Chuyên đề Toán 12: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Sơ đồ khảo sát hàm số:
Txđ
Sự biến thiên
Giới hạn và tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận của các hàm phân thức)
Bảng biến thiên:
Tính y’
Tìm các điểm xi sao cho phương trình y’(xi) = 0. Tính y(xi)
Lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến và cực trị.
Vẽ đồ thị:
Tìm giao với các trục toạ độ (Hoặc một số điểm đặc biệt)
Vẽ đồ thị
.
Bài tập
Dạng 1: Khảo sát hàm bậc 3, y = ax3 + bx2 + cx + d
 VD1 : Cho hàm số y = - x3 + 3x2 - 2 
Khảo sát hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn.
Giải:
a) Khảo sát hàm số:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn: 
b) Bảng biến thiên:
y’ = - 3x2 + 6x, y’ = 0 Û - 3x2 + 6x = 0
x
 - ∞ 0 2 +∞ 
y’
 - 0 + 0 -
y
 +∞ 2
 -2 - ∞
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) và nghịch biến trên khoảng
2
-
2
y
x
O
 (-∞ ; 0) và (2 ; +∞)
- Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2) 
3. Đồ thị : - Điểm uốn : y” = - 6x + 6; y” = 0 khi x = 1 ị y = 0. Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0)
- Giao Ox : 
- Giao Oy : D(0 ; -2)
Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm tâm đối xứng.
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0)
Hệ số góc k = f’(1) = 3
Vậy ta có phương trình tiếp tuyến là : 
y - y0 = k(x - x0) hay : y - 0 = 3(x - 1)
 Û y = 3x - 3
Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba :
Txđ: R
a > 0 : CĐ - CT; a 0 hoặc 
y’< 0 "xẻR)
Tìm điểm uốn trước khi vẽ đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: (C)
Khảo sát hàm số.
Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = - 4
Bài 2: Cho hàm số (Đề thi TN 2002)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0)
Bài 3: Cho hàm số (Đề TN 2001)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng (d)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d)
Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x3 - (m + 2)x + m
Tìm m để hàm số có cự đại tương ứng với x = 1
Khảo sát hàm số tương ứng với m = 1(C)
Biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k
Bài 5 : (Đề 97) Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 (C)
Khảo sát hàm số (C)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1
Bai 6: (Đề 93) Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9 (C)
Khảo sát hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn.
Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm của phương trình x3 - 6x2 + 9 - m.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = 1 và x = 2
Bài 7 : Cho hàm số y = x3 - mx2 + x + 1 (1)
Khảo sát hàm số ứng với m = - 2
Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cự đại và cực tiểu
Bài 8: Cho hàm số y = x3 - 3mx + m (Cm)
Khảo sát với m = 1
Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 9 : Cho hàm số y = - x3 + 3x + 2 (C)
Khảo sát hàm số
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 10 : Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: 
Dạng 2: Hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c
VD2: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Giải:
Khảo sát hàm số
Tập xác định: R
Sự biến thiên
Giới hạn: 
Bảng biến thiên: 
x
-∞ - 2 0 2 +∞
y’
 + 0 - 0 + 0 -
y
-∞ -∞
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), nghịch biến trên khoảng ( -2; 0) và (2; +∞)
6
4
2
y
5
x
O
1
Cực trị: 
Đồ thị : (H2)
Điểm uốn: y” = - 3x2 +4; y” = 0
Giao với Ox : A(-3 ; 0) và B(3 ; 0)
Giao Oy : 
 (H2)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành là : 
x0 = 1 ị y0 = 4, y’(x0) = y’(1) = 3. Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 4 = 3(x - 1), hay : y = 3x + 1.
Một số lưu ý khi khảo sát hàm số bậc 4 trùng phương :
Txđ : R
 đt hàm số có hai cực tiểu - một cực đại hoặc chỉ có một cực tiểu (y’ = 0 chỉ có một nghiệm, khi đó đồ thị giống đồ thị parabol)
 đt hàm số có hai cực đại - một cực tiểu hoặc chỉ có một cực đại.
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Không có tiệm cận.
Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 3 (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Dựa vào (C), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Khảo sát hàm số: y = - x4 + 4x2 - 5
Bài 3: Cho hàm số: y = x4 + mx2 - m - 5 (Cm)
Khảo sát hàm số với m = 1 (C)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu.
Bài 4: Cho hàm số: (Cm)
Khảo sát hàm số với m = 3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm .
Bài số 5. Khảo sát các hàm số sau:
Dạng 3: Hàm số b1/b1: 
VD3: Cho hàm số: 
Khảo sát hàm số.
Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = 2x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm trên.
Giải:
Khảo sát hàm số:
Tập xác định: D = R\{1}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
.
 Nên hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞)
Cực trị: Đồ thị hàm số không có cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
 ị x = 1 là tiệm cận đứng.
ị y = - 1 là tiệm cận ngang.
2
-
2
-
4
y
5
x
1
O
I
Bảng biến thiên :
x
-∞ 1 +∞
y’
 - -
y
 +∞
-1 -1
 -∞
Đồ thị : (H3)
- Giao với Ox : A(4 ; 0)
- Giao với Oy : B(0 ; -4)
- Đồ thị nhận I(1 ; - 1) 
 làm tâm đối xứng
Hoành độ giao điểm của(C) 
và đường thẳng d là nghiệm 
Của phương trình:
Vậy giao điểm của (C) và đường thẳng d là: 
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1 có hệ số góc là: 
Nên có phương trình là: 
- Phương trình tiếp của (C) tại M2 có hệ số góc là: . Nên có phương trình là: 
Những lưu ý khi khảo sát hàm b1/b1:
Tập xác định: 
Hàm số luôn đồng biến (y’>0) hoặc luôn nghịch biến (y’<0) trên các khoãng xác định.
Đồ thị hàm số không có cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
 là tiệm cận đứng.
 là tiệm cận ngang
+) Không có tiệm cận xiên.
Bài số 2. Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1
	3) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [0; 2].
Hướng dẫn giải.
1) Hs tự khảo sát. Đồ thị: 
2) Có ; 
ị Phương trình tiếp tuyến: 
3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2].
Do đó: .
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hàm số: 
Khảo sát hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 2: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
Bài 3: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục toạ độ
Bài 4: (Đề TN - 99) 
Cho hàm số 
Khảo sát hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tai điểm A(0; 1)
Bài 5: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Chứng minh rằng đường thẳng dm: y = 2x + m (m là tham số) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị
Tìm toạ độ của M thuộc đồ thị (C) sao cho điểm M cách đều các trục toạ độ
Bài 6: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + m + 3 (m là tham số) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Khảo sát các hàm số
a) b) 
 phần Dành cho ôn thi cao đẳng và đại học:
vấn đề 1: Hàm số bậc ba và các bìa toán liên quan
Bài số 1. Cho hàm số: 
Khảo sát hàm số với m =0
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
Tìm m để hàm số đồng biến trên [2; +∞)
Hướng dẫn giải
a) Với m =0, ta có hàm số 
Hs tự giải. Đồ thị (Xem hình vẽ bên)
b) Ta có: 
Hs có cực đại và cực tiểu Û Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
c) Hàm số ĐB trên [2; +∞) Û y’>0 "xẻ[2; +∞). Ta xét các trường hợp
• . Khi đó y’ > 0 "x nên thỏa mãn. 
• y’=f(x) có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 ≤ x2 < 2
Vậy các giá trị m cần tìm là 
Bài số 2. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số với m = 0
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hs ở câu a và đường thẳng y =x+2.
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Tìm m để đồ thị hs có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O (Dành cho KA)
Hướng dẫn giải.
a) Với m = 0 ta có hàm số: . Đồ thị (xem hình vẽ)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = x+2 là:
Hình 2
ị Diện tích hình phẳng cần tính là:
c) Có 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Û
d) Đồ thị hàm số có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ O Û Tồn tại x, y sao cho 2 điểm M(x; y) và M’(-x; -y) cùng thuộc đồ thị hs Û Hệ sau có nghiệm
Hệ trên có nghiệm Û Phương trình (1) có nghiệm Û có nghiệm
Bài số 3. Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát hàm số.
Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
 (1)
Dùng đồ thị, tìm nghiệm của bất phương trình: (2)
Hướng dẫn giải.
Hình 3
Hs tự giải. Đồ thị: (xem hình vẽ)
Có 
ị Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m – 2.
Dựa vào đồ thị ta có:
• Nếu m – 2> 2 Û m>4: Phương trình có 1 nghiệm.
• Nếu m – 2 =2 Û m =4: Phương trình có 2 nghiệm
• Nếu -2<m – 2< 2 Û 0<m < 4: PT có 3 nghiệm.
• Nếu m – 2 =-2 Û m =0: PT có 2 nghiệm.
• Nếu m – 2 < -2 Û m < 0: PT có 1 nghiệm.
c) Ta có 
Do đó nghiệm của (2) là hoành độ của các điểm thuộc (C) nằm phía dưới đường thẳng y =2.
Dựa vào đồ thị ta có nghiệm của (2) là x> 0.
Bài tập tự luyện:
Bài số 1. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số với m = 2.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị ở câu a)
Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Bài số 2. Cho hàm số 
1) Khảo sát hàm số khi m =6.
	2) Tìm m để phương trình f(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài số 3. Cho hàm số 
	1) Khảo sát hàm số với m = 1.
	2) Tìm m để đồ thị nhận làm điểm uốn
	3) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành.
Bài số 4. Cho hàm số 
	1) Khảo sát hàm số với m = 3.
	2) Tìm m để đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều trục tung Oy.
Vấn đề 2. Khảo sát hàm số trùng phương và các bài toán liên quan.
Một số lưu ý: Hàm số trùng phương 
1) Có 
• Nếu ab< 0: Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ị Đồ thị có 3 điểm cực trị.
• Nếu ab≥ 0: Phương trình y’= 0 có 1 nghiệm x = 0ị Đồ thị có 1 cực trị duy nhất tại x= 0
Lúc này đồ thị không có điểm uốn (do y’ không đổi dấu)
2) Đồ thị hàm số trùng phương có trục đối xứng là Oy (do là hs chẵn)
 Toán minh họa:
Bài số 1. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số với 
Hình 4
Tìm k để hàm số chỉ có một cực trị.
Tìm k để hàm số đồng biến trên [1; +∞).
Hướng dẫn giải. 
a) Với ta có hàm số .
Đồ thị:
b) Có 
Hàm số có một cực trị Û y’ = 0 chỉ có một nghiệm
Û chỉ có một nghiệm
c) Hàm số ĐB trên [1; +∞) Û y’>0 "xẻ[1; +∞).
Û Khi xảy ra một trong các trường hợp:
TH1: Hàm số chỉ có một cực trị và hệ số a>0 Û 
TH 2: Phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm ≤ 1 và hệ số a=k>0
 Û 
Kết hợp các trường hợp ta có giá trị k cần tìm là: 
Bài số 2. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi m =1
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các 
điểm cực đại và cực tiểu đó lập thành một tam giác đều.
Hướng dẫn giải.
a) Với m = 1 ta có hàm số . 
Ta có đồ thị: (xem hình vẽ)
b) Có 
Hàm số có CĐ và CT Û y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m >0.
Khi đó y’ = 0 Û x =0, . Đồ thị có điểm cực đại là và 2 điểm cực tiểu là , .
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều Û AB = BC
Û (do m > 0).
.
Bài số 3. Cho hàm số có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát hàm số khi m = -2.
2) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn giải.
1) Với m =-2, ta có hàm số: .
 Đồ thị: (Xem hình vẽ)
2) Có . 
Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 0.
Bài tập tự luyện:
Bài số 1. Cho hàm số có đồ thị (Cm).
Xác định m để (Cm) không có điểm chung với trục hoành.
Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực trị tại x =1. Khi đó hay khảo sát hàm số.
Dùng đồ thị hàm số vừa vẽ ở câu 2 để biện luận theo k số nghiệm của phương trình:.
