøc c¬ së: 
Víi 3 ®iÓm A,B ,C bÊt kú ta cã : ≤ AB ≤ AC + BC
 DÊu “ = “ x¶y ra Û C 
- Trong tam gi¸c ABC Cã Ð BAC > Ð ABC Û BC < AC 
+ Quy t¾c n ®iÓm A1A2, ..., An 
Ta cã A1An £ A1A2 + A2A3 + ... An-1An
DÊu "=" x¶y ra ÛA1A2, ..., An th¼ng hµng vµ s¾p xÕp theo thø tù ®ã.
12. C¸c vÝ dô ¸p dông :
VÝ dô 1 : Cho ®­êng trßn (0; R) , A vµ B lµ hai ®iÓm cè ®Þnh n»m ngoµi ®­êng trßn . M lµ ®iÓm cè ®Þnh trªn ®­êng trßn (0) .
A
B
C
M
O
K
H
D
d
 X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c MAB cã gi¸ trÞ :
 a) Lín nhÊt b) nhá nhÊt 
	Gi¶i
 VÏ ®­êng th¼ng d qua 0 vµ ^ AB t¹i K
d c¾t ®­êng trßn ( 0 ) t¹i C vµ D 
H¹ AH ^ AB 
Þ SMAB = 
a) Ta cã MH ≤ MK 
XÐt 3 ®iÓm M,O ,K ta cã MK ≤ OM + OK 
Û MK ≤ OC + OK Û MH ≤ CK Þ SMAB ≤ ( kh«ng ®æi ) 
DÊu “ = “ x¶y ra Û H K Û M C
b) XÐt 3 ®iÓm M,O ,H ta cã MH ≥ 
Mµ OK ≤ OH vµ OK - OM = OK - OD = DK Þ MH ≥ DK 
Þ SMAB ≥ ( kh«ng ®æi ) DÊu “ = “ x¶y ra Û M 
 Vµ M K Û M D 
VÝ dô 2: Cho ®­êng trßn (O;R); A lµ ®iÓm cè ®Þnh trong ®­êng trßn 
(A ¹ O). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm B trªn ®­êng trßn O sao cho gãc OBA lín nhÊt.
	Gi¶i:
Gi¶ sö cã B Î (O). VÏ d©y BC cña ®­êng trßn (O) qua A ta cã OB = OC = R 
A
 => DOBC c©n t¹i O => gãc OBC = 
Nªn gãc OBAmax gãc COBmin. 
Trong DCOB cã CO = OB = R kh«ng ®æi
=> ÐCOB min BCmin = OHmax
Mµ OH £ OA nªn OHmax H º A BC ^ OA t¹i A.	
VËy OBAmax B Î (O) sao cho BC ^ OA t¹i A.
O
M
D
A
C
B
VÝ dô3: : Cho tø gi¸c låi ABCD. T×m ®iÓm M trong tø gi¸c ®ã sao cho AM + MB + MC + MD ®¹t cùc trÞ nhá nhÊt.
	Gi¶i:
Víi 3 ®iÓm M, A, C ta cã: MA + MC ³ AC
 ta cã MB + MD ³ BD. 
AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (kh«ng ®æi).
DÊu "=" x¶y ra Û
VËy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD ÛM º O
1.3. Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: Cho gãc vu«ng xOy; ®iÓm A thuéc miÒn trong cña gãc. C¸c diÓm M, N theo thø tù chuyÓn ®éng trªn c¸c tia Ox,Oy sao cho gãc MAB = 900. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M, N ®Ó MN cã ®é dµi nhá nhÊt.
Bµi 2: Cho 2 ®­êng trßn ë ngoµi nhau (O;R) vµ (O';R'). A n»m trªn (O), B n»m trªn (O'). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A,B ®Ó ®o¹n th¼ng AB cã ®é dµi lín nhÊt.
2 / T×m cùc trÞ dïng quan hÖ gi÷a ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng xiªn 
. 2.1. KiÕn thøc c¬ së
Ta cã AH ^ d; A Ï d; B,C Î d
*.AB ³ AH, dÊu "=" x¶y ra Û B º H
*.AB £ AC Û BH £ HC
2.2. C¸c vÝ dô ¸p dông 
VÝ dô1:: Cho DABC (¢ = 900) M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC. VÏ MD ^ AB; ME ^ AC (D Î AB, E Î AC). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó DE cã ®é dµi nhá nhÊt.
	Gi¶i:
C
D
B
A
A
H
M
E
VÏ AH ^ BC (H Î BC), H cè ®Þnh vµ AH kh«ng ®æi, tø gi¸c AEMD cã ¢ = £ = = 900
 => AEMD lµ h×nh ch÷ nhËt.	
 => DE = AM mµ AM ³ AH (kh«ng ®æi) 
(theo t/c ®­êng xiªn vµ ®­êng vu«ng gãc). 
DÊu "=" x¶y ra Û M ºH. VËy khi M º H th× DE nhá nhÊt.
 VÝ dô 2 : Cho ®­êng th¼ng d vµ ®­êng trßn (O;R) cã kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d lµ OH ³ R. LÊy hai ®iÓm bÊt kú A Î d; B Î (O;R). H·y chØ ra vÞ trÝ cña A vµ B sao cho ®é dµi cña AB ng¾n nhÊt? Chøng minh ®iÒu ®ã.
Gi¶i:
Tõ t©m (O) kÎ OH ^ d, OH c¾t ®­êng trßn (O) t¹i K. XÐt ba ®iÓm A. B. O ta cã AB + OB £ OA mµ OA ³ OH (quan hÖ ®­êng xiªn vµ ®­êng vu«ng gãc).
=> AB ³ OH - OB = HK kh«ng ®æi
VËy min AB = KH Û 
2.3.Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: Trªn c¹nh BC, AC cña tam gi¸c ®Òu ABC lÊy t­¬ng øng hai ®iÓm M vµ N sao cho B¹ch M· = CN. T×m vÞ trÝ cña M ®Ó MN cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 2: Cho nöa ®­êng tron (O;R) ®­êng kÝnh AB.M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn, kÎ MH ^ HB. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó: 
a) SDABC lín nhÊt
b) Chu vi cña DMAB lín nhÊt.
3. T×m cùc trÞ vËn dông bÊt ®¼ng thøc trong ®­êng trßn.
3.1 KiÕn thøc c¬ së:
 + Trong mét ®­êng trßn: ®­êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt.
 + D©y cung lín h¬n Û d©y ®ã gÇn t©m h¬n.
 + Cung lín h¬n Ûd©y tr­¬ng cung lín h¬n
 + Cung lín h¬n Û gãc ë t©m lín h¬n
3.2. C¸c vÝ dô ¸p dông :
VÝ dô 1 : Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm M n»m trong ®­êng trßn ®ã (M ¹ O). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y cung AB cña ®­êng trßn (O) qua M sao cho ®é dµi AB ng¾n nhÊt.
	Gi¶i:
O
M’
A
M
B’
A’
B
 Ta cã d©y AB ^ OM t¹i M lµ d©y cung cã ®é dµi nhá nhÊt.
ThËt vËy: Qua M vÏ d©y A'B' bÊt kú cña (O) A'B' kh«ng vu«ng gãc víi OM. VÏ OM' ^ A'B'. M' Î A'B'; M' ¹ M => OM' ^ MM' => OM > OM'
=> AB < A'B' (theo ®Þnh lý kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y).
VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp trong ®­êng trßn (O;R). M lµ ®iÓm di ®éng trªn ®­êng trßn (O). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó MA + MB + MC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Gi¶i:
Ta xÐt M Î cung BC. Trªn MA lÊy D sao cho MB = MD. Ta chøng minh ®­îc: DBMD lµ tam gi¸c ®Òu.
	=> = 602
Mµ = 600 => 
Chøng minh cho DBAD = DBCM (gcg)
=> AD = MC
=> MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA
Mµ MA lµ d©y cung cña ®­êng trßn (O;R) => MA = 2R
=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ÛMA lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (O) ÛM lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC.
T­¬ng tù ta xÐt M thuéc cung AB vµ M thuéc cung AC => M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB hoÆc cung AC th× MA + MB + MC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
 3.4.Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: Trªn c¹nh BC, AC cña tam gi¸c ®Òu ABC lÊy t­¬ng øng hai ®iÓm M vµ N sao cho BM = CN. T×m vÞ trÝ cña M ®Ó MN cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 2: Cho tø g¸c ABCD néi tiÕp trong ®­êng trßn (O;R) cho tr­íc. t×m tø gi¸c cã tæng AB.CD + AD.BC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
4 . T×m cùc trÞ dïng bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè 
4.1. KiÕn thøc bæ sung :
+ BÊt ®¼ng thøc c«si cho hai sè kh«ng ©m: a,b
Ta cã: . DÊu "=" x¶y ra ó a= b
+ BÊt ®¼ng thøc c«si tæng qu¸t cho n sè kh«ng ©m
. DÊu "=" x¶y ra Û a1 = a2 = ... = an
+ BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski
(ax + by) £ . DÊu "=" x¶y ra Û .
+ Vµ mét sè bÊt ®¼ng thøc quen thuéc kh¸c.
4.2. C¸c vÝ dô ¸p dông:
A
B
M
VÝ dô 1 Cho ®­êng trßn (0; R) , ®­êng kÝnh AB , M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®­êng trßn 
®Ó MA + MB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
Gi¶i :
Ta cã : Ð AMB = 900 ( gãc nt ch¾n nöa ®.trßn)
 D MAB cã Ð M = 900 Theo Pitago ta cã : 
MA2 + MB2 = AB2 = 4R2
¸p dông B§T Bunhiacopski ta cã 
MA + MB ≤ = 4R
MA + MB ≤ 4R
DÊu "=" x¶y ra Û 
Û tg¢ = = tg600
Û M¢B = 600 nªn max(MA + .MB) = 4R Û M¢B = 600
VÝ dô 2 : Cho ®o¹n th¼ng AB , ®iÓm M di chuyÓn trªn ®o¹n Êy .VÏ c¸c ®­êng trßn ®­êng kÝnh MA , MB .X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tæng diÖn tÝch cña hai h×nh trßn cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . 
A
M
B
O
O/
Gi¶i 
 §Æt MA =x , MB = y , ta cã : x + y = AB ( 0 < x< y < AB ) 
 Gäi S vµ S’thø tù lµ diÖn tÝch cña 2 h×nh trßn cã ®­êng kÝnh lµ MA vµ MB 
Ta cã : S + S’ = 
 ¸p dông B§T : x2 + y2 ≥ Þ S + S’ ≥ . = 
 DÊu "=" x¶y ra Û x = y VËy Min (S + S’ ) = 
 Û M lµ trung ®iÓm cña AB
VÝ dô 3 : Cho D ABC cã BC = a , AC = b , AB = c T×m ®iÓm M n»m bªn trong tam gi¸c ABC sao cho cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . Trong ®ã x,y,z lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn BC , AC , AB 
Gi¶i
Gäi diÖn tÝch D ABC lµ S . Ta cã ax +by + cz = 2S Kh«ng ®æi 
Ap dông B§T Bunhiacopski ta cã 
B
A
C
a
c
b
x
z
M
(ax +by + cz ) ( ) ≥ 
Þ (ax +by + cz ) ( ) ≥ (a+b+c)2 
Þ ( ) ≥ 
VËy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 
Û ( ) = 
Û Û x = y = z Û D ABC lµ tam gi¸c ®Òu
4.3. C¸c bµi tËp ¸p dông :
 Bµi 1: Cho h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi c¹nh b»ng a. Trªn hai c¹nh AB vµ AD lÇn l­ît lÊy 2 ®iÓm M, N sao cho chu DAMN = 2a. T×m vÞ trÝ cña M vµ N ®Ó SDAMN lín nhÊt.
Bµi 2: Cho DABC ngo¹i tiÕp ®­êng trßn (O;r). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O;r) song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c. C¸c tiÕp tuyÕn nµy t¹o víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c thµnh 3 tam gi¸c nhá cã diÖn tÝch lµ S1, S2, S3. Gäi S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tû sè .
B. Một vài ví dụ
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định. Tìm vị trí của A trên cung lớn BC để tam giác ABC có chu vi lớn nhất.
 Hướng dẫn:
BC cố định nên góc CAB không đổi, độ dài BC không đổi
Chu vi tam giác ABC chỉ còn phụ thuộc vào AB+AC.
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AC = AD vậy chu vi của tam giác ABC phụ thuộc vào độ dài của BD hơn nữa góc CDB cũng không đổi hay BD là dây của cung chứa góc A dựng