Chuyên đề Thể tích khối đa diện, khôi cầu, khối trụ, khối nón

Dạng 1:Tớnh thể tớch của khối đa diện
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
Cạnh đáy bằng a, góc ASB = 60o 
AB = a, SA = l
SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α
ĐS:a/VSABC= ;b/ VSABC= ;c/ VSABC=
Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC theo a?
ĐS: VA’ABC=
Bài 3. Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vuông cân có
 AB = BC =a. B’ là trung điểm SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AB’C’). Tính VSAB’C’
ĐS:a/ VSABC= b/ VSA’B’C’=
Bài 4.Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a,cạnh bờn AA’=b.Tam giỏc BAC’,B’AC là những tam giỏc vuụng tại A
a/ Cmr: Nếu H là trọng tõm A’B’C’ thỡ AH(A’B’C’)
b/ Tớnh VABC.A’B’C’
ĐS: VABC.A’B’C’=
Bài 5 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, 
AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. Tính VSABC.
ĐS:VSABC=
Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC.
ĐS: 
Bài 7: S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, BC =a, ,các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc α. Tính VSABC
 ĐS: VSABC= 
Bài 8: SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và góc giữa 2 đường chéo = 60o. các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD 
ĐS: VSABCD=
Bài 9: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.
Chứng minh rằng ∆ABC vuông
Tính VSABC
ĐS:
Bài 10: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = . 
Tính thể tích khối chóp SABCD.
ĐS: VSABCD=
Bài 11: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a, 
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
ĐS: VSABCD=
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, 
SB = a, (SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
ĐS: VSBMDN= 
Bài 13: SABCD có ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = AD; ∆SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a. 
Tính VSABCD
ĐS: VSABCD=170
Bài 14: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). ∆SAB có SA = a, = 2 α và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc α. Tính thể tích khối chóp SABCD
ĐS:VSABCD=
Bài 15: Hình chóp S.ABCD có ∆ABC vuông tại B, SA (ABC). =60o, 
BC = a, SA = a, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
ĐS: VMABC=
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD), 
AB = a, SA = a. H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
ĐS: VOAHK=
Bài 17: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a, 
SA = a, SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.
ĐS: VANIB=
Bài 18. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
(SAD) (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. 
Tính thể tích hình chóp CMNP
ĐS: VCMNP=
Bài 19: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB
ĐS: VOO’AB=
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; AB = a,AD = 2a; 
SA (ABCD); . Điểm M thuộc cạnh SA, AM = .
 (BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCNM
ĐS: VS.BCNM=
Bài 21: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; = 90o; 
AB = BC = a; AD = 2a; SA (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
ĐS: VS.BCNM=
Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có ABC là tam giỏc vuông. AB = AC = a; 
AA1 = a. M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1
ĐS: 
Bài 23: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. 
a.Tính thể tích tứ diện theo x.	
b.Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD)
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
ĐS: a/ VABCD= b/ d(B,(ACD))= c/ VMax=
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
ĐS: VSABH= ,VMax= tức M trựng D
Bài 25: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt bằng 
Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI.
ĐS: a/ MaxVSAHC= , b/ VSAKI=
Cú thể tớnh thể tớch khối đa diện nhờ việc chia thành cỏc khối nhỏ hoặc bổ sung thờm
Bài 26: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c
Tính thể tích ABCD
ĐS: VABCD=
Bài 27: Chứng minh VABCD = AD.BC.MN.Sin α. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, α =
Bài 28: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng α. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC
ĐS: VSABC=
Bài 29: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
ĐS: V=
Bài 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, = 60o. = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụ
ĐS: V=
Dạng 2: Tỉ số thể tớch
Bài 31: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
ĐS: 1/2
Bài 32: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA (ABCD). = α. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
ĐS: 
Bài 33: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB (SDC) chia hỡnh chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
ĐS:3/5
Bài 34: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần do (MNB’) chia hình lập phương.
ĐS: 55/89
Bài 35: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho,. Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.
ĐS: 4/5
Bài 36: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra.
ĐS: 1
Bài 37: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. O = AC BD, Ox (ABCD). Lấy 
S Ox, S O sao cho cỏc mặt bờn nghiờng đều với đỏy 1 gúc 600 . Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
ĐS:1/4
 Dạng 3: Phương phỏp thể tớch:Chứng minh đẳng thức,Bất đẳng thức,Khoảng cỏch từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng dựa vào thể tớch
Bài 38: SABC có SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, =120o
Tính d(A,(SBC)).
ĐS: 
Bài 39: SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC), SA =2a. 
`Tính d(A, (SBC))
ĐS: 6a/5
Bài 40: Cho tứ diện ABCD có AD (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5. 
Tính d(A, (BCD)) ?
ĐS: 
Bài 41: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c. 
Tính d(A, (BCD))
ĐS: 
Bài 42: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.
	a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x
b)Tính d(A, (BCD))
ĐS: a/V=
 b/ 
Bài 43: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a và = 120o. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. 
Chứng minh rằng MB MA1 và tớnh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
ĐS:
Bài 44: Cho tứ diện OABC. Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M // với OA, OB. OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1.
Chứng minh rằng: 
Bài 45: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1.
Chứng minh rằng 
Bài 46: Cho hình chóp tứ giỏc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho ; ; 
Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng 
Thể tớch khối cầu,Khối trụ,Khối nún
Bài 47: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ
ĐS: 
Bài 48: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
ĐS: 
Bài 49: Cho hình trụ có đáy là đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B’CD) và đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụ
ĐS:
Bài 50: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ ,mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ.
ĐS: 
Bài 51: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất.
ĐS: Vmax khi R=1,h=2
Bài 52: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung α và (P) tạo với đáy một góc β. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón.
ĐS: 
Bài 53: Cho hình nún đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO sao cho SM=x.mp() đi qua M và cắt hỡnh nún theo đường trũn (C) , mp()// mặt đỏy
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).
2.Tìm x để thể tích này lớn nhất
ĐS: V=
b/ Vmax 
Bài 54: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2.Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.
ĐS: Hỡnh trụ tồn tại khi 0<x<1
V= Vmax=
Bài 55: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết = α ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng β và khoảng cách từ O đến (SAM) bằng a.
Tính thể tích khối nón theo a, α, β.
ĐS: V=
Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
a/Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). 
b/Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:a/V= với 0<h<2R
 b/Vmax