Chuyên đề: Tối ưu hóa bài toán đếm trong đại số tổ hợp

h 
Vậy ta có 37C .5!=4200 số 
b)Dùng phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau: 
+ Lấy ra 5 số từ tập A: 
Số 2,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại được lấy từ tập A\{2,3} nên có 37C cách, suy ra có 37C 
cách lấy ra một tập gồm 5 số mà 2, 5 luôn có mặt 
+ Sắp xếp 
2,3 . . . 
Sắp xếp số 2,3 kề nhau ta xem là một số a có 2! cách, sắp xếp số a với 3 số còn lại có 4! 
cách, từ đó số cách sắp xếp 5 chữ số đã chọn như trên là 2!.4! cách 
Vậy ta có 37C .2!.4!=1680 số 
b)Do số các trường hợp 2,3 không đứng cạnh nhau nhiều nên ta sử dụng phương pháp 
loại trừ. 
+ Số các số có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 2,3 là 37C .5! 
+ Số có 5 chữ số khác nhau sao cho 2,3 luôn đứng kề nhau là 37C .2!.4! 
+ Vậy số cần tìm là: 37C .5!- 37C .2!.4!=2520 số 
Bài 3: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 6 
Cho tập A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau 
sao cho: 
a)Luôn có mặt chữ số 3 
b)Luôn có mặt chữ số 4 
Nhận xét: Sự khác nhau giữa hai bài toán là gì? Cách giải có khác nhau hay không? 
Người GV phải định hướng cho HS biết để giải quyết trọn vẹn và chính xác bài toán. 
Giải: 
Gọi số cần tìm là 54321 aaaaan = 
a)Cách 1: Đếm vị trí 
+ 5a có 4 cách chọn 
+chữ số 3 có 4 vị trí 
+3 chữ số còn lại có 38A cách sắp xếp 
+ Vậy có 5376.4.4 38 =A số 
Cách 2: Chọn rồi sắp xếp (dành cho bạn đọc) 
b)Dự đoán cách giải học sinh sẽ sử dụng: tương tự như câu a 
+ a5 có 4 cách chọn 
+ chữ số 4 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 37A cách sắp xếp 
+ Vậy có: 3360.4.4 37 =A số 
Sai lầm ở đâu: trường hợp số 4 là a5, khi đó cách chọn số 4 sẽ không đúng 
Lời giải đúng: 
*TH1: a5 =4, khi đó có 168048 =A số 
*TH1: a5 ≠ 4, khi đó 
+ a5 có 3 cách chọn 
+ chữ số 4 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 37A cách sắp xếp 
+ suy ra ta có: 2520.4.3 37 =A số 
Vậy số cần tìm là: 420025201680 =+ số 
Bài 4: Từ các số 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó có 3 chữ số 
1, 2 chữ số 2 và 2 chữ số còn lại là 3,4. 
Giải: 
+ Số các số có 7 chữ số từ 7 số đã cho là 7! 
+ Nếu ta hoán vị a lần chữ số 1 hoặc 2 thì vẫn không đổi do đó có 3!.2! lần bị lặp lại 
+ Vậy số cần tìm là 420
!2!.3
!7
= số 
 Bài 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó 
chữ số 3 có mặt 2 lần, chữ số 5 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. 
Nhận xét: Sự khác nhau giữa bài 4 và bài 5 là gì? Số chữ số bằng tập số đã cho và số 
chữ số nhỏ hơn tập số đã cho. 
