Chuyên đề Ứng dụng Tích phân ôn thi đại học

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 3y x x= + và 2 6y x= + ; 3x = và 0x = . 
Lời giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong 3y x x= + và 2 6y x= + . 
( )( )3 2 26 2 3 0 2x x x x x x x+ = + ⇔ − + + = ⇔ = 
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho ta có:
3
3 2
0
6S x x x dx= − + −∫ 
( ) ( )2 3 2 33 2 3 2 3 2 3 2
0 2 0 2
6 6 6 6x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx= − + − + − + − = − − + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫ . 
2 34 3 2 4 3 2
0 2
6 6
4 3 2 4 3 2
x x x x x x
x x
   
= − − + − + − + −   
   
26 77 181
3 12 12
= + = . 
Vậy 181
12
S = là giá trị cần tìm. 
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 
22 3 3
1
x xy
x
− +
=
+
 và y x= . 
Lời giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho là: 
22 3 3
1
x x
x
x
− −
=
+
2 14 3 0
31
xx x
xx
=− +
⇔ = ⇔ 
=+ 
. 
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm ta có: 
3 32 2
1 1
4 3 4 3
1 1
x x x xS dx dx
x x
− + − +
= = −
+ +∫ ∫
3 3 32 2
11 1
4 5 8 85 5 8ln 1 6 8ln 2
1 1 2
x x xdx x dx x x
x x
 − − +  
= − = − − + = − − + + = −  + +   
∫ ∫ . 
Vậy 6 8ln 2S = − . 
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 3y x= và đường thẳng 2y x= + 
Lời giải: 
Hoành độ giao điểm của đường cong 3y x= với đường thẳng 2y x= + là nghiệm của phương trình 
1
3 2
4
x
x x
x
=
= + ⇔ 
=
Ta có: ( )
22 92 3 1 4
0
x x
x x x
x
 + ≤
+ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≤
≥
Nên ta có ( )4 4 2
1 1
4 12 3 3 2 2 2
12 2
xS x x dx x x dx x x x = + − = − − = − − = 
 
∫ ∫ 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 1 .
2
S = 
DỰ ĐOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KÌ THI THPTQG 2015 
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 24y x= và 
2
xy = . 
Lời giải: 
Hoành độ giao điểm của 2 đường cong đã cho là nghiệm của phương trình: 
2
0
4 12
4
x
x
x
x
=

= ⇔
 =

. 
Suy ra: 
1 1
34 4
2 2
0 0
1
4 14 4 4
2 2 3 3 480
x x x x xS x dx x dx
   
= − = − = − =      
   
∫ ∫ (đvdt) 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 1
48
S = 
Câu 5: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng được giới hạn bởi các đường 
2 5, 6y x y x= + = và các đường thẳng 0, 5x x= = 
Lời giải 
Phương trình hoành độ giao điễm 2 2
1
5 6 6 5 0
5
x
x x x x
x
=
+ = ⇔ − + = ⇔ 
=
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 52 22 22 2
0 1
5 6 6 5V x x dx x x dxpi pi   = + − + − +      ∫ ∫ 
( ) ( )1 54 2 4 2
0 1
1 5
5 3 5 3
0 1
26 25 26 25
1 26 1 2625 25
5 3 5 3
248 5248 1832
15 15 5
x x dx x x dx
x x x x x x
pi
pi pi
pi pi pi
= − + + − + −
   
= − + − − +   
   
= + =
∫ ∫
Vậy 1832
5
V pi= 
Câu 6: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng được giới hạn bởi các đường 
1
,
x
x
ey
e
−
= trục hoành và các đường thẳng 0, ln 2x x= = 
Lời giải 
Ta có: 
( )2ln 2
0
1x
x
e
V dx
e
pi
−
= ∫ 
Đặt x x
x
dt dt
t e dt e dx dx
te
= ⇒ = ⇒ = = 
Đỗi cận: 0 1, ln 2 2x t x t= ⇒ = = ⇒ = 
( )22 2 2 22
2 2
11 1 1
1 2 1 2 1 1 31 2ln 2ln 2
2
t dt t tV dt dt t t
t t t tt t
pi pi pi pi pi
−
− +      
⇒ = = = − + = − − = −     
     
