Cực trị hàm trùng phương

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
Xét hàm số ( )4 2 3 2 2
0
4 2 2 2 0
2
x
y ax bx c y ax bx x ax b b
x
a
=
′= + + ⇒ = + = + = ⇔
 = −

DẠNG 1. BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 

 Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0
2
− ≤b
a

 Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt 0
2
⇔ − >
b
a
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số = − + −4 22 3 1y x mx m 
Tìm m để 
a) hàm số có 1 cực trị. 
b) hàm số có 3 cực trị. 
Lời giải: 
Ta có ( )3 2 2 04 4 4 0 =′= − = − ⇒ = ⇔ 
=
x
y x mx x x m y
x m
a) Hàm số có một cực trị khi m ≤ 0. 
b) Hàm số có ba cực trị khi m > 0. 
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số ( )= + − + −4 21 3 3 5y m x mx m 
Biện luận theo m số cực trị của hàm số đã cho. 
Lời giải: 
Ta có ( ) ( )
3 2
2
0
4 1 6 2 ( 1) 3 0 ( 1) 3 , 1
=
  ′= + − = + − ⇒ = ⇔   + −
x
y m x mx x m x m y
m x m
TH1 : 1 6 ; 0 0′= − ⇒ = = ⇔ =m y x y x 
Trong trường hợp này hàm số có một cực trị, và đó là điểm cực tiểu. 
TH2 : ( ) 2 31, 1
1
≠ − ⇔ =
+
m
m x
m
 + Hàm số có một cực trị khi 3 0 1 0
1
≤ ⇔ − < ≤
+
m
m
m
 + Hàm số có ba cực trị khi 
03 0
11
>
> ⇔  < −+ 
mm
mm
Kết luận : 

 Hàm số có một cực trị khi 1 0− ≤ ≤m 

 Hàm số có ba cực trị khi 
0
1
>
 < −
m
m
DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C. 
+) Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị : ( )0 *
2
− >
b
a
+) Với điều kiện (*) ta có 2
3
0
0
2
2

 = = →

 −
′ = ⇔ = = →


−
= − = →

A A
B B
C C
x x y
by x x y
a
b
x x y
a
, từ đó ( )0; ; ; ; ;
2 2
   
− −
−      
   
A B C
b bA y B y C y
a a
03. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có yB = yC. 
Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A. 
Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số : 
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. 
Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A. 
Khi đo ta có điều kiện ( ). 0, 1=


 


AB AC 
với ; ; ;
2 2
   
− −
= − = − −      
   



 



B A C A
b bAB y y AC y y
a a
Từ đó ( ) ( )21 . 0 0
2
⇔ = ⇔ + − =



 



B A
bAB AC y y
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết 
quả cuối cùng của bài toán. 
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân 
ABC : 2 2 2 2 22+ = ⇔ =AB AC BC AB BC 
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. 
Tam giác ABC đều khi ( )2 2 , 2= ⇔ =AB BC AB BC 
với ; ; 2 ;0
2 2
   
− −
= − = −      
   



 



B A
b bAB y y BC
a a
Từ đó ( ) ( )2 22
2
− −
⇔ + − =B A
b by y
a a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết 
quả cuối cùng của bài toán. 
Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200 
Tam giác ABC cân tại A nên  0120=BAC . Gọi H là trung điểm của ( )0;⇒ BBC H y 
Ta có  ( )0 2 2cos cos60 2 4 , 3= ⇔ = ⇔ = ⇔ =AH AHHAB AB AH AB AH
AB AB
với ( ); ; 0;
2
 
−
= − = −  
 



 



B A B A
bAB y y AH y y
a
, từ đó ( ) ( ) ( )2 23 4
2
−
⇔ + − = −B A B A
b y y y y
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. 
Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = So cho trước 
Gọi H là trung điểm của ( )0;⇒ BBC H y . Khi đó ( )2 2 21 . 2 . 4 . , 42∆ = ⇔ = ⇔ =ABC o oS AH BC S AH BC S AH BC 
với ( )2 ;0 ; 0;
2
 
−
= − = −  
 



 



B A
bBC AH y y
a
, từ đó ( ) ( )223 4 .4
2
− 
⇔ = −  
 
o B A
bS y y
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. 
Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước 
Sử dụng công thức diện tích tam giác 
2
. .
14 4 24. .
2
= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
abc abc AB AC BC ABS R R R
R S AHAH BC
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng. 
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước 
Ta có điều kiện trong trường hợp này là α 2 3α
3
+ +
= ⇔ + =A B C A B
y y y
y y 
Tính chất 7: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
Sử dụng công thức diện tích tam giác 
1
.
.2
.
2
2
= ⇒ = = =
+ + +
AH BCS AH BCS p r r AB AC BCp AB BC
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng. 
Ví dụ 1: [ĐVH]. (ĐH khối B - 2011). Cho hàm số = − + +4 22( 1)y x m x m , với m là tham số. 
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, với O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị 
thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 
Lời giải: 
Ta có 3 2 2
0
4 4( 1) 4 ( 1) 0
1
=
′ ′ = − + = − + ⇒ = ⇔  
= +
x
y x m x x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ( )1 0 1, *⇔ + > ⇔ > −m m 
Với m > −1 thì 
1 1
2
2 2
2
3 3
0
0 1 ( 1)
1 ( 1)
= ⇒ =

′ = ⇔ = + ⇒ = − + +

= − + ⇒ = − + +
x y m
y x m y m m
x m y m m
Theo bài ta có tọa độ các điểm cực trị là ( ) ( ) ( )2 20; , 1; 1 , 1; 1+ − − − − + − − −A m B m m m C m m m 
Từ đó ( )2 2 2 2 2 2 24 1 4 4 0
2 2 2
 = +
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − = ⇔ 
= −
m
OA BC OA BC m m m m
m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được 2 2 2= ±m là các giá trị cần tìm. 
Ví dụ 2: [ĐVH]. (Dự bị khối B - 2003). Cho hàm số = − +4 2 22 1y x m x , với m là tham số. 
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. 
Lời giải: 
Ta có 3 2 2 2 2 2
0
4 4 4 0
=
′ ′ = − = − ⇒ = ⇔  
=
x
y x m x x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ( )2 0 0, *⇔ > ⇔ ≠m m 
Với m ≠ 0 thì ( ) ( ) ( )
1 1
4 4 4
2 2
4
3 3
0 1
0 1 0;1 , ;1 , ;1
1
= ⇒ =

′ = ⇔ = ⇒ = − → − − −

= − ⇒ = −
x y
y x m y m A B m m C m m
x m y m
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A. Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A. 
Từ đó suy ra ( ) ( )4 4 2 8 2 6 0. 0 ; . ; 0 0 ( 1) 0 1
=⊥ ⇔ = ⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ 
= ±



 


 m
AB AC AB AC m m m m m m m m
m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được 1= ±m là các giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số = + − −4 22 1y x mx m , với m là tham số. 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác 
a) có diện tích bằng 4 2 . 
b) đều. 
c) có một góc bằng 1200 
Lời giải: 
Ta có ( )3 2 2 04 4 4 0 =′ ′= + = + ⇒ = ⇔ 
= −
x
y x mx x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m < 0, (*) 
Với m < 0 thì 
( ) ( ) ( )2 2 2
2
0 1
0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1
1
= ⇒ = − −

′ = ⇔ = − ⇒ = − − − → − − − − − − − − − − −

= − − ⇒ = − − −
x y m
y x m y m m A m B m m m C m m m
x m y m m
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A. 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
a) Gọi H là trung điểm của ( )20; 1⇒ − − −BC H m m 
Khi đó, ( )2 21 . 4 2 . 8 2 . 128, 1
2∆
= = ⇔ = ⇔ =ABCS AH BC AH BC AH BC 
Ta có ( ) ( )22 ;0 ; 0; ,= − − = −


 


BC m AH m từ đó ( ) 4 51 4 . 128 32 2⇔ − = ⇔ = − ⇒ = −m m m m 
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 là giá trị cần tìm. 
b) Tam giác ABC đều khi ( )2 2 , 2= ⇔ =AB BC AB BC 
Ta có ( ) ( )2; , 2 ;0 ,= − − = − −


 


AB m m BC m từ đó ( ) 4 4 302 4 3 3
=
⇔ − + = − ⇔ = − ⇔ 
= −
m
m m m m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 3= −m là giá trị cần tìm. 
c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng 1200 thì  0120=BAC 
Gọi H là trung điểm của ( )20; 1⇒ − − −BC H m m 
Trong tam giác vuông HAB có  ( )0 2 23sin sin 60 3 2 3 , 3
2
= = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
BH BHHAB AB BH BC AB BC
AB AB
Ta có ( ) ( )2; , 2 ;0 ,= − − = − −


 


AB m m BC m khi đó ( ) ( )4
3
0
3 3 4 1
3
=
⇔ − + = − ⇔
 = −

m
m m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 
3
1
3
= −m là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số = − + −4 22 1y x mx m , với m là tham số. 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính 
đường tròn ngoại tiếp bằng 2. 
Lời giải: 
Ta có ( )3 2 2 04 4 4 0 =′ ′= − = − ⇒ = ⇔ 
=
x
y x mx x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m > 0, (*) 
Với m > 0 thì ( ) ( ) ( )2 2 2
2
0 1
0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1
1
= ⇒ = −

′ = ⇔ = ⇒ = − + − → − − + − − − + −

= − ⇒ = − + −
x y m
y x m y m m A m B m m m C m m m
x m y m m
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A. 
Gọi H là trung điểm của ( )20; 1⇒ − + −BC H m m 
Diện tích tam giác ABC : ( )
2
. . .
, 1
2 4 2∆
= = ⇒ =ABC
AH BC AB BC AC ABS R
R AH
Ta có ( ) ( ) 2 42 2 2; ; 0;  = += − = − ⇒ 
=



 


 AB m m
AB m m AH m
AH m
Khi đó, ( ) ( )( )4 3 22
1
1 2 2 1 0 1 1 0 1 5
2
=
+ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔
− ±
=

m
m m
m m m m m
m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 5 11;
2
−
= =m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 5: [ĐVH]. (Khối A - 2012). Cho hàm số ( ) ( )= − + +4 2 22 1 1y x m x m , với m là tham số. 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông 
Lời giải: 
Ta có 3 2 2
0
4 4( 1) 4 ( 1) 0
1
=
′ ′ = − + = − + ⇒ = ⇔  
= +
x
y x m x x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ( )1 0 1, *⇔ + > ⇔ > −m m 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
Với m ≠ 0 thì ( ) ( ) ( )
2
1 1
2
2 2
3 3
0
0 1 2 1 0; , 1; 2 1 , 1; 2 1
1 2 1
 = ⇒ =

′ = ⇔ = + ⇒ = − − → + − − − + − −

= − + ⇒ = − −
x y m
y x m y m A m B m m C m m
x m y m
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A. Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A. 
Ta có ( ) ( )2 21; ( 1) ; 1; ( 1)= + − + = − + − +


 


AB m m AC m m 
Từ đó suy ra 4
1 0 1
. 0 ( 1) ( 1) 0
1 1 0
+ = = − ⊥ ⇔ = ⇔ − + + + = ⇔ ⇔ + = = 



 


 m m
AB AC AB AC m m
m m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = 0 là các giá trị cần tìm. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số 4 24 2 1= − + +y x mx m , với m là tham số. 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác 
a) có diện tích bằng 3 2. 
b) có trọng tâm là 20; .
3
 
 
 
G 
c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 
Bài 2: [ĐVH]. Tìm m để hàm số 4 2 22 1= − +y x m x có ba điểm cực trị A, B, C sao cho 
a) tam giác ABC đều. 
b) 2 ,=OA BC trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc Oy, B ; C là hai điểm cực trị còn lại. 
Bài 3: [ĐVH]. Tìm m để hàm số ( )4 2 22 2 5 5= + − + − +y x m x m m có ba điểm cực trị và là ba đỉnh của một 
tam giác vuông cân. 
Đ/s : m = 1. 
Bài 4: [ĐVH]. Tìm m để hàm số 4 2 22= + + +y x mx m m có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ 
thị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200. 
Đ/s : .= −
3
1
3
m 
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số 4 2 42 2= − + +y x mx m m có đồ thị (Cm) . 
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một 
tam giác có diện tích bằng 4. 
Đ/s : .= 5 16m 
Bài 6: [ĐVH]. Biện luận theo m số cực trị của các hàm số sau : 
a) 4 22 (2 1) 3.= − − + + +y x m x m 
b) 4 2(1 ) (3 1) 2 5.= − − + + +y m x m x m 
c) 2 4 2 3(3 2) 1.= − − + −y m x mx m 
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số 4 22 2y x mx= − + (C).Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có: 
a) Bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp gấp đôi bán kính đường tròn nội tiếp. 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số 4 22 , ( )= − +y x mx m C . Chứng minh rằng với mọi m > 0 hàm số luôn có 3 điểm 
cực trị. Khi đó gọi A là cực đại, B, C là cực tiểu, ( )∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Biết ( )∆ không 
cắt đoạn thẳng BC. Tìm k để 
4
( ; ) ( ; ) 2
2
BCd d B d C  = ∆ + ∆ =  
 
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số 4 22 1, ( )= − +y x mx C và điểm ( )M C∈ có tung độ bằng 9. Tìm m để hàm số 
có 2 cực tiểu tại A,B sao cho ( ). 8MA MB MA MB+ − =