Chuyên đề Tích phân ôn thi đại học

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
Câu 1: Tính tích phân ( )21
3ln 2
. 2ln 1
e
xI dx
x x
+
=
+
∫ 
Lời giải: 
Đặt lnt x= ta có: dxdt
x
= . Đổi cận 
1 0
1
x t
x e t
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2
00 0
3 2 3 1 3 1 3 1ln 2 1 ln 3
2 2 1 4 4 2 1 4 62 1 2 2 1
tI dt dt t
t tt t
   +
= = + = + − = +     + ++ +   
∫ ∫ . 
Vậy 3ln 3 1
4 6
I = + . 
Câu 2: Tính tích phân ( )2 2
0
2cosI x x x dx
pi
= +∫ 
Lời giải: 
Ta có: ( ) ( ) 3 22 2 2 22 2
0 0 0 0
1 cos 2 cos 2
3 2
x xI x x x dx x x dx x xdx I
pi pi pi
pi
 
= + + = + + = + + 
 
∫ ∫ ∫
3 2
224 8
Ipi pi= + +
Tính 
2
2
0
cos 2I x xdx
pi
= ∫ : Đặt sin 2cos 2
2
du dx
u x
xdv xdx v
=
= 
⇒ 
= = 
Do vậy 
2
2 2
2
00 0
sin 2 sin 2 cos 2 1
2 2 4 2
x x x xI dx
pi
pi pi
= − = = −∫ . 
Vậy 
3 2 1
24 8 2
I pi pi= + − . 
Câu 3: Tính tích phân 
22
0
sin sin
1 cos
x xI dx
x
pi
+
=
+∫
. 
Lời giải : 
Ta có : ( ) ( )
2 22 2 2 2 2
2
0 0 0 0 00
cossin sin 1 cos ln 1 cos 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
d xxdx xdx xI dx x x dx
x x x x
pi pi pi pi pi
pi
−
−
= + = + = − + + −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) 2
0
ln 2 sin ln 2 1
2
x x
pi
pi
= + − = + − . 
Vậy ln 2 1
2
I pi= + − 
Câu 4: Tính tích phân 
4
0
3 4
1 2 1
xI dx
x
+
=
+ +∫
. 
Lời giải: 
DỰ ĐOÁN CÂU TÍCH PHÂN TRONG KÌ THI THPTQG 2015 
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Đặt 22 1 2 1t x t x tdt dx= + ⇒ = + ⇒ = . 
Đổi cận: 
0 1
4 3
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
. Khi đó ta có: 
( ) ( )2 33 3 33
1 1 1
2 1 2 1 1 32
1 1 1
t tdt t tt tI dt dt
t t t
+ + + + −+
= = =
+ + +∫ ∫ ∫
. 
3 33
2 2
11
3 2 462 2 3 3 3ln 1 3ln 2
1 3 3
tI t t dt t t t
t
  
= − + − = − + − + = −  +   
∫ . 
Vậy 46 3ln 2
3
I = − . 
Câu 5: Tính tích phân 
2
1 2 3.2 2
x x
dxI
−
=
− +∫ . 
Lời giải: 
Ta có: 
2
2
1
2
2 2.2 3
x
x x
dxI =
+ −∫ Đặt 2
xt = ta có: 2 ln 2 2
ln 2
x x dtdt dx dx= ⇒ = 
Đổi cận: 
1 2
2 4
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
. Khi đó: ( )( )
4 4 4
2
2 2 2
1 1 1 1 1
ln 2 2 3 ln 2 1 3 4ln 2 1 3
dt dtI dt
t t t t t t
 
= = = − + − − + − + ∫ ∫ ∫
4
2
1 1 1 15ln ln
4 ln 2 3 4 ln 2 7
t
t
−
= =
+
Vậy 1 15ln
4ln 2 7
I = . 
Câu 6: Tính tích phân 
7
4
3
3
x xI dx
x
+ −
=
−
∫ . 
Lời giải: 
Đặt 23 3 2t x t x dx tdt= − ⇒ = − ⇒ = . 
4 1; 7 2x t x t= ⇒ = = ⇒ = . 
22 22 2
2
1 1 1
3 32 2 1 2 3ln 5 6ln 2
2
t t tI tdt t dt t t
t t
 + +  
⇒ = = + + = + + = +  
   
∫ ∫ . 
Vậy 5 6ln 2I = + là giá trị cần tìm. 
Câu 7: Tính tích phân 
6
2
1
5 4I x x dx= − +∫ . 
Lời giải: 
Ta có ( ) ( )
4 64 6 3 2 3 2
2 2
1 4 1 4
5 5 795 4 5 4 4 4
3 2 3 2 6
x x x xI x x dx x x dx x x   −= − + − + − + = + − + − + =   
   
∫ ∫ . 
Vậy 79
6
I = là giá trị cần tìm. 
Câu 8: Tính tích phân ( )2
0
3 cosI x xdx
pi
= −∫ . 
Lời giải: 
Ta có: 
2 2
0 0
cos 3 cosI x xdx xdx
pi pi
= −∫ ∫ . 
2
1
0
cosI x xdx
pi
= ∫ . Đặt , cos s inxu x du dx dv xdx v= ⇒ = = ⇒ = 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
2
2 2
1 0 0
0
s inx sin cos 1
2 2
I x xdx x
pi
pi pipi pi
⇒ = − = + = −∫ . 
2
2
2 0
0
3 cos 3sin 3I xdx x
pi
pi
= = =∫ 
Vậy 1 2 42
I I I pi= − = − là giá trị cần tìm. 
Câu 9: Tính tích phân ( )1 23
0
xI x x e dx= +∫ . 
Lời giải: 
Ta có: 
1 1
23
0 0
xI x xdx xe dx= +∫ ∫ . 
1
3
1
0
.I x xdx= ∫ Đặt 
3 23 3t x x t dx t dt= ⇒ = ⇒ = . 
Do đó: 
11 1 7
3 2 6
1
0 0 0
3 33 . . 3
7 7
tI t t t dt t dt= = = =∫ ∫ . 
1
2
2
0
xI xe dx= ∫ . Đặt 
2
2;
2
x
x eu x du dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ = . 
Do đó: 
1 112 2 2 2 2 2 2
2
00 0
1 1
2 2 2 4 2 4 4 4
x x xxe e e e e e eI dx += − = − = − + =∫ . 
Vậy 
2 2
1 2
3 1 19
7 4 4 28
e eI I I += + = + = + . 
Câu 10: Tính tích phân ( )
1
2
2
ln 3I x x xdx
−
 = + + ∫ . 
Lời giải: 
Ta có: ( )
1 1
3
2 2
ln 3I x dx x x dx
− −
= + +∫ ∫ . 
11 4
3
1
2 2
15
4 4
xI x dx
−
−
−
= = =∫ . 
( )
1
2
2
ln 3I x x dx
−
= +∫ . Đặt ( )
21ln 3 ;
3 2
x
u x du dx dv x v
x
= + ⇒ = = ⇒ =
+
. 
Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )
12 1 12
2
2 22
ln 3 1 9ln 2 3
2 2 3 2 2 3
x x xI dx x dx
x x
− −
−
 +
= − = − − + 
+ +  
∫ ∫ 
1
2
2
9ln 33 3ln 2 8ln 2
4 2 2 4
xx x
−
 +
= − − + = − − 
 
Vậy 1 2
15 3 98ln 2 8ln 2
4 4 2
I I I − −= + = − − = − . 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2015