∫ ∫ ∫ 
Vậy 3 2ln 2
2
V pi = − 
 
Câu 7. Tính tích phân ( )2 2
1
1 .I x x x dx= + −∫ 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Lời giải 
Ta có 
2 2
2
1 1
1 .I x dx x x dx A B= + − = +∫ ∫ 
• 
2 3
2
1
2 7
.
13 3
xA x dx= = =∫ 
• 
2
1
1 .B x x dx= −∫ 
Đặt 21 1.x t x t− = ⇒ = + Với 1 0; 2 1.x t x t= ⇒ = = ⇒ = 
Khi đó ( ) ( ) ( )1 1 5 32 2 2 2
0 0
1 161 1 2 1 2 .
05 3 15
t tB t t d t t t dt  = + + = + = + = 
 
∫ ∫ 
Do đó 7 16 17 .
3 15 5
I A B= + = + = 
Đ/s: 17 .
5
I = 
Câu 8. Tính tích phân ( )
1
3 2ln .
e
I x x x dx= +∫ 
Lời giải 
Ta có 2
1 1
3 2 ln .
e e
I x dx x xdx A B= + = +∫ ∫ 
• 
2 3 3
1
3 1.
1
e e
A x dx x e= = = −∫ 
• ( )2 2 2
1 1 1
2 ln ln ln ln
1
e e ee
B x xdx xdx x x x d x= = = −∫ ∫ ∫ 
2 2 2
2 2 2 2
1
1 1 1
. .
12 2 2 2
e ex e e
e x dx e e
x
+
= − = − = − + =∫ 
Do đó 
2 3 2
3 1 2 11 .
2 2
e e eI A B e + + −= + = − + = 
Đ/s: 
3 22 1
.
2
e eI + −= 
Câu 9. Tính tích phân ( )2
0
2 cos .I x x dx
pi
= +∫ 
Lời giải 
Ta có 
2 2
0 0
2 cos .I xdx x xdx A B
pi pi
= + = +∫ ∫ 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
• 
22
2
0
2 .2
40
A xdx x
pi
pi
pi
= = =∫ 
• ( )2 2 2
0 0 0
cos sin sin sin cos 1.2 2
2 20 0
B x xdx xd x x x xdx x
pi pi pi
pi pi
pi pi
= = = − = + = −∫ ∫ ∫ 
Do đó 
2
1.
4 2
I A B pi pi= + = + − 
Đ/s: 
2
1.
4 2
I pi pi= + − 
Câu 10. Tính tích phân ( )1
0
1 .xI x e dx= +∫ 
Lời giải 
Ta có 
1 1
0 0
.
xI xdx xe dx A B= + = +∫ ∫ 
• 
1 2
0
1 1
.
02 2
xA xdx= = =∫ 
• ( )
1 1 1
0 0 0
1 1
1 1.
0 0
x x x x xB xe dx xde xe e dx e e e e= = = − = − = − − =∫ ∫ ∫ 
Do đó 1 31 .
2 2
I A B= + = + = 
Đ/s: 3 .
2
I = 
Câu 11. Tính tích phân 
10
5
2
.
1 1
xI dx
x
−
=
− −
∫ 
Lời giải 
Ta có 
( )( )
( ) ( )
10 10 10 10
5 5 5 5
2 1 1
1 1 1 .
1 1
x x
I dx x dx dx x dx A B
x
− − +
= = + − = + − = +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ 
• 
10
5
10
5.
5
A dx x= = =∫ 
• 
10
5
1 .B x dx= −∫ 
Đặt 21 1.x t x t− = ⇒ = + Với 5 2; 10 3.x t x t= ⇒ = = ⇒ = 
Khi đó ( )3 3 32 2
2 2
32 381 2 .
23 3
tB td t t dt= + = = =∫ ∫ 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Do đó 38 535 .
3 3
I A B= + = + = 
Đ/s: 53 .
3
I =