Chuyên đề toán lớp 9 - Ôn thi vào lớp 10

Bài 4: Cho đường trũn (O) đường kớnh AB=2R, C là trung điểm của OA và dõy MN vuụng gúc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trờn cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
Chứng minh tứ giỏc BCHK nội tiếp
Tớnh tớch AH.AK theo R.
Xỏc định vị trớ của điểm K để tổng (KM+KN+KB) đạt GTLN và tớnh GTLN đú?
Bài 5:Cho hai số dương x,y thoả món điều kiện x+y =2. Chứng minh: x2y2(x2+y2) .
ĐỀ:X
Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = .
Rỳt gọn P
Tớnh GT của P khi x=4
Tỡm x để P = .
Bài 2(2,5 điểm): Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh
Thỏng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết mỏy.Thỏng thứ hai tổ I vợt mức 15%, tổ II vượt mức 10% so với thảng thứ nhất. Vỡ vậy hai tổ đó sản xuất được 1010 chi tiết mỏy. Hỏi thỏng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiờu chi tiết mỏy.
Bai3 (1 điểm): Cho Parabol (P): y= và đường thẳng (d) cú phương trỡnh 
y = mx+1.
C/m đường thẳng (d) luụn cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt với mọi m
Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P). Tớnh diện tớch tam giỏc OAB theo m (O là gốc toạ độ).
Bài 4(3,5 điểm): Cho đường trũn (O) bỏn kớnh AB=2R và E là điểm bất kỳ trờn đường trũn đú (E khỏc A,B). Đường phõn giỏc gúc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai K khỏc A.
C/m hai tam giỏc KAF và KEA đồng dạng.
Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường trũn (I;IE) tiếp xỳc (O) tại E và tiếp xỳc AB tại F.
Gọi M,N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường trũn (I;IE). C/m MN//AB
Gọi P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. Tỡm GTNN của chu vi tam giỏc KPQ theo R khi E chuyển động trờn (O).
Bài 5(0,5 điểm): Tỡm GTNN của biểu thức A=(x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2
ĐỀ:XI
Bài1: Cho biểu thức P=
a) Rỳt gọn P
b) Tỡm cỏc GT của x để P <.
Bài 2: Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh
Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 24km.Khi từ B trở về A người đú tăng vận tốc thờm 4km/h so với lỳc đi, vỡ vậy thời gian về ớt hơn thời gian đi 30 phỳt . Tớnh võn tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: Cho phương trỡnh x2 +bx+c=0
1) Giải phương trỡnh khi b=-3; c=2
2) Tỡm b,c để phơng trỡnh cú hai nghệm phõn biệt và tớch bằng 1.
Bài 4:Cho dường trũn (O;R) tiếp xỳc với đờng thẳng d tại A.Trờn đường thẳng d lấy điểm H (H khỏc A) và AH<R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d cắt đường trũn tại hai điểm phõn biệt E, B (E nằm giữa B và H).
1) Chứng minh ABE=EAH và .
2) Lấy điểm C trờn đường thẳng d sao cho H là trung điểm của AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. C/m tứ giỏc AHEK nội tiếp.
3) Xỏc định vị trớ của điểm H để AB = R.
Bài 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x+2. Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ O tới đường thẳng đú lớn nhất.
ĐỀ:XII
Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P =
a) Rỳt gọn P
b) Tớnh GT của P khi x= 4
c) Tỡm GT của x để P = 
Bài 2(2,5 điểm): : Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, hệ phương trỡnh
 Thỏng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết mỏy. Thỏng thứ hai tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với thỏng thứ nhất, vỡ vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết mỏy. Hỏi thỏng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiờu chi tiết mỏy?
Bài 3(1,0 điểm): Cho Parabol (P) : y = và đường thẳng (d) cú phương trỡnh 
y =mx+1.
1) Chứng minh với mọi m đường thẳng (d) luụn cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt A,B.
2) Tớnh diện tớch tam giỏc AOB theo m (O là gốc toạ độ)
Bài 4(3,5 điểm): Cho đường trũn (O) đờng kớnh AB=2R và E là điểm bất kỡ trờn đường trũn đú(E khỏc A và B). Đường phõn giỏc gúc AEB cắt đoạn AB tại F và cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai K.
a) C/minh 
b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF và OE, chứng minh đường trũn (I) bỏn kớnh IE tiếp xỳc với đường trũn (O) tại E và tiếp xỳc với đường thẳng AB tại F.
 c) Chứng minh MN//AB, trong đú M, N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đờng trũn (I).
d) Tớnh GTNN của chu vi tam giỏc KPQ theo R khi E chuyển động trờn đường trũn (O), với P là giao điểm của NF và AK;Q là giao điểm của MF và BK.
Bài 5(0,5 điểm): Tỡm GTNN của biểu thức P = (x-1)4+ (x-3)4+ 6(x-1)2(x-3)2.	
ĐỀ:XIII
Bài 1(2,5 điểm): Cho P = .
1) Rỳt gọn P.
2) Tỡm giỏ trị của x để P =.
3) Tỡm GTLN của P.
Bài 2(2,5 điểm): giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh
Một mảnh đất hỡnh chữ nhật cú độ dài đường chộo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tớnh chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đú?
Bài 3(1,0 điểm): Cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d) y = mx-1
1) CMR với mọi m thỡ (d) luụn cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt.
2) Gọi x1,x2 là cỏc hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tỡm giỏ trị của m để 
x12x2 + x22x1 - x1x2 =3.
Bài 4(3,5 điểm): Cho (O;R) đường kớnh AB =2R và điểm C thuộc đường trũn đú( C khỏc A,B). D thuộc dõy BC (D khỏc B,C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E,tia AC cắt BE tại F.
1) C/minh tứ giỏc FCDE nội tiếp
2) C/minh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc FCDE , chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).
4) Cho biết DF =R, chứng minh tagAFB = 2.
Bài 5 (0,5 điểm): Giải phương trỡnh x2 +4x +7 =(x+4)
CHUYấN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN
LUYỆN THI CHUYấN
Cõu 1. Rỳt gọn P=
Cõu 2. Thực hiện phộp tớnh:
b) B= 
c) Tớnh giỏ trị 
Cõu 3. Rỳt gọn biểu thức :
P = 
Cõu 4. Tớnh giỏ trị của tổng
A = 
Cõu 5. (Chuyờn ĐHSP 2009 V1) Cỏc số thực x , y thoả món đẳng thức : . Chứng minh x+y=0
Cõu 6. (Chuyờn ĐHSP 2011 V2) Cho 
 1.Chứng minh rằng 
 2. Tớnh giỏ trị của biểu thức 
Cõu 7. (Chuyờn ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức 
Cõu 8. Tớnh giỏ trị biểu thức:
 với 
Cõu 9. (Chuyờn ĐHSP 2009 V2) Cỏc số thực x, y thoả món và . Chứng minh rằng biểu thức sau khụng phụ thuộc vào x, y
Cõu 10. (Chuyờn ĐHSP 2014 V1) Cho cỏc số thực dương a, b ; ab.Chứng minh rằng 
Cõu 11. Rỳt gọn biểu thức: .
Cõu 12. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: .
Cõu 13. Tớnh A = 
Cõu 14. Cú số y nào biểu thị trong dạng sau khụng?
Cõu 15.(Chuyờn ngữ 2006) Cho biểu thức 
a/Tỡm x để P cú nghĩa ,rỳt gọn P 
b/Tỡm cỏc giỏ trị x nguyờn để nguyờn
Cõu 16. (Chuyờn ngữ 2007) Cho biểu thức :
Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa và rỳt gọn P
Tỡm x để 
Cõu 17 ( Chuyờn ngữ 2008) Cho biểu thức 
Chứng minh rằng P luụn nhận giỏ trị nguyờn với mọi x,y thoả món x,y>0,xy
Cõu 18. ( Chuyờn ngữ 2008). Cho biểu thức 
 (
Cõu 19 (Chuyờn ngữ 2011). Cho biểu thức 
Rỳt gọn A
 b) Tỡm x ; y biết 
Cõu 20 (Chuyờn ĐHSP 2012 V1). Cho biểu thức :
 với a>b>0
 a) Rỳt gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P
Cõu 21. Cho biểu thức (x + 
Hóy tớnh tổng: S = x + y
Cõu 22. Cho 
a) Chứng minh rằng M cú giỏ trị nguyờn.
b) Tỡm chữ số tận cựng của M. 
Cõu 23. (HSG Bắc Giang 2013)
Tớnh giỏ trị của biểu thức .
Rỳt gọn biểu thức .
Cõu 24. (Chuyờn ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức 
Cõu 25. (Chuyờn ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức 
 ( Với x>0, x1)
 a) Rỳt gọn P
 b) Với giỏ trị nào của x thỡ Q-4P đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 26. (Chuyờn ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức 
 Với a=0;b>0 và a khỏc b
a) Rỳt gọn P
b) Tỡm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Cõu 27 (Chuyờn ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả món : 	
Chứng minh đẳng thức: 
Cõu 28. (Chuyờn ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức: 
	 B=a4+20a3+102a2+40a+200
	a)Rỳt gọn A
	b)Tỡm a để A+B=0
Cõu 29. (Chuyờn ngữ 2010) Cho biểu thức: 
Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa và rỳt gọn P.
 b) Tỡm giỏ trị x để 
Cõu 30. (Chuyờn ĐH SP 2013 V1). Cho biểu thức 
 với a>0 ; b>0 ab.
 Chứng minh rằng giỏ trị biểu thức Q khụng phụ thuộc vào a, b
CHUYấN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN 
LUYỆN THI CHUYấN
Cõu 1. Rỳt gọn P=
Cõu 2. Thực hiện phộp tớnh:
b) B= 
c) Tớnh giỏ trị 
a)Tớnh: 
Mặt khỏc ta luụn cú: 
 Vậy: 
Tương tự chứng minh 
b) B= 
- Biến đổi 
- Tương tự 
Vậy B= 
Vậy B=
c) Tớnh giỏ trị 
Biểu thức cú giỏ trị là một số tự nhiờn (1 điểm).
Ta cú : .
.
.
Cõu 3. Rỳt gọn biểu thức :
P = 
P = =
= 
Vậy P = 
Cõu 4. Tớnh giỏ trị của tổng
B = 
 Xột A = a > 0
 ta cú 
 = 
Vỡ a > 0, A > 0 nờn A = 
Áp dụng ta cú 
B = 
= 
Cõu 5. (Chuyờn ĐHSP 2009 V1) Cỏc số thực x , y thoả món đẳng thức : . Chứng minh x+y=0
Ta cú :
Tương tự 
Cộng (1) và (2) Ta cú 
Cõu 6. (Chuyờn ĐHSP 2011 V2) Cho 
 1.Chứng minh rằng 
 2. Tớnh giỏ trị của biểu thức 
2.Theo phần 1 
Cõu 7. (Chuyờn ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức 
Cõu 8. Tớnh giỏ trị biểu thức:
 với 
Rỳt gọn 
	Khi đú : 
	Nờn : 
Cõu 9. (Chuyờn ĐHSP 2009 V2) Cỏc số thực x, y thoả món và . Chứng minh rằng biểu thức sau khụng phụ thuộc vào x, y
Hướng dẫn
Cõu 10. (Chuyờn ĐHSP 2014 V1) Cho cỏc số thực dương a, b ; ab.Chứng minh rằng 
Cõu 11. Rỳt gọn biểu thức: .
C1: Đặt ị A = u + v ; 
 u3 + v3 = 2a3 + 2a; u.v = a2 - . Mà A3 = (u + v)3 ị A3 = u3 + v3 + 3u.v( u+v ) 
ị A3 = 2a3 + 2a + 3(a2 - )A ị A3 – (3a2 - 1)A – 2a3 – 2a = 0 
ị (A – 2a)(A2 + 2a.A + a2 + 1) = 0 Do: A2 + 2a.A + a2 + 1 = (A + a)2 + 1 > 0 nờn 	
A = 2a
C2: phõn tớch cỏc biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức. 
Cõu 12. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: .
Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2+b2+c2 – ab – bc – ca). Ta coi mẫu số của A cú dạng a + b + c. Khi đú nhõn tử số và mẫu số của A với 
(a2+b2+c2 – ab – bc – ca), ta cú:
Cõu 13. Tớnh A = 
Ta cú A = 
 = 	
 = 
 = 	
Vậy A = 3
Cõu 14. Cú số y nào biểu thị trong dạng sau khụng?
Dễ thấy y> 
Bỡnh phương 2 vế ta cú:
 ----------------------------
 -------------------------------------
(*)----------------------------
Vỡ y > nờn >0
Cõu 15.(Chuyờn ngữ 2006) Cho biểu thức 
a/Tỡm x để P cú nghĩa ,rỳt gọn P 
b/Tỡm cỏc giỏ trị x nguyờn để nguyờn
*P cú nghĩa khi x³0;xạ1;Rỳt gọn P:
b/Tỡm cỏc giỏ trị x nguyờn để nguyờn
Q ẻZ khi ẻƯ(3)= x thỡ Q ẻZ
Cõu 16. (Chuyờn ngữ 2007) Cho biểu thức 
a)Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa và rỳt gọn P
b) Tỡm x để 
Giải
P cú nghĩa khi 
 Thỡ P cú nghĩa
Rỳt gọn P
Vậy với -1<x< 0 và 0<x<1 thỡ 
2)
Kết hợp với điều kiện -1<x< 0 và 0<x<1 ta cú 
	 Thỡ 
Cõu 17 ( Chuyờn ngữ 2008) Cho biểu thức 
Chứng minh rằng P luụn nhận giỏ trị nguyờn với mọi x,y thoả món x,y>0,xy
Giải
Rỳt gọn P
Cõu 18. ( Chuyờn ngữ 2008). Cho biểu thức 
 (
 Chứng minh A khụng phụ thuộc biến số
Cõu 19 (Chuyờn ngữ 2011). Cho biểu thức 
a)Rỳt gọn A
 b) Tỡm x ; y biết 
1)
2) theo GT 
theo Viet đảo là nghiệm dương của phương trỡnh bậc 2
vậy 
Cõu 20 (Chuyờn ĐHSP 2012 V1). Cho biểu thức :
 với a>b>0
 a) Rỳt gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P
b)Thay a=b+1 ta cú
Cõu 21. Cho biểu thức (x + 
Hóy tớnh tổng: S = x + y
Ta cú:
(
Vậy
 (*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x ạ 0 => y ạ 0 từ (*) => 	=> xy < 0
Vậy => 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2 
=> S = x + y = 0
=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy x - y ạ 0
Cõu 22. Cho 
a) Chứng minh rằng M cú giỏ trị nguyờn.
b) Tỡm chữ số tận cựng của M. 
a) Chứng minh giỏ trị của M là một số nguyờn. 
Biến đổi .
Đặt ; và .
Đặt với . Khi đú M = U1004
Ta cú 
 (vỡ ab = 1).
 (*).
Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z.
 .
Theo cụng thức (*) thỡ mà U1, U2 suy ra .
Lại theo (*) cũng cú giỏ trị nguyờn.
Quỏ trỡnh trờn lặp đi lặp lại vụ hạn suy ra Un cú giỏ trị nguyờn với mọi n .
Suy ra M = U1004 cú giỏ trị là một số nguyờn.
a)Tỡm chữ số tận cựng của M. (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra 
và Ur
cú chữ số tận cựng giống nhau.
 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 cú chữ số tận cựng giống nhau.
Mà U0 cú chữ số tận cựng là 2 (theo c/m cõu a) nờn M cú chữ số tận cựng bằng 2. 
Cõu 23. (HSG Bắc Giang 2013)
Tớnh giỏ trị của biểu thức .
Rỳt gọn biểu thức .
Ta cú
Điều kiện: 
Đặt 
Tớnh được =
Cõu 24. (Chuyờn ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức 
Giải
Biến đổi vế trỏi 
Cõu 25. (Chuyờn ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức 
 ( Với x>0, x1)
 a) Rỳt gọn P
 b) Với giỏ trị nào của x thỡ Q-4P đạt giỏ trị nhỏ nhất
Giải
Q-4P=x4-7x2+15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1
Min(Q-4P)=-1 khi x=2
Cõu 26. (Chuyờn ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức 
 Với a=0;b>0 và a khỏc b
a) Rỳt gọn P
b) Tỡm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Cõu 27 (Chuyờn ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả món : 	
Chứng minh đẳng thức: 
Ta có
thay Với (*)
Ta cú 
Cõu 28. (Chuyờn ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức: 
	 B=a4+20a3+102a2+40a+200
	a)Rỳt gọn A
	b)Tỡm a để A+B=0
Hướng dẫn
Ta cú 
B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2)
;B=(a+10)2(a2+2)0;A+B0 dấu “=” khi a=-10
Cõu 29. (Chuyờn ngữ 2010) Cho biểu thức: 
Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa và rỳt gọn P.
 b) Tỡm giỏ trị x để 
ĐKXĐ ;
2) 
Cõu 30. (Chuyờn ĐH SP 2013 V1). Cho biểu thức 
 với a>0 ; b>0 ab.
 Chứng minh rằng giỏ trị biểu thức Q khụng phụ thuộc vào a, b
I . Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Hai biểu thức A và B của các số hoặc chữ thay số , liên hệ với nhau bởi một trong các quan hệ lớn hơn ( > ) ; bé hơn ( < ) ; lớn hơn hoặc bằng ( ) ; bé hơn hoặc bằng ( ) ; khác ( ) gọi là bất đẳng thức . Viết là :
 A > B ; A < B ; A B ; A B ; A B
 1 . Tính chất 1 : Nếu a và b là hai số thực nếu a > b b < a
 2 . Tính chất 2 : Nếu a > b và b > c thì a > c
 3 . Tính chất 3 : Nếu a > b và c bất kì thì a + c > b + c
 4 . Tính chất 4 : Nếu a > b + c thì a - b > c
 5 . Tính chất 5 : Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
 Nếu a > b và c b - d
 6 . Tính chất 6 : Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
 Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
 7 . Tính chất 7 : Nếu a > b 0 và c > d 0 thì ac > bd
 8 . Tính chất 8 : Nếu a > b , ab > 0 thì < 
 9 . Tính chất 9 : a > b > 0 an > bn ( n > 0)
 a > b an > bn ( n lẻ )
 > an > bn ( n chẵn ) 
10.Tính chất 10: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dương thì > .
II.Những bài toán về bất đẳng thức và phương pháp giải 
 1. Phương pháp 1 : Dùng phép biến đổi tương đương
 * Phương pháp : A B A - B 0
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng .
 * Ví dụ :
Bài 1 : Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng : ( 1 + )( 1 + ) 9 .
 Giải : Ta có : ( 1 + ) ( 1 + ) 9 ( 1 )
 . 9 
 ab + a + b + 1 9ab ( vì ab > 0 ) 
 a + b + 1 8ab 
 2 8ab ( vì a + b = 1 )
 1 4ab ( a + b )2 4ab ( vì a + b = 1 )
 ( a + b )2 0 ( 2 ) 
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng ,mà các phép biến đổi trên là tương đương , vậy bất đẳng thức ( 1 ) đúng . ( đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b . 
 Bài 2 : Cho a , b , c , d , e là các số thực . Chứng minh rằng : 
 a , a2 + b2 + 1 ab + a + b
 b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e )
 Giải :
 a , Ta có : a2 + b2 + 1 ab + a + b,
 2 ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) 0
 ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) 0
 ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b . Nên ta có điều phải chứng minh . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
 b , Ta có : 
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) 
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 0
 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
 (a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0
 ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e . Nên ta có điều phải chứng minh . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e .
Bài 3 : Cho ab 1 . Chứng minh rằng : 
 + 
Giải : Ta có : + ( 1 )
 ( - ) + ( - ) 0
 + 0
 + 0
 0
 0
 0
 0 ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 0 .Do đó bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh 
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho ba số a , b , c bất kì . Chứng minh rằng :
 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Bài 2 : Cho hai số a, b bất kì . Chứng minh rằng :
a , ( a2 + b2 )( a4 + b4 ) ( a3 + b3 )2
b , ( a + b )( a3 + b3 ) 2 ( a4 + b4 )
Bài 3 : Cho hai số a, b > 0. Chứng minh :
a , 2( a3 + b3 ) ( a + b )( a2 + b2 )
b , 4( a3 + b3 ) ( a + b )3
2 . Phương pháp 2 : Dùng phương pháp phản chứng 
 * Phương pháp :
Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng . Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí .
 Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một điều đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngược nhau . Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng .
* Ví dụ :
Bài 1 : Cho a2 + b2 2 . Chứng minh rằng : a + b 2
Giải : Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế (hai vế đều dương ) ta được :
 a2 + 2ab + b2 > 4 (1)
Mặt khác ta có : 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2( a2 + b2 )
Mà 2( a2 + b2) 4 ( giả thiết) , do đó a2 + 2ab + b2 4 mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai. Vậy a + b 2 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a1a2 2( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0
 x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm .
Giải : Giả sử cả hai phương trình đã cho vô nghiệm 
 Khi đó : 1 = a12 - 4b1 < 0
 2 = a22 - 4b2 < 0
 => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < 0
 a12 + a22 < 4( b1 - b2 )
Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2a1a2 
Do đó : a12 + a22 2a1a2 
 => a12 + a22 - 2a1a2 0
 => ( a1 - a2)2 0 ( vô lí )
Vậy ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .
Bài 3 : Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng : a2 + b2 
 b2 + c2 
 c2 + a2 
Giải : Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai . Ta có :
 a2 + b2 < (1)
 b2 + c2 < (2)
 c2 + a2 < (3)
Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta được :
 a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 < 
 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca
 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0
( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0
( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( vô lí )
Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng .
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho a3 + b3 = 2. chứng minh rằng a + b 2
Bài 2 : Cho ba số a , b ,c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2
Bài 3 : Chứng minh rằng nếu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > 0 thì 
a > 0, b > 0 , c > 0
3 . Phương pháp 3 : Dùng bất đẳng thức trong tam giác 
* Phương pháp : 
Nếu a , b , c là số đo ba cạnh của một tam giác thì a , b , c > 0 và 
|b - c| < a < b + c
|a - c| < b < a + c
| a - b| < c < a + b Trong một số bài toán mà các đại lượng trong biểu thức ở các vế của bất đẳng thức là không âm , khi đó sẽ tồn tại một tam giác mà các cạnh là giá trị của các đại lượng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh .
* Ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có : a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )
Giải :
Vì a , b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có :
 0 a2 < a( b + c )
 0 b2 < b( a + c )
 0 c2 < c( a + b )
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được :
 a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b )
 a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) (đpcm)
Bài 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
 + + < 2
Giải : Giả sử a b c > 0 thì a + b a + c b + c 
 Ta có = 
Cộng vế theo vế ta được :
 + + 
Hay + + + 1 < 1+ 1 = 2
Vậy + + < 2
Bài 3 : Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác với a < b < c . Chứng tỏ rằng : a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0
Giải :
Ta có : a3( b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2)
 = a3 + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2)
 = - a3( a2 - b2) + a3( a2 - c2) - b3(a2 - c2) + c3( a2 - b2)
 = -( a2 - b2)(a3 - c3) + ( a2 - c2) ( a3 - b3)
 = ( a - b )( a - c ) [ -( a + b)( a2 + ac + c2) + ( a + c)( a2 + ab + b2)]
 = ( a - b )( a - c) (ab+ bc - ac- bc)
 = ( a - b )( a - c)
 = (a - b)(a - c)( b - c)( ab + bc + ca) < 0 (vì a , b , c N* và a < b < c)
Vậy a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0 (đpcm).
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
( a + b + c ) + + <( a + b + c )
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu a , b, c là độ dài các cạnh của một tam giác với
 a b c thì ( a + b + c ) 2 9bc
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài