Chuyên đề: Tĩnh điện 11

n tích âm thì điện trường hướng vào
Định lý O-G
Điện thông: Điện thông là một đại lượng vô hướng và ý nghĩ là số đường sức điện đi qua mặt và xác định bằng 
S
q2
q3
q1
Điện thông qua một mặt S thì ta chia nhỏ mặt S thành các mặt từ đó lấy tổng trên toàn bộ mặt S 
Thiết lập phương trình cho đinh lý O-G
- Xét cá điện tích đặt bên trong một mặt S:
Định lý O- G cho môi trường điện môi: 
Dùng định lý O- G tìm được điện trường của một số vật đối xứng cho ra kết quả rất nhanh và được áp dụng cho nhiều trường hợp khác.
Thế năng tương tác của các điện tích điểm
Các điện tích tương tác lực với nhau, hoặc điện trường tương tác lên điện tích tức có khả năng sinh công hay nói các khác có năng lượng, năng lượng này tồn tại dưới tương tác tích điện
-Thế năng tương tác giữa hai điện tích: 
- Thế năng tương tác giữa nhiều điện tích: 
- Điện thế gây ra bởi điện tích điểm: 
- Điện thế là đại lượng vô hướng và có tính chất cộng nên điện thế gây ra bởi nhiều điện tich điểm: 	
Năng lượng tương tác giữa điện trường và điện tích: 
Xét trường hợp vật tích điện ta cần chia vật thành các điện tích khi đó thế năng tương tác 
S
Điện trường trên bề mặt vật dẫn và áp suất tĩnh điện.
Xét một vật dẫn tích điện, điện trường bên trong vật dẫn bằng 0.
Diện tích vật là S và ta chia diện tích của vật thành 2 phần là S và .
Điện trường do vật sinh ra là E từ đó từ thông qua mặt là:
Mà điện tích phần là 
Theo O-G: từ đó 
Như vậy điện trường E là do toàn bộ mặt S gây ra mà điện trường do mặt S gây ra ta có thể coi là do phần và .
Mà điện trường bên trong vật dẫn là với điện trường và là do hai phần diện tích gây ra.
Từ đó suy ra 
Vậy lực điện tác dụng lên phần là 
Do vậy áp suất tĩnh điện tác dụng lên vật: 
Nhận xét: + Áp suất tĩnh điện làm cho vật căng ra như áp suất khí bên trong một quả bóng
 + Trên một vật dẫn bất kỳ ở những vị trí khác nhau mật độ điện mặt khác nhau nên điện trường khác nhau và áp suất tĩnh điện khác nhau.
+ Nếu quả cầu tích điện đều thì áp suất tĩnh điện là như nhau tại mội điểm
Định luật bảo toàn năng lượng trong một hệ điện tích.
Xét một hệ kín tích điện thì cơ năng được bảo toàn.
B
 -q
C
 - q
 D
 C''
q
 D''
q
 -q
 A -q
 A'
 q
 B'
q
Nếu hệ trao đổi năng lượng với môi bên ngoài ta có biến thiên cơ năng bằng công của ngoại lực tác dụng: 
 B. BÀI TẬP
Bài 1: Tại 8 đỉnh của hình lập phương cạnh a =0,2m ở trong chân không, có đặt 8 điện tích điểm có cùng độ lớn là q = 9.0-8, bốn điện tích ở đáy trên có trị số âm, bốn điện tích đáy dưới có trị số dương. Xác định cường độ điện trường tại tâm hình lập phương 
B - q
 B' 
 - q
 D' 
- q
 - q D 
 z' 
 z
 O 
Giải:
B
 -q
C
 - q
 D
 C'
q
 D''
q
 - q
 A -q
 A'
 q
 B'
q
z'
 O
z
Vì hệ điện tích phân bố đối xứng nên vectơ cường độ điện trường tổng hợp phải nằm dọc theo trục đối xứng zz'
 Rõ ràng là hình chiếu của các vectơ cường độ điện trường của các điện tích trên trục zz' đều như nhau. Do đó, ta chỉ cần tính hình chiếu của một trong tám vectơ đó. Trên hình 1.9G ta biểu diễn bốn vectơ nằm trong mặt phẳng BDD'B' ( với ACC'A' cũng có một hình tương tự). ta tính cho một vectơ, chẳng hạn ta có: 
Do đó: 
Q
R
M
h
Hình chiếu của 
Từ đó .
Bài 2: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một vòng dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q, tại một điểm M nằm trên trục của vòng dây, cách tâm O của vòng dây OM = h.
Xét các trường hợp riêng: Điểm M trùng với tâm O, và điểm m ở rất xa vòng dây (h>> R) .
Giải:
 Chia vòng dây thành từng phần nhỏ có độ dài sao cho mỗi phân tử nhỏ mang điện tích có thể xem như là một tập hợp các điểm tích điểm. mỗi.Khi đó vòng dây được xem như là một tập hợp các điện tích điểm. Mỗi điện tích này gây ra tại M một điện trường và điện trường tổng hợp do cả vòng dây gây ra được xác định nhờ nguyên lý chồng chất điện trường.
Ký hiệu là mật độ điện dài trên vòng dây ta có: 
Để cho cụ thể, giả sử q> 0. Phần tử mang điện tích gây ra tại M một điện trường có cường độ với phương và chiều như trên hình và có độ lớn.
 đơn vị SI
Chú ý đến tính đối xứng với trục vòng dây, ta thấy có thể tìm hiểu được một phần tử giống hệt nhưng đối xứng với nó qua tâm O. Phần tử này mang điện tích gây ra tại M một điện trường 
Có cường độ và có phương chiếu như trên hình. Ta thấy các véc tơ đối xứng với nhau qua trục vòng dây. Cường độ điện trường tổng hợp do cả có phương dọc theo trục vòng dây, có chiều hướng ra xa tâm O ( do giả thiết q> 0) và có độ lớn.
(Với ) là tổng độ dài của hai phân tử ta xét. Xét tất cả các cặp phần tử của vòng dây tương tự như trên, mỗi cặp này cho một vectơ cường độ điện trường nằm trên trục vòng dây. Tất cả các vectơ đótạo thành cường đọ điện trường do toàn bộ vòng dây gây ra. Như vậy, vectơ cường độ điện trường do vòng dây dẫn mang điện tích q gây ra có phương là trục vòng dây, có chiều hướng ra xa tâ, O của vòng dây nếu q>0 hoặc hướng về tâm O, nếu q< 0 và có độ lớn:
 chiều dài vòng dây 
Từ (1) và (2) ta thấy
- Tại tâm vòng dây (M=O); h=0 
- Tại điểm M ở rất xa vòng dây h>> R ta thấy tại điểm ở xa vòng dây, cường độ điện trường gây bởi dây mang điện tích q có giá trị giống như cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm q đặt tại tâm của vòng dây.
Q
O
R
h
q
M
l
Bài 3: Một quả cầu khối lượng m, mang một điện tích là q được buộc vào một sợi chỉ cách điện. Đầu còn lại của sợi chỉ được buộc vào điểm cao nhất của một vòng dây có bán kinh R đặt trong một mặt phẳng thắng đứng. Vòng dây được làm bằng một dây dẫn cứng có bán kính nhỏ không đáng kể. Vòng dây được tích điện tích Q cùng dấu với điện tích q và phân bố đều. Hãy xác định chiều dài / của sợi dây treo sau khi đẩy lệnh, quả cầu sẽ nằm trên trục của vòng dây.
Giải:
 Nếu điều kiện đặt ra được thỏa mãn nghĩa là quả cầu m nằm tại điểm M trên trục của vòng dây. Thì điện trường do vòng dây gây ra tại M, có phương là trục OM, có chiều hướng ra xa O ( từ O đến M), với giá thiết các điện tích Q và q là điện tích dương 
 Khi đó, quả cầu nằm cân bằng dưới tác dụng của ba lực: trọng lực lực điện trường và lực căng của sợi chỉ cheo quả cầu: nghĩa là sợi chỉ bị căng ra theo hướng của hợp lực các lực . ký hiệu OM =h, từ hình vẽ ta có:
Tan 
Mặt khác, theo kết quả ở bài tập 1.12, ta có
Đưa (2) vào (1) ta rút ra: 
Thay số vào (3) ta tìm được l = 7,2.10-2m = 7,2 cm.
Bài 4: Điện tích Q được phân bố đều trên một mặt cầu kim loại rắn tuyệt đối với bán kính R. Hãy xác định lực F tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt đó từ phía điện tích còn lại.
Giải:
	Theo điều kiện mặt cầu rắn tuyệt đối nên bán kính thực của nó không thể thay đổi. Tuy nhiên chúng ta hãy tưởng tượng rằng do lực đẩy của các điện tích cùng dấu, bán kính mặt cầu tăng lên chút ít, cụ thể là một lượng vô cùng nhỏ δR. Mặt cầu tích điện có tính chất của một tụ điện – nó giữ nguyên điện tích mà người ta truyền cho nó. Điện thế của mặt cầu liên hệ với điện tích của nó bởi hệ thức: . Mặt khác, theo định nghĩa điện dung ta có V = Q/C, suy ra C = 4πεε0R. Năng lượng của tụ điện này W = Q2/2C = Q2/(8πεε0R). Như vậy khi tăng bán kính mặt cầu, năng lượng này giảm một lượng:
∆W = W – W’ = 
Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên năng lượng này bằng công toàn phần A do lực đẩy tĩnh điện giữa các yếu tố riêng rẽ của mặt cầu thực hiện. Gọi F là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích, ta có: A = F.4πR2.δR. Do đó:
F.4πR2.δR = . Từ đây lưu ý rằng δR.<< R, ta tính được:
 F = 
Bài 4: Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m1 và m2 , mang các điện tích cùng dấu q1 và q2 nằm cách nhau một khoảng a trong chân không. Hãy tính công của lực điện trường khi thả đồng thời cả hai điện tích cho chúng tự do chuyển động. Xét trường hợp các khối lượng bằng nhau và trường hợp các khối lượng không bằng nhau.
Giải:
a) Trường hợp khối lượng các hạt bằng nhau:
	Do lực tương tác như nhau, gia tốc các hạt như nhau. Chúng đồng thời được thả ra, nên các điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, năm chính giữa đoạn a ban đầu.
	Gọi x là các khoảng cách tức thời từ mỗi điện tích đến khối tâm. Công dịch chuyển mỗi điện tích đi ra đến vô cùng bằng:
Suy ra công toàn phần của lực điện trường khi cho cả hai điện tích đồng thời chuyển động ra xa vô cùng bằng:
b) Trường hợp các khối lượng m1, m2 khác nhau:
	Khi đó gia tốc của hai vật là khác nhau. Tuy nhiên theo định luật bảo toàn khối tâm:
 và . với l kà khoảng cách tức thời giữa hai điện tích.
 Gọi khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến các điện tích là a1 và a2, ta có công dịch chuyển điện tích q1 ra xa vô cùng bằng:
Tương tự công cho điện tích q2: 
	Thế năng tương tác ban đầu giữa hai điện tích được chuyển hoàn toàn thành công của hai điện tích ra xa vô cùng: 
Nhận xét: dù cho một hay cả hai điện tích của hệ dịch chuyển ra xa vô cùng thì công của lực điện trường cũng chỉ bằng thế năng của một điện tích này trong điện trường của một điện tích kia khi chúng cách nhau một khoảng r.
Bài 5: Cho điện tích điểm dương q = 1nC
a) Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a = 10 cm. Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phương đó. Nếu bên ngoài hình lapah phương còn có các điện tích khác, thì điện thông qua từng mặt của hình lập phương và qua toàn bộ hình lập phương có thay đổi không ?
b) Đặt điện tích q tại một đỉnh của hình lập phương nói trên. Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phương.
Giải:
 a) ví lý do đối xứng, điện tích q gửi cùng một điện thông qua 6 mặt của hình lập phương. Điện thông tổng hợp qua toàn bộ hình lập phương là 
 áp dụng định lý Ox - trô - grat - xki - Gao -xơ (O-G) ta có
Nếu có các điện tích bên ngoài hình lập phương, thì các điện tích này sẽ làm thay đổi điện thông qua các mặt khác của hình lập phương. Nhưng điện thông qua toàn bộ hình lập phương bây giờ vẫn chỉ bằng điện thông qua một mặt kín có chứa q mà thôi nghĩa là điện thông qua toàn bộ hình lập phương vẫn là:
b) Giả sử điện tích q được đặt tại đỉnh A của hình lập phương đó. Đối với ba mặt của hình lập phương có chưa điện tích q (hình 1.13G)tức là chưa đỉnh A ( Các mặt ABCD, ADD'A'), điện thông bằng 0 vì các đường sức điện trường vuông góc pháp tuyến, = 90o. Vì lý do đối xứng điện thong qua ba mặt còn lại (BB'C''C, AB'C'D', CDD'C'') là như nhau, bằng . Để tính ta xét hình lập phương lớn tâm A , có cạnh bằng 2a điện tích q nằm tại tâm hình lập phương lớn. Diện tích của mỗi mặt hình lập phương lớn (bằng 4a2) lớn gấp 4 lần diện tích của một mặt hình lập phương ABCDA'B'C'D'. đo đó điện thông qua mỗi hình lập phương lớn sẽ bằng . Và vì vậy do đối xứng, điện thông qua toàn bộ hình lập phương bằng :
--
 Bài 6. trong một điện trường tạo bởi một điện tích điểm +q1 và một điện tích điểm -q1, có một đường sức xuất hiện từ +q1 hợ với đoạn thẳng nối hai điện tích một góc . Hãy tính góc mà đường sức đó hợp với đoạn thẳng trên tại -q1 
Giải:
 ở những điểm rất gần mỗi điện tích, thì sự đóng góp của điện tích kia vào điện trường tổng hợp là rất nhỏ, có thể bỏ qua. Vì vậy, có thể coi những đường sức đi ra ( hoặc đi tới) mỗi điện tích điểm được phân bố đều đặt trong khoảng không ian rất gần điện tích đó. Gọi số đường sức tổng cộng đi ra khỏi q1 và N1, số đường sức đi ra khỏi q1 trong phạm vi hình nón với góc ở đỉnh theo lập luận thì tỉ số giữa là phải bằng tỉ số giữa điện tích chỏm cầu và điện tích mặt cầu 
	(1)
Tương tự, tỉ số giữa đường sức đi tới điện tích -q2 trong phạm vi hình nón có góc ở đỉnh với tổng số đường đi tới điện tích -q2 trong phạm vi hình nón có góc đỉnh với tổng số đường N2 đi tới -q2 là: 	(2)
Mặt khác, vì các đường sức không giao nhau nên số đường sức đi ra khỏi q1 trong hình nón 2 phải bằng số đường sức đi tới -q2 trong hình nón , tức là : 	(3)
Từ (1), (2), (3) ta có: 
Mặt khác, ta có: (q1, q2 là trị tuyệt đối của các điện tích)
Vậy: từ đó 	(4)
Nghiệm này chỉ có ý nghĩa nếu 
Nếu thì đường sức đi khỏi q1 sẽ đi ra xa vô cùng và không đi tới -q2
Bài 7: Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m1 = m; q1 = +q; m2 = 4m; q2= +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẫn nằm ngang. Ban đầu giữ hai quả cầu đứng yên. Đẩy quả cấu 1 chuyển động hướng thẳng vào quả cầu 2 với vận tốc v0, đồng thời buông quả cầu 2;
a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu
b) Xét trường hợp a = tính rmin
c) Tính vận tốc u1, u2 của hai quả cầu ( theo vo, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô cùng. Xét trường hợp a = 
Giải:
 Vì q1 và q2 cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều. Khi khoảng cách giữa hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng vận tốc ( cùng chiều với ) 
m2
+q2
m1
+q1
m2
+q2
m1
+q1
rmin
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: Mv0 
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ( năng lượng của hệ gồm động năng và thế năng tương tác (điện));
	(2)
Từ (1), (2) suy ra: 
b) Xét trường hợp a= hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau. Từ (2) ta có
c) khi hai quả cầu lại ra xa nhau vô cùng, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:
mv2 = mu1 +4mu2u1=v0-4u2	(5)
áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:
 	(6)
Thay vào (5) và (6) ta suy ra phương trình cho u2
tinhs 	(7)
từ đó tìm được nghiệm của (7) : 	(8)
vì phải cùng chiều với , nghĩa là u2 phải cùng dấu với v0 nên phải lấy dấu "+"
	(9)
Thay vào (8) và (5) ta được 
ta thấy u1 trái dấu với v0 ( tức là ngược chiều với ) vì quả cầu 1 bật trở lại 
trong trường hợp thì ta có: 
+Q
A B -q
+Q
A
B
-q
Bài 8: Có một nửa vòng trong tích điện trên ( hình 1.9). Một hạt mang điện trái dấu với điện một điểm nửa vòng tròn đó. Được thả ra từ một điểm rất xa trên đường thẳng AB với vận tốc ban đầu bằng 0. Biết tỉ số vận tốc của hạt khi đi qua A và B hãy tìm tỉ số gia tốc của hạt ở hai điểm đó.
Giải:
 Gọi q là điện tích của hạt được thả ra, VA và VB lần lượt là điện thế do nừa vòng tròn tích điện gây ra tại A và B. Coi điện thế tại điểm ở rất xa bằng 0 ta có:
Từ đó	(1)
Mặt khác, ta viết biểu thức của lực do nửa vòng tròn tác dụng lên điện tích tại A và tại B: FA=qEA =maA; FB = qEB=maB, với EA, EB tương ứng là cường độ điện trường của nửa vòng tròn tại A và B
Suy ra: 	(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Dưới đây ta sẽ lần lượt xác định VA, EA;VB; EB
M
A
N
Tính VA. chia nửa vòng tròn thành những đoạn đủ nhỏ để coi là điện tích điểm, mỗi đoạn mang điện tích Điện tích do nó gây ra tại A là 
 (r là bán kính cung tròn)
Điện thế đo cả vòng tròn gây ra tại A là:
 (Q là điện tích nửa vòng tròn) 	(4)
+ Tính EA. gọi chiều dài của mỗi đoạn mang điện tích là điện tích của mỗi đơn vị độ dài của nửa vòng tròn, cường độ điện trường do AQi gây ra tại A là:
Ví lý do đối xứng, hướng dọc theo trục Ax. Vì vậy ta chỉ xét hình chiếu 
 Hay 
Trong đó là hình chiếu của đoạn trên đường kính MN
 Từ đó, ta có
Biết điện tích của đơn vị độ dài là ta được 
A
B
	(5)
+ Tính VB. Điện thế do gây ra tại Blà: 
( là khoảng cách từ đến B)
Hay 	
+ Tính EB, cường độ điện trường do gây ra tại B là:
Cũng lập luận tương tự như khi tính EA, ta chỉ xét tính hình chiếu của trên trục x:
	(7)
Thay các phương trình (4), (5), (6), (7) vào (3) ta có: 
Bài 9: Một lưỡng cực điện có mone , tâm O được đặt dọc theo trục x'Ox. Lưỡng cực nằm trong một điện trường đều hướng theo trục x'Ox..
a) Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm lưỡng cực và điện trường, tại một điểm M có tốc độ cực r và , ở đủ xa lưỡng cực. Người ta giả thiết điện thế của điện trường đều bằng không tại điểm O
b) Xác định rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V= 0 có giá trị 3E0cos.
y
M
X'
V0 = 0
 -q
O
+q
X
V0 = 0
r
Giải:
a) Biểu thức cho điện thế V tại M là 
Tại điểm O x = 0, V0 = 0 nên 
VE = - E0x , hay VE = -E0r cos
điện thế tổng hợp ở M là:
VM =VE+Vl = 
Điện thế của lưỡng cực ở M xa điểm O là: 
Vl = 
Điện thế tổng hợp ở M là 
b) mặt đẳng thế ứng với VM = 0. có các trường hợp:
* : Đó là mặt phẳng trung thực của lưỡng cực
* 
Đó là mặt cầu tâm O bán kính 
c) Điện trường tại điểm M (r,) có các thành phần
* 
Trên mặt đẳng thế V = ) thì 
Vậy ở đó: 	
Do đó, E = vì mặt đẳng thức là mặt cầu 
Bài 10: Một điện tích điểm q = 20,0 nc đặt trong chân không cách một thành phẳng bằng kim loại đã nối đất một khoảng a = 50mm. 
 +q
 -q
 a
Tìm lực F trong tương tác giữa điện tích q và thành phẳng .
Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn.
Giải :
a) Vì thành phẳng kim loại nối đất nên điện thế của thành phẳng bằng 0.
Ta xét phổ đường sức và mặt đẳng thế của một hệ hai điện tích điểm bằng nhau, trái dấu (hình vẽ). Ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điện tích + q và - q là một mặt đẳng thế, mọi điểm trên mặt phẳng có điện thế bằng 0.
 E1
 E2
 E
· -q
 · q
0
a
r
- - - - - - - - - - 
M
Như vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại phẳng vô hạn (nối đất, lúc đầu không mang điện) thì theo kết quả trên điện trường giữa + q và mặt phẳng sẽ không bị thay đổi, nghĩa là điện trường đã được gây ra bởi các điện tích s trong kim loại trùng với điện trường gây bởi điện tích – q đặt đối xứng với q qua bản kim loại. Điện tích ảo – q gọi là ảnh của điện tích q qua bản kim loại.
Vậy lực tương tác giữa q và bản kim loại là :	F = 
Thay số :	F= 36. 10-5 (N)
 b) Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, cách A một khoảng r. Cường độ điện trường do các điện tích q và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn : E1 = E2 = kq/r2.
 Cường độ điện trường tổng hợp do hệ hai điện tích q 
và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. 
 Độ lớn : E = 2E1cosa = 2kqa/r3. 
Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn : 
 s = e0E = qa/2pr3.
Bài 11: Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt s một khoảng h. Thả quả cầu cho nó chuyển động. Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu.
Giải :
Vì bản rộng vô hạn nên có thể coi điện trường do bản gây ra là điện trường đều, có phương vuông góc với bản, có cường độ : 
 E = 
Lựcđiện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trường E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên.
+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn :
Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữ điện tích q và điện tích – q là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn. Lực này là lực hút, nó có hướng ra xa bản và có độ lớn :
	 Trong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại.
Lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại	
* Vị trí cân bằng : P = F Û	mg = 
Þ 
+ Nếu h < d0 quả cầu chuyển động xuống và bị hút vào bản kim loại.
+ Nếu h = d0 quả cầu ở vị trí cân bằng.
+ Nếu h > d0 quả cầu chuyển động ra xa bản kim loại.
Bài 12: Một điện tích điểm q cách tâm quả cầu kim loại bán kính R nối đất một khoảng a. Hãy xác định :
Xác định lực tương tác giữa một điện tích điểm q và quả cầu.
b) Cường độ điện trường do hệ gồm điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt quả cầu gây ra trong không gian xung quanh và trên mặt cầu.
Giải :
a) Vì quả cầu nối đất nên điện thế trên mặt quả cầu bằng 0. Trên quả cầu chỉ có các điện tích hưởng ứng âm.
Ta có thể thay điện tích hưởng ứng trên mặt quả cầu bằng điện tích - q' sao cho điện thế do q và -q' gây ra trên mặt cầu phải bằng 0, tức là mặt đẳng thế có điện thế bằng 0 sẽ trùng với mặt cầu nối đất.
Vì trường có tính chất đối xứng qua trục oq nên cần phải đặt điện tích -q' ở trên trục này. 
* Đặt OC = b. Điện thế tại một điểm N bất kỳ trên mặt cầu là : 
 0
 A
 B
 E
 E1
 E2
N
b
 q’ C
 q · M
 a
 R1
 + Khi N trùng B thì R1 = R + b ; R2 = R + a
 (1)
 + Khi N trùng A thì R1 = R - b ; R2 = a – R
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
 (3)
 Vậy lực tương tác giữa quả cầu và 
điện tích điểm có độ lớn là : 
Hay :	(4)
 b) Cường độ điện trường do điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt ưủa cầu gây ra trong không gian xung quanh là :
Trong đó : R, R’ khoảng cách từ điện tích q và q’ đến điểm quan sát.
 **) Bây giờ ta sẽ tìm cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt cầu.
 Cường độ điện trường do q và –q’ gây ra tại N có phương, chiều như hình vẽ. 
 Độ lớn : (5) 
 Cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt c