Chuyên đề Tích phân luyện thi đại học

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Biên soạn: Ninh Văn Hữu – Tổ Toán, THPT Bình Minh
I. Tính tích phân bằng phương pháp đưa về nguyên hàm cơ bản.
	a. Tích phân của hàm số lượng giác
	Giả sử cần tính trong đó là một biểu thức lượng giác, thông thường ta biến đổi về dạng bằng các công thức hạ bậc và các công thức biến đổi tích thành tổng .
	Ví dụ 1. Tính 
	Giải
	Ta có 
	Các bài tập tương tự
Tính 
Tính 
Tính 
Tính 
 Tuy nhiên, nếu biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bậc cao ta có thể tính bằng phương pháp vi phân.
	Ví dụ 2. Tính 	
	Giải
	Các bài tập tương tự
1. Tính 
Tính 
Tính 
b. Tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ.
	Dạng . Ta tìm 2 số A, B sao cho: 
( A, B tìm bằng phương pháp hệ số bất định)
	Ví dụ : Tính 
	Giải
	Ta tìm 2 số A, B sao cho 
	Dạng 
	Ta thực hiện phép chia đa thức, sau đó giải như dạng nói trên
Ví dụ: Tính 
	Giải
	Ta có 
	Bài tập tương tự.
Tính 
2. Tính 
 	3. Tính 
	Dạng. Tính 
	Ta tìm 3 số A, B, C sao cho 
	 ( A, B, C tìm bằng phương pháp hệ số bất định)
	Ví dụ. Tính 
	Giải
	Ta tìm 3 số A, B, C sao cho 
	Vậy 
Bài tập tương tự 
Tính 
Tính 
Tính 
Dạng: 
	Ta phân tích P(x) theo các lũy thừa của (x+m)
	Ví dụ 
	Tính 
	Giải
	Ta có 
	Bài tập tương tự 
Tính 
Tính 
Tính 
c. Sử dụng phương pháp hệ số bất định
	Dạng 
	Ta tìm 2 số A, B sao cho 
	Ví dụ 
	Tính 
	Giải
	Ta tìm 2 số A, B sao cho 
	Vậy 
	Chú ý: Dạng 
	Ta tìm 2 số A, B sao cho 
	A, B tìm bằng phương pháp hệ số bất định.
Bài tập tương tự:
Tính 
Tính 
Tính 
II. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: I = 
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận: 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho theo biến t, ta được 
Ví dụ: 
Bài 1. Tính I =
Giải
Đặt .
 Đổi cận: . Do đó I = 
Bài 2. Tính I = 
Giải
 Đặt 
Đổi cận: . Do đó I = 
Bài 3. Tính 
Giải
. Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx
Đổi cận: . Do đó I = 
Bài 4. Tính I = . 
	Giải
I = . 
Đặt t = sinx + cosx Þ dt = –(sinx – cosx)dx và = 1 + 2sinxcosx. Đổi cận: . 
Do đó I = = = 
Bài 5. Tính I = . 
Giải
Đặt t = tanx Þ dx = và cos2x = . Đổi cận: . 
Do đó I = = 
Bài 6. Tính I = 
Giải
Đặt . Đổi cận: . 
Do đó I = 
Bài tập tương tự
Bài 1. Tính I = . 
Bài 2. Tính I = 
Bài 3. Tính I = . 
Bài 4. Tính I = . 
Bài 5. Tính I = 
Bài 6. Tính I = . 
Bài 7. Tính I = . 
Phương pháp đổi biến số dạng 2: 
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận: 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t, ta được 
Ví dụ: 
 Bài 1. Tính I = . Đặt x = sint Þ dx = costdt và 
Đổi cận: . Do đó I = .
 Bài 2. Tính I = 
 Giải
I = = . Đặt x = 2tant Þ . Đổi cận: . 
Do đó I = 
Bài 3. Tính I = .
 Giải
 Đặt x = sint Þ dx = costdt. Đổi cận: . Do đó I == 
Bài 4. Tính I = 
 Giải
Đặt x = tant Þ dx = và 
Đổi cận: . Do đó I = .
Một số dạng đổi biến số quan trọng
Lớp 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a] thì :
CM: Biến đổi I về dạng :
 (1)
 Xét tích phân: 
Đặt 
Đổi cận: 
Mặt khác vì f(x) là hàm số chẵn 
Khi đó:
 (2)
Thay (2) vào (1) ta được 
Ví dụ 1: Tính tích phân:
Lớp 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a] thì :
 CM: Biến đổi I về dạng :
 (1)
 Xét tích phân: 
Đặt 
Đổi cận: 
Mặt khác vì f(x) là hàm số lẻ 
Khi đó:
 (2)
Thay (2) vào (1) ta được 
Ví dụ 2: Tính tích phân:
Lớp 3: Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
 với và a>0
CM: Biến đổi I về dạng :
Xét tích phân 
Đặt 
Đổi cận 
Mặt khác vì f(x) là hàm số chẵn 
Khi đó:
Vậy:
Ví dụ 3: Tính tích phân:
 Lớp 4: Nếu f(x) liên tục trên thì 
CM: Đặt 
Đổi cận 
Khi đó:
Chú ý: Nếu f(x) liên tục trên thì 
Ví dụ 4: Tính tích phân:
Lớp 5: Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=f(x) thì
CM: Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó:
Ví dụ 5: Tính tích phân:
Lớp 6: Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=-f(x) thì 
 CM: Tương tụ như lớp 5 
Chú ý: Nếu f(x) liên tục trên [a;b], khi đó:
Ví dụ 6: Tính tích phân:
Lớp 7: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0;2a] với a>0 thì
CM: Ta có:
Xét tích phân bằng cách đặt 
Đổi cận: 
Khi đó:
Ví dụ 7: Tính tích phân: 
Lớp 8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn theo chu kỳ T thì 
Ví dụ 8: Tính tích phân: 
Bài tập:
Tính tích phân:
III. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1. Công thức: 
2. Dạng đặc biệt:
Dạng 1: , ta đặt 
Dạng 2: , ta đặt 
Dạng 3: , ta đặt 
Dạng 4: , ta đặt 
Chú ý ( cách tìm v)
Nếu 
Ví dụ
1. , ta có 
2. , ta có 
Bài tập
Bài 1. Tính I = 
Giải
Đặt 
nên I = 
Bài 2. Tính I = . 
Giải
 Đặt 
Nên I = = 
Bài 3. Tính I = . 
Giải
 Đặt 
Do đó I = = = 
Bài 4. Tính I = 
Giải
Tính A: . Do đó A = 
Tính B: Đặt và . Đổi cận: . 
Do đó B = .
Vậy I = .
Bài 6. Tính 
	Giải
	Đặt 
	Ta có 
	Tính M.
Đặt 
	Thay (2) vào (1) ta được 
Bài 7. Tính 
	Giải
	Ta có 
	Tính M
	Bài tập tương tự
Tính 
Tính 
Tính 
Tính 
Tính 
IV. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Bài toán tính diện tích hình phẳng:
+) Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
	+) Cho hai hàm số x = g1(y) và x = g2(y) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x = g1(y), x = g2(y) và hai đường thẳng y = a, y = b là: 
2. Bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay:
	+) Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:. 
	+) Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b quay xung quanh trục Oy là: 
 .
Bài 1. (Đề thi ĐH năm 2002 – Khối A). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y = x + 3. 
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y =
và y = x + 3 là = x + 3 Û .
vì x + 3 ³ "xÎ . 
Do đó S = =
= = (đvdt)
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , và trục hoành
 Giải: 
Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là . 
Diện tích. Theo bảng xét dấu: 
 (đvdt)
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y = . 
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là = Û x = .
vì ³ "xÎ . Do đó S = = . 
Đặt x = 4sint Þ dx = 4costdt. Đổi cận: . 
Do đó S =(đvdt)
Bài 4. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường . Tính 
	Giải 
Ta có 
Bài 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới 
 hạn bởi trục Ox và đường .
 Giải
Hoành độ giao điểm của đường với trục hoành là 
Bài 6. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích khối 
	tròn xoay hình thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. 
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là xlnx = 0 Û x = 1. 
Ta có: V = . Do đó V = .
Với = 
Nên V = . Đặt 
V = = (đvtt)
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x, y = (1 + )x. 
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (e + 1)x = (1 + )x Û 
x(e – ) = 0 Û x = 0, x = 1. Ta có: (e + 1)x ³ (1 + )x "xÎ [0; 1].
Diện tích hình phẳng S = = 
Bài tập tương tự
	Bài 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường . Tính 
	Bài 2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường . Tính 
	Bài 3. Cho parabol (P); . (H) là hình phẳng giới hạn bởi (P), tiếp 
	 tuyến với (P) tại M, trục Ox. Tính 
	Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường và y = x. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox 
Bài 5. Cho D lµ miÒn ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cong: vµ 
	a. TÝnh diÖn tÝch miÒn D.
	b. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®­îc t¹o thµnh khi cho D quay quanh trôc Ox.
Bài 6.TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ .
Bài 7. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ .
Bài 8. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng vµ trong 
 mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy.
Bài 9. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng x=1, x=e, y=0 vµ 
Bài 10.TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng
Bài 11.TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng cã ph­¬ng tr×nh: 
 vµ 
Bài 12. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng Parabol vµ c¸c ®­êng 
 tiÕp tuyÕn víi Parabol nµy, biÕt r»ng c¸c tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm .
Bài 13. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng vµ
 víi .
Bài 14. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ .
Bài 15. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: vµ 
 .