Giải: Bằng cách đếm vị trí 
3 5. 3 .5 5 1 4 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 7 
+ Chọn 2 vị trí trong 7 vị trí và sắp xếp 2 chữ số 3 vào ta có 27C cách 
+ Chọn 3 trong 5 vị trí tiếp theo và sắp xếp 3 chữ số 5 vào 35C cách 
+ Còn 2 vị trí sắp xếp 2 chữ số khác nhau lấy từ các số còn lại trong tập A ta có 27A 
Vậy ta có 27C . 35C 27A =8820 số 
Bài 6: Cho tập A = {1,3,5,7,9}. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau 
lấy từ tập A không bắt đâù từ 13 
Giải: 
+ Số có 5 chữ số lấy từ tập A là 5!=120 số 
+Số bắt đầu bằng 13 là: Số1,3 có 1 cách chọn, 3 số còn lại là hoán vị của 3 số 5,7,9 nên 
có 3!=6 Số 
+ Vậy các số cần tìm là: 120 - 6 =114 số 
Bài 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác 
nhau sao cho: 
a)Bắt đầu bằng 456 
b)Không bắt đầu bằng 456 
Giải: 
a) 
456 
Số có 5 chữ số bắt đầu bằng 456 là 
• 4,5,6 có 1 cách chọn 
• 2 vị trí còn lại được lấy từ các số 4 số khác nhau của tập A nên có 
1224 =A 
Suy ra có 12 số bắt đầu bằng 456 là 12 số 
b)Phương pháp loại trừ 
+Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là 252057 =A 
+ Số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng 456 là 12 
+ Số cần tìm là 2520 – 12 =2508 số 
Bài 8: Từ các số 1,3,5,6,7 lập được bao nhiêu số có các chữ số khác nhau lớn hơn 6000 
Giải: 
*TH1: số cần tìm có 5 chữ số có 5! =120 (số) luôn thỏa mãn điều kiện bài toán 
*TH2: số cần tìm có 4 chữ là 4321 aaaan = 
+a1 có 2 cách chọn, 432 aaa có 2434 =A cách chọn 
+ suy ra có 2.24=48 số 
Vậy số cần tìm là 120+ 24 =144 số 
Những bài toán mà tập số ban đầu chứa số 0 
Bài 9: Cho tập A ={0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên 
a) có 5 chữ số 
b) có 5 chữ số khác nhau 
c) lẻ có 5 chữ số khác nhau 
d)chẵn có 5 chữ số khác nhau 
Giải: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 8 
Gọi số cần tìm là 54321 aaaaan = 
a) 
+ a1 có 6 cách chọn (a1 ≠ 0) 
+ 5432 aaaa có 7.7.7.7 =2401 cách 
+ Vậy có 6.2401 =14406 số 
b) 
+ a1 có 6 cách chọn (a1 ≠ 0) 
+ 5432 aaaa có 46A cách 
+ vậy có 6. 46A = 2160 số 
c) 
+a5 lẻ nên a5 có 4 cách chọn 
+a1 có 5 cách chọn (a1 ≠ 0, a1 ≠ a5) 
+ 432 aaa có 35A cách 
+vậy có 12005.4 35 =A số 
c) Cách giải có tương tự câu b hay không? 
Dự đoán HS đưa ra cách giải: 
+a5 chẵn nên a5 có 3 cách chọn 
+a1 có 5 cách chọn (a1 ≠ 0, a1 ≠ a5) 
+ 432 aaa có 35A cách 
+vậy có 9005.3 35 =A số 
Sai lầm HS gặp phải: Khi đếm a5 là 0 thì cách đếm a1 phải là 6, như vậy lời giải trên là 
sai. Vậy cách giải như thế nào? 
Lời giải đúng 
Cách 1: Đếm loại trừ 
+Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là 2160 
+ Số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là 1200 
+ Số tự nhiên chẵn cần tìm là 2160 -1200 = 960 số 
Cách 2: Đếm trực tiếp 
TH1: a5 = 0:có 1 cách chọn 
+ 4321 aaaa có 36046 =A cách 
+suy ra ta có 360 số 
TH2: 
+a5 ≠ 0: a5 có 2 cách 
+ a1 có 5 cách chọn (a1 ≠ 0, a1 ≠ a5) 
+ 432 aaa có 6035 =A cách chọn 
+ suy ra ta có 2.5.60 =600 số 
Vậy số cần tìm là 360 + 600 = 960 số 
Bài 10: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7} 
a)Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 2 
b)Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 2 
c)Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 
2 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 9 
Giải: 
a)cách đếm trực tiếp 
Gọi số cần tìm 54321 aaaaan = 
*TH1 
+a1 =2 có 1 cách chọn 
+ 5432 aaaa có 47A cách chọn 
+Suy ra ta có 84047 =A số 
*TH2 
+a2 =2 có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 0 và a1 ≠ 2 nên có 6 cách chọn 
+ 543 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 720.6 36 =A số 
Vì vai trò của 2 trong các vị trí 5432 ,,, aaaa là giống nhau nên 
Số cần tìm là 840 + 720.4=3720 số 
b) 
Gọi số cần tìm 54321 aaaaan = 
*TH1 
+a5 lẻ nên có 4 cách chọn 
+a1 =2 có 1 cách chọn 
+ 432 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 480.4 36 =A số 
*TH2 
+a5 lẻ nên có 4 cách chọn 
+a2 =2 có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 0,a1 ≠ 2,a1 ≠ a5 nên có 5 cách chọn 
+ 43aa có 25A cách chọn 
+Suy ra ta có 400.5.4 25 =A số 
Vì vai trò của 2 trong các vị trí 432 ,, aaa là giống nhau nên 
Số cần tìm là 480 +400.3=1680 số 
c) 
Cách 1: Đếm loại trừ 
Số cần tìm là 3720 – 1680 =2040 
Cách 2 : Sử dụng phương pháp lấy phần bù 
(i)Kể cả số 0 đứng đầu 
*TH1: a5 =2, khi đó có 84047 =A số 
*TH2: a5 ≠ 2, khi đó 
+ a5 có 3 cách chọn 
+ chữ số 2 có 4 vị trí 
+ 3 chữ số còn lại có 36A cách sắp xếp 
+ suy ra ta có: 1440.4.3 36 =A số 
Vậy có: 22801440840 =+ số 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 10 
(ii) Số 0 đứng đầu thỏa mãn điều kiện trên 
+ 1a = 0 có 1 cách chọn 
-TH1 : a5 = 2 có 1 cách chọn, 432 aaa có 36A cách chọn 
-TH2 : a5 ≠ 2 và là số chẵn nên có 2 cách chọn, số 2 có 3 vị trí, 2 vị trí còn lại có 25A 
Có 36A +2.3. 25A =240 số 
Vậy số cần tìm là 2280-240=2040 số 
Cách 3: Đếm trực tiếp 
Gọi số cần tìm 54321 aaaaan = 
Với a5 = 0 
*TH1 
+a5 =0 nên có 1 cách chọn 
+a1 =2 có 1 cách chọn 
+ 432 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 36A số 
*TH2 
+a5 =0 nên có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 2 nên có 6 cách chọn 
+Số 2 được đặt trong 3 vị trí a2; a3; a4 nên có 3 cách chọn 
+ 2 vị trí còn lại có 25A 
+Suy ra ta có 1.6.3. 25A số ứng với trường hợp này 
Với a5 ≠ 0 
*TH1 
+a5 =2 nên có có 1 cách chọn 
+a1 ≠ 0,a1 ≠ 2 nên có 6 cách chọn 
+ 432 aaa có 36A cách chọn 
+Suy ra ta có 36.6 A số 
*TH2 
+a5 ≠ 2, a5 }6,4{∈ nên có 2 cách chọn 
+a1=2 có 1 cách chọn 
+ 432 aaa có 
3
5A cách chọn 
+ suy ra có 2. 35A số 
TH3 
+ a5 ≠ 2, a5 }6,4{∈ nên có 2 cách chọn 
+ a1 ≠ 2, a1 ≠ 0 nên a1 có 5 cách chọn 
+Số 2 được đặt trong 3 vị trí còn lại nên có 3 cách chọn 
+2 vị trí còn lại có 25A cách chọn 
+ suy ra có 2.5.3. 25A số 
Vậy số cần tìm là 36A +1.6.3. 25A + 36.6 A +2. 35A +2.5.3. 25A =2040 số 
Bài 11: Cho tập A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 11 
Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho luôn có 3 chữ số chẵn trong các số 
tạo thành 
Giải: Lấy trước rồi sắp xếp sau 
Bước 1 
+Lấy 3 chữ số chẵn trong 4 số chẵn có 34C cách 
+Lấy 3 số lẻ trong 5 số lẻ có 35C cách 
+Suy ra số cách lấy 6 chữ số là 34C . 35C cách 
Bước 2 
Sắp xếp 6 số trên vào 6 vị trí ta có 6! cách 
Vậy số cần tìm là 6! 34C . 35C =28800 (cách) 
Bài 12: Cho tập A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho luôn có 3 chữ số chẵn trong các số 
tạo thành 
Nhận xét: sự khác nhau giữa hai bài toán là gì? Số 0 có trong tập A và số 0 không có 
trong tập A 
Lời giải: 
+TH1: 6 chữ số lấy ra không chứa chữ số 0 
Kết quả như bài 11 ta có 6! 34C . 35C 
+TH2 : 6 chữ số lấy ra luôn có mặt chữ số 0 
Bước 1: Chữ số 0 có 1 cách lấy, lấy 2 chữ số chẵn có 24C cách lấy, lấy 3 số lẻ có 35C cách 
Có 24C .
3
5C cách lấy 6 chữ số luôn có mặt chữ số 0 
Bước 2 : Sắp xếp 
+Sắp xếp 6 chữ số lấy được vào 6 vị trí kể cả vị trí 0 đứng đầu ta có 6 ! cách 
+Vị trí 0 đứng đầu có 5! cách 
+ Số cách sắp xếp thỏa mãn là 6! - 5! 
Vậy số các số cần tìm là 24C . 35C (6! - 5!) =36000 
Bài 13 : Từ tập các số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 5000 
Giải : Gọi số cần tìm là 4321 aaaan = Do n > 5000 nên a1
=6,7,8,9 
TH1: 
+a1 =6, a4 là chẵn và khác 6 nên có 3 cách chọn 
+ 32aa có 
2
5A 
+ suy ra có 60.3 25 =A số 
TH2: 
+a1 =7, a4 là chẵn nên có 4 cách chọn 
+ 32aa có 80.4
2
5 =A 
Ta có a1 =8 như trường hợp 1 và a1 =9 như trường hợp 2 
Vậy có (60 + 80).2=280 số 
Dạng 2: Bài toán sắp xếp đồ vật 
Cách giải: 
Một số lưu ý khi giải dạng toán sắp xếp 
+ Sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí có n! cách sắp xếp 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 12 
+ Sắp xếp k phần tử giống nhau vào n vị trí có knC cách )1( nk ≤≤ 
+ Sắp xếp n phần tử giống nhau ( không thay đổi kết quả) vào n vị trí có 1 cách sắp xếp 
Bài 1: 
Có 3 quyển sách toán; 4 quyển sách lý; 5 quyển sách hóa. Các quyển sách khác nhau. 
Sắp xếp các cuốn sách trên vào một kệ dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 
a) Các quyển sách nằm tùy ý 
b)Các quyển sách cùng loại nằm kề nhau 
Giải: 
a)Các quyển sách là khác nhau nên có 12! cách sắp xếp 
b) 
+Sắp xếp 3 quyển sách toán có 3! cách 
+Sắp xếp 4 quyển sách lý có 4! cách 
+Sắp xếp 5 quyển sách hóa có 5! cách 
+Có 3! sắp xếp 3 nhóm sách 
+Vậy có 3!.3!.4!.5! = 103680 cách 
Bài 2: Người ta sắp xếp 1 quyển sách toán, 1 quyển sách lý và 5 quyển sách hóa vào một 
kệ dài. Biết các quyển sách trên là khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 
quyển sách toán và lý không đứng cạnh nhau. 
Giải: 
+Sắp xếp 7 quyển sách vào một kệ dài ta có 7! cách 
+Sắp xếp 2 quyển sách toán và lý đứng cạnh nhau ta có 2!. Khi đó số cách sắp xếp 7 
quyển sách sao cho 2 quyển sách toán lý đứng cạnh nhau là 2!6! 
+Suy ra số cách sắp xếp cần tìm là 7! – 2.6! = 3600 
Bài 3: 
a)Có 4 tem thư khác nhau và có 4 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách dán 4 tem thư 
vào 4 bì thư sao cho một bìa thư chỉ dán 1 tem thư? 
b)Có 6 tem thư khác nhau và 8 bì thư khác nhau. Chọn ra 6 tem thư dán vào 6 bì thư sao 
cho 1 bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế 
c)Có 6 tem thư khác nhau và có 8 bì thư khác nhau. Chọn ra 4 tem thư và dán vào 4 bì 
thư. Một bì thư dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? 
Giải: 
a)Lấy 4 tem thư và dán vào 4 bì thư có 4! cách 
b) 
+Chọn 6 tem thư từ 6 bì thư có 1 cách chọn 
+Chọn 6 bì thư từ 8 bì thư có 68C cách chọn 
+Dán 6 tem thư lên 6 bì thư có 6! Cách dán 
+ Số cách thực hiện là: 68C .6! =20160 
c)Hoàn toàn tương tự 
Đáp số: !4.. 4846 CC =25200 
Bài 4: Có 4 bi xanh giống hệt nhau và 3 bi đỏ khác nhau. Sắp xếp 7 bi trên vào 1 dãy có 
7 ô vuông. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 
a)Các viên bi nằm tùy ý 
b)Các viên bi cùng màu thì nằm cùng một nhóm 
c)Các viên bi khác màu thì nằm xen kẻ nhau 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 13 
Giải: 
a) 
+Lấy 4 trong 7 vị trí và sắp xếp 4 viên bi xanh giống hệt nhau vào ta có 47C cách 
+Còn 3 vị trí sắp xếp 3 viên bi đỏ khác nhau vào ta có 3! Cách 
+Số cách sắp xếp là: 3! 47C cách 
b) 
+Số cách sắp xếp 4 viên bi xanh giống hệt nhau làm thành 1 nhóm là 1 cách 
+Số cách sắp xếp 3 viên bi đỏ là 3! 
+Số cách sắp xếp thỏa 2 nhóm này là 2! Cách 
Khi đó ta có 3! 2! cách 
c) 
+ 
Đỏ Xanh Đỏ Xanh Đỏ Xanh Đỏ 
+ Chọn 4 vị trí xen kẻ sắp xếp 4 viên bi đỏ giống hệt nhau là 1 cách 
+Còn 3 vị trí là 3! cách sắp xếp 3 viên bi xanh khác nhau 
+Vậy có 3! = 6 cách 
Bài 5: 
Sắp xếp 5 viên bi khác nhau vào 3 cái hộp. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho mỗi hộp 
có ít nhất 1 viên bi 
Giải: 
+Chọn ra 3 viên bi trong 5 hộp và sắp xếp vào 3 cái hộp ta có !3.35C 
+Còn 2 viên bi sắp xếp vào 3 cái hộp 
TH1: Một hộp chứa một lần 2 viên bi có 1322 .CC 
TH2: Một hộp chứa 1 viên bi 1312.CC 
Vậy có tất cả !3.35C ( 1322 .CC + 1312.CC ) 
Bài 6: Cần sắp xếp 2 thầy giáo và 6 học sinh vào một dãy ghế dài sao cho 2 thầy giáo 
không ngồi cạnh nhau 
Giải: (phương pháp tạo vách ngăn) 
+ Xếp 6 học sinh vào 6 vị trí ta có 6! 
+ 6 học sinh sẽ tạo ra 7 vách ngăn, ta đặt 2 thầy giáo vào 7 vách ngăn ta có 27A 
Khi đó số cách sắp xếp là: 27A .6! 
Dạng 3: Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước 
Các dạng toán thường gặp 
1.Bài toán chọn tùy ý 
Chọn m phần tử từ n phần tử khác nhau )0 nm ≤≤ là số tổ hợp chập m của n có mnC cách 
2.Bài toán chọn ít nhât và nhiều nhất 
Cách giải: 
Cách 1: Chia trường hợp 
Cách 2: Đếm loại trừ (lấy phần bù) 
3.Bài toán chọn có mặt đủ loại 
Cách giải: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 14 
Cách 1: Đếm loại trừ (lấy phần bù) 
Cách 2: Chia trường hợp 
4.Bài toán sắp xếp, đem tặng, đem phân công thực hiện các nhiệm vụ khác nhau 
Cách giải: 
+Chọn cho đủ số lượng 
+Đem sắp xếp 
5.Bài toán chọn tên 
Cách giải: 
+Chọn tên của người có mặt 
+Chọn tên các thành viên còn lại 
6.Bài toán chọn nhiệm vụ 
Cách giải: 
+Chọn chức vụ các thành viên có chức vụ được chọn từ tập hợp ban đầu 
+Sau khi chọn xong chức vụ thì chọn các thành viên không có chức vụ 
7.Bài toán chọn tên và có chức vụ 
Cách giải: Chia trường hợp 
Bài 1: Tổ 1 lớp 11A có 11 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ 
a)Có bao nhiêu cách chọn ra 8 học sinh tùy ý 
b)Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh có cả nam và nữ 
c) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh có cả nam và nữ 
Giải: 
a)Chọn 8 học sinh tùy ý có 811C cách 
b)Nhận xét: nếu chia trường hợp có nhiều trường hợp 
Ta sử dụng cách đếm loại trừ 
+Chọn 5 học sinh tùy ý có 511C cách 
+Chọn 5 học sinh nam có 57C cách 
+Vì khi ta chọn 5 học sinh luôn có ít nhất 1 học sinh nam, Vậy có 511C - 57C = có cả nam và 
nữ 
c) Cách 1: 
+Chọn 3 học sinh tùy ý có 311C cách 
+Chọn 3 học sinh nam có 37C cách 
+Chọn 3 học sinh nữ có 34C 
+ Vậy ta có 311C - 37C - 34C cách 
Cách 2: 
TH1: 1 nam và 3 nữ, ta có 17C . 34C 
TH2: 2 nam và 2 nữ có 24C . 27C 
TH3: 3 nam và 1 nữ có 14C . 37C 
Vậy có 17C . 34C + 24C . 27C + 14C . 37C cách 
Bài 2: Đội bóng chuyền học sinh của trường THPT Kỳ Lâm có 5 học sinh khối 10; 7 học 
sinh khối 11; 10 học sinh khối 12 
a)Chọn từ đó 8 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đủ cả 3 khối 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 15 
b)Chọn từ đó ra 15 học sinh có đủ 3 khối. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 4 
học sinh khối 10 
Giải: 
a) 
+Chọn 8 học sinh tùy ý có 822C cách 
+Chọn 8 học sinh của khối 12 có 810C cách 
+Chọn 8 học sinh hai khối 10 và 11 có 812C cách 
+Chọn 8 học sinh có hai khối 10 và 12 có 815C - 810C 
+Chọn 8 học sinh hai khối 12 và 11 có 817C - 810C 
+Vậy số cách cần tìm là 822C - 810C - 812C -( 815C - 810C )-( 817C - 810C ) 
b)Xét trường hợp sau 
TH1:Chọn 4 học sinh khối 10 
+ chọn 4 học sinh khối 10 ta có 45C cách 
+Chọn 11 học sinh còn lại của 2 khối 11 và 12 là 1117C cách 
Suy ra có 45C . 1117C cách 
TH2: Chọn 5 học sinh khối 10 
+ chọn 5 học sinh khối 10 ta có 1cách 
+ Chọn 10 học sinh còn lai của 2 khối 11 và 12 có 10101017 CC − 
Suy ra có 10101017 CC − cách 
Vậy số cách cần tìm là 45C . 1117C + 10101017 CC − cách 
Bài 3: Tổ 1 của lớp 11A gồm có 12 học sinh trong đó có 2 bạn Ánh Tuyết và Tuấn Anh. 
Chọn ra 7 học sinh lập thành tổ học tập. Có bao nhiêu cách chọn sao cho Ánh Tuyết và Tuấn 
Anh không đồng thời có mặt trong một tổ học tập. 
Giải: 
+TH1: Có Ánh Tuyết và không có Tuấn Anh có 611C cách chọn 
+TH2: Có Tuấn Anh và không có Ánh Tuyết có 611C cách chọn 
Vậy có tất cả 2. 611C cách 
Bài 4: Một lớp học có 30 học sinh trong đó luôn có An. Lập thành một đội văn nghệ có 
10 người, trong đó có 3 đội trưởng và 2 đội phó. 
a)Có bao nhiêu cách lập một đội như trên sao cho An luôn có mặt trong đội 
b) Có bao nhiêu cách lập một đội như trên sao cho An luôn có mặt trong đội và là đội 
trưởng hoặc đội phó 
Giải: 
a)Cách 1: 
+Lấy ra học sinh An có 1 cách 
+Lấy ra 9 học sinh nữa không có An có 929C 
+Chọn ra 3 đội trưởng trong 10 bạn có 310C 
+Chọn ra 2 đội phó trong 7 bạn còn lại có 27C 
+ Vậy số cách chọn và sắp xếp là là 1. 929C . 310C . 27C 
Cách 2: 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 16 
Xét các trường hợp sau: 
TH1: An là đội trưởng 
+Chọn thêm 2 đội trưởng nữa có 229C cách 
+Chọn 2 đội phó có 227C cách 
+Chọn 5 thành viên còn lại có 525C 
Suy ra có 229C . 227C . 525C cách 
TH2: An là đội phó 
+Chọn 3 đội trưởng có 329C cách 
+Chọn thêm 1 đội phó có 126C cách 
+Chọn 5 thành viên còn lại có 525C cách 
Suy ra có 329C . 126C . 525C cách 
TH3: An là đội viên ( không là đội trưởng, không là đội phó) 
+Chọn 3 đội trưởng có 329C cách 
+Chọn 2 đội phó có 226C cách 
+Chọn 4 thành viên nữa có 424C cách 
Suy ra có 329C . 226C . 424C cách 
Vậy số cách cần tìm là 229C . 227C . 525C + 329C . 126C . 525C + 329C . 226C . 424C cách 
b) Xét các trường hợp sau: 
TH1: An là đội trưởng 
+Chọn thêm 2 đội trưởng nữa có 229C cách 
+Chọn 2 đội phó có 227C cách 
+Chọn 5 thành viên còn lại có 525C 
Suy ra có 229C . 227C . 525C cách 
TH2: An là đội phó 
+Chọn 3 đội trưởng có 329C cách 
+Chọn thêm 1 đội phó có 126C cách 
+Chọn 5 thành viên còn lại có 525C cách 
Suy ra có 329C . 126C . 525C cách 
Vậy có 229C . 227C . 525C + 329C . 126C . 525C cách 
Bài 5: (ĐH-B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 sinh viên gồm 12 nam và 3 
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện về giúp đỡ 3 xã miền núi sao cho mỗi 
xã có 4 nam và 1 nữ. 
Giải: 
+Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ nhất có 13412.CC cách 
+ Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ 2 có 1248 .CC cách 
+ Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ 3 có 1144 .CC 
Vậy số cách cần tìm là 13412.CC . 1248 .CC . 1144 .CC cách 
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 
GV: Hoàng Ngọc Hùng - www.mathvn.com 17 
Bài 6: Một cô giáo có 4 quyển sách toán và 6 quyển sách lý khác nhau. Lấy từ đó 5 
quyển đủ cả hai loại đem tặng cho 5 học sinh mỗi em có 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách 
tặng 
Giải: 
*Chọn đủ số lượng 
+ Số cách lấy ra 5 quyển bất kỳ là 510C cách 
+ Số cách lấy ra 5 quyển lý là 56C cách, 
+ Do số sách toán ít hơn số lượng cần lấy nên số cách lấy ra 5 quyển đủ 2 loại là 510C - 56C 
*Sắp xếp 
Lấy 5 quyển trên đem tặng 5 học sinh có 5! Cách 
Vậy số cách tặng cần tìm là 5!( 510C - 56C ) cách 
Bài 7:Trong mặt phẳng cho đa giác đều có 10 cạnh. 
a)Có bao nhiêu t