Bài số 2. Cho hàm số (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị.
Khảo sát hàm số với m =2.
Bài số 3. Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát hàm số.
Cho Mẻ(C) có hoành độ x =a. Tìm a để tiếp tuyến với (C) tại M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác M.
Bài số 4. Cho hàm số (Cm)
Với m = 3 hãy:
Khảo sát hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến đó đi qua 
2) Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Vấn đề 3. Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Một số lưu ý: Hàm số 
• Tập xác định: 
• Đạo hàm 
	Nếu ad – bc >0 ị Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
	Nếu ad – bc < 0 ị Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
• Đồ thị có tiệm cận đứng là: , tiệm cận ngang là 
 Đồ thị cắt trục hoành tại , cắt trục tung tại 
Toán minh hoạ:
Bài số 1. Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát hàm số.
	2) Biện luận số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): 2x – y + m =0
Hướng dẫn giải.
1) Hs tự khảo sát. Đồ thị: 
2) Số giao điểm của (C) và (d) bằng số nghiệm của phương trình:
Xét phương trình (1), có: D = (m +4)(m-4).
• D< 0 Û - 4 < m < 4: (1) vô nghiệm ị (C) và (d) không có điểm chung.
• D = 0 Û m = ± 4: (1) có một nghiệm kép 
ị (C) và (d) có một điểm chung.
• D > 0 Û m 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
 ị (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Bài số 2. Cho hàm số 
1) Tìm m, n để đồ thị (C) của hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang.
2) Khảo sát hàm số với m, n vừa tìm được.
3) Gọi M là giao điểm của (C) với trục hoành và N là giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình đường thẳng MN.
4) Viết phương trình và vẽ các tiếp tuyến với (C) tại M, N. Tìm tọa độ giao điểm các tiếp tuyến đó.
Hướng dẫn giải.
1) Có nên (C) có tiệm cận 
ngang là y = m và tiệm cận đứng là x = -n. Do đó (C) 
nhận các đường thẳng
 y = 2 và x = 2 làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng
 Û 
2) Với m = 2, n =-2 ta có hàm số .
Hs tự khảo sát. Đồ thị: 
3) (C) cắt Ox tại , cắt Oy tại 
Đường thẳng MN có phương trình:.
4) Ta có: 
Tiếp tuyến của (C) tại M: y = -4x + 6.
Tiếp tuyến của (C) tại N: 
Hoành độ giao điểm của 2 tiếp tuyến trên là nghiệm của phương trình:
Suy ra tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến là: .
Bài tập tự luyện:
Bài số 1. Cho hàm số .
Khảo sát hàm số với m =2.
Tìm m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định.
Bài số 2. Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát hàm số.
Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên.
Bài số 3. Cho hàm số có đồ thị là (Cm).
Khảo sát hàm số khi m =-1.
Tìm để (Cm) cắt cả trục tung và trục hoành.
Bài số 4. Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát hàm số.
Tìm điểm Mẻ(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất.
Đs: , khi đó tổng khoảng cách là 
Bài số 5. Cho hàm số có đồ thị (C)
1) Khảo sát hàm số.
2) Tìm điểm Mẻ(C) cách đều 2 trục tọa độ
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) và đi qua A(-6; 5)
Vấn đề 4: Khảo sát hàm phân thức bạc hai trên bậc nhất.
Một số lưu ý: Hàm số (không suy biến)
• Tập xác định 
• Đạo hàm: 
	y’ = 0 có 2 nghiệm ị Có 2 cực trị
	y’ = 0 vô nghiệm ị Không có cực trị.
• Đồ thị có một tiệm cận đứng , một tiệm cận xiên y = Ax+B.
 Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Toán minh họa:
Bài số 1: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc k = - 1
HD Giải:
Khảo sát (HS tự làm)
2
-
2
-
4
y
x
O
1
Đồ thị
Gọi điểm M0(x0 ; y0) là tiếp điểm của
 tiếp tuyến với đt (C) có hệ số góc k = - 1
khi đó ta có : 
Vậy không có tiếp tuyến nào của 
(C) có hệ số góc k = - 1
Lưu ý khi khảo sát hàm b2/b1 
Txđ: 
Nên đưa hàm số về dạng: để dễ dàng tính đạo hàm và suy ra ngay được tiệm cận xiên là: y = a1x + b1
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và không phải xét tính lôi, lõm và điểm uốn của đồ thị.
Đồ thị hàm số có hai cực trị hoặc không có cực trị nào
Hình 11
Bài số 2. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi m = -1
Chứng tỏ rằng với mọi m, hàm số luôn có cực trị.
Hướng dẫn giải.
1) Với m =-1. Ta có hàm số 
Hs tự khảo sát. Đồ thị: 
2) Ta có: 
Xét pt (1) có D’ = m2 – m2 + 1 = 1>0 "m
Và g(m) = -1 ≠ 0 "m
ị Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt "m hay hàm số luôn có cực trị.
Bài số 3. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số và 2 trục tọa độ.
Đồ thị (C) cắt trục hoành Ox tại 2 điểm A và B. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại 2 điểm đó và tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
Hình 11
Hướng dẫn giải.
1) Hs tự khảo sát. Ta có đồ thị:
2) (C) cắt Ox tại các điểm A(-3; 0) và B(5; 0)
 cắt Oy tại điểm C(0; 5)
ị Diện tích hình phẳng cần tình là:
3) Có 
Phương trình tiếp tuyến tại A: 
Phương trình tiếp tuyến tại B: y = 4(x-5)
Hoành độ giao điểm của 2 tiếp tuyến trên là nghiệm phương trình:
ị Tung độ giao điểm: y = 4(9 – 5) =16
Vậy tọa độ giao điểm 2 tiếp tuyến là I =(9; 16).
Bài số 4. Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát hàm số
Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
Hình 12
 (1)
Hướng dẫn giải.
Hs tự khảo sát. Đồ thị:
Có 
Nhận thấy x= 1 không là nghiệm của (1) nên
ị Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) với
đường thẳng y = m. 
Dựa vào đồ thị ta có:
• Nếu : (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt
ị PT có 2 nghiệm phân biệt
• Nếu (C) tiếp xúc với d tại 1 điểm
ị PT có một nghiệm kép.
• Nếu : (C) và d không có điểm chung ị PT vô nghiệm.
Bài số 5. Cho hàm số (C)
Khảo sát hàm số.
Gọi A là điểm bất kì trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó cắt các đường tiệm cận của (C) tại M và N. Chứng minh rằng A là trung điểm MN.
Chứng minh rằng khi A di chuyển trên (C) thì DOMN có diện tích không đổi. Từ đó suy ra OM.ON không đổi (O là gốc tọa độ).
Hướng dẫn giải.
Hs tự khảo sát. (Xem đồ thị ở hình 13)
A(xA; yA)ẻ(C) ị xA≠0, 
Hình 13
Phương trình tiếp tuyến tại A của (C) là:
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại M có tọa độ:
Tiếp tuyến cắt tiệm cậng xiên tại N có hoành độ thỏa mãn:
Do A, M, N thuộc tiếp tuyến và nên A là trung điểm MN.
.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số với m = - 1
Tìm k để phương trình sau có nghiệm: 
Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại, cực tiểu
Bài 2: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 3: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên, trục tung và đường thẳng x = 1
Bài 4: Cho (G) 
Khảo sát hàm số
Dựa vào (G) hãy biện luận số nghiệm của phương trình: (m là tham số)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (G), trục hoành và các đường thẳng 
x = 2, x = 4
Bài 5: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ
Bài 6: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
 2x2 - (5 + m) + 4 + m = 0
Bài 8: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 1) có hệ số góc là m, hãy xác định m để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt 
Bài 9: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)
Chứng minh rằng đường thẳng dm: y = 3x + m (m là tham số) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 10: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm S(2 ; 0)
Bài 11: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số
Tính diện tích hình phẳng giới han bởi (C), trục hoành, trục tung và x = 2
Bài 12: