Chuyên đề: Thể tích các khối đa diện, khối tròn xoay

M là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà nên .Do đó =
Trong tam giác vuông SMO ta có:;(đvdt)
Vậy (đvtt)
d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên là tam giác cân đỉnh S mà ,AB=a Do đó vuông cân đỉnh S Ta có: 
Trong 
Vậy (đvtt) 
Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a, .Góc giữa SD và ABCD bằng .
Giải:
a) Vì nên AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD).Do đó
Xét tam giác SAD có và nên SA=AD=3a
 Ta có , 
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B3: Áp dụng công thức 
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 
Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng là ABCA’B’C’.
 Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
 (đvtt)
Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ
Giải: 
a. Gọi H là hình chiếu của A’trên (ABC). Do A’A=A’B=A’C nên H là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có và
Trong vuông AA’H ta có 
A’H = AH. tan600 = 
 = 
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng 
Giải: 
Gọi b là độ dài cạnh của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có 
Mặt khác Theo giả thiết ta có nên 
Khi đó 
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay
B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay
B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay
B 3: Áp dụng công thức :
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V = ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = 
- Thể tích khối nón: V = 
- Diện tích mặt cầu: S = 
- Thể tích khối cầu: V = 
Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b. 
Giải: 
Khối trụ có bán kính 
Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính 
- Diện tích xung quanh của hình trụ là 
 = (đvdt) 
- Diện tích toàn phần của hình trụ là 
 = Sxq +2.Sđ =
Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều cao h=4b là 
V = 
Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có chiều cao bằng a và góc ở đỉnh bằng . 
Giải: 
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm O.Thiết diện qua trục là SAB cân có nên 
Trong vuông Ta có:
- Diện tích xung quanh của hình nón là 
Sxq = (đvdt) 
- Diện tích toàn phần của hình nón là 
Stp = Sxq +Sđ =
 (đvdt)
Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao h=a là 
V = 
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp: 
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a
Giải: Do nên SA là đường cao của khối chóp S.ABC.
Trong tam giác vuông ABC.
Ta có: 
 Vậy V = SABC. SA =(đvtt)
Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 
Giải: 
 Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ABC là tam giác đều nên mà 
Nên AM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) Do đó hơn nữa nên 
Trong SAM ta có 
SA = AM. tan300 = 
Vậy V = SABC. SA =
 = (đvtt)
Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=a, SA=SB=SC= và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 
Giải: 
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC).Do tam giác ABC vuông tại A và SA=SB=SC nên H là trung điểm của BC.
Gọi M là trung điểm của AB.
 Khi đó 
Trong SHC ta có 
Trong SHM ta có 
HM = SH: tan600 = Do đó AC=2HM= Khi đó 
 = AB.AC=.a
Vậy V = SABC. SA = (đvtt)
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp 
a.Biết cạnh bên bằng .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD.
Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .
Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc .
Biết .
Giải:
a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp tam giác đều nên ta có: 
Trong 
 Mặtkhác: 
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD).
Khi đó , 
Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là 
Khi đó : 
Cách 2: 
b.Vì nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD).Do đó
	=.Trong tam giác vuông SAO ta có:
 ;(đvdt)
Vậy (đvtt)
c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì nên OE là hình chiếu vuông góc của SE trên (ABCD) mà nên .
Do đó =
Trong tam giác vuông SMO ta có:
;(đvdt)
Vậy (đvtt)
d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên là tam giác cân đỉnh S mà ,AB=a Do đó đều cạnh a Ta có: 
Trong 
Vậy (đvtt) 
Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông.
a. Biết AB=,2a và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a nên ta có: và AO = 
Vì Khi đó AO là hình chiếu vuông góc của SO trên (ABCD). mà nên 
Do đó
	=
Trong tam giác vuông SAO ta có:
;
(đvdt)
Vậy 
b. Vì nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó
	=.Trong tam giác vuông SAC ta có:
 ; Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta có Khi đó (đvdt)
Vậy (đvtt)
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là trung điểm của AB
CMR 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho .Tính theo a.
Giải:
a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là trung điểm của AB nên 
và 
Khi đó Ta có :
b. Mặtkhác: 
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn nên.Tính 
Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là 
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a. .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có SA=SC và OA=OC nên 
SB=SD và OB=OD nên 
Từ (1) và (2) Ta có 
Xét ta có AB = AD = a và
nên là tam giác đều cạnh a. Khi đó Ta có :
Trong vuông Ta có:
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
 (đvtt)
Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
Giải: 
a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên và ABCD là hình vuông cạnh a.Khi đó ta có và 
AC là hình chiếu vuông góc của A’C trên nên
Trong ABC ta có 
 AA’ = AC. tan600 = .=5
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên (ABC) một góc 300.Tính thể tích lăng trụ đó.
Giải: 
a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên Do đó AB là hình chiếu vuông góc của A’B trên (ABC)Ta có: 
Trong ABC ta có: AB = BC. tan600 = a
Trong AA’B Ta có: tan300 = 
AA’=AB.tan300 = a. =a
 = AB.AC = .a.a = 
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300.
a. Tính độ dài cạnh AC’ 
b. Tính thể tích lăng trụ
Giải: 
a. Vì ABC vuông tại A nên BA AC 
Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA AA’ Do đó 
Ta có nên AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ trên 
 Theo giả thiết Ta có: 
Trong ABC ta có: tan600 = AB = AC. tan600 = a
Trong BAC’ Ta có: 
 tan300 = AC’ = =AB=3a
Trong AA’C’: 
 = AB.AC = .a.a = 
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a , và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của lăng trụ trên.
Giải: 
a. Gọi H là trung điểm của B’C’.Theo giả thiết ta có 
Trong vuông Ta có:
 = 
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung quanh bằng bằng . 
Giải: 
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm O.Thiết diện qua trục là SAB 
- Diện tích xung quanh của hình nón là 
(đvdt) 
Trong vuông Ta có:
Vậy Thể tích khối nón có bán kính 
R và chiều cao h=a là 
V = 
Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà: 
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy, 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Gọi G là trọng tâm 	tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Lời giải:
a)Ta có: 
 + 
 + 
 Vậy: 
b) Gọi I là trung điểm BC.
 G là trọng tâm,ta có : 
 // BC MN// BC 
 Vậy: 
Yêu cầu:
+Học sinh ghi được thể tích khối SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối. 
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích đối với khối chóp 
Bài 2. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Hãy xác định mp(AEMF)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời giải:
a) Gọi . 
Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b) 
 + 
 + có : 
 Vậy : 
c): 
 Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 
 Ta có : 
 có trọng tâm I, EF // BD nên:
HD
Yêu cầu: 
+Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài 5)
Bài 3: 
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Chứng minh 
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:
a)Tính 
Ta có: 
b) Ta có: 
 Ta có: 
c) Tính :
 Ta có: 
 Mà , chia cho 
 Tương tự: 
 Từ (*) .
 Vậy 
Yêu cầu:
+Học sinh chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số ,.
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy ra 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Chứng minh 
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có 
 Ta có 
 Suy ra: 
c) Tính 
+Tính : 
 Ta có: 
 vuông cân nên 
 Ta có:
Từ 
+ 
Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng minh 
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau: 
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
Tính thể tích khối OBB’C’.
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
 Ta có : 
 .
 * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: 
b) M là trung điểm BC 
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : 
Yêu cầu:
+Học sinh xác định công thức thể tích của khối hộp và khối chóp.
+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
 + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
 Khối CB’D’C’ có 
 + Khối lập phương có thể tích:
Yêu cầu:
+Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối với khối nhỏ đang tính 
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
 b) E là trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
 Gọi I là trung điểm AB, Ta có:
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên ; 
+ Vậy : 
Yêu cầu:
+ Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC
+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp 
tam giác.
+ Biết được đường thẳng nào vuông góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho khối CEFA’.
+ Tương tự cho khối CFA’B’ 
Bài 8. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải. 
Giả sử BI = x 
Ta có 
 A’A = AI.tan 300 = 
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8
Do đó VABC.A’B’C’ = 8
Bài 9 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = , AD =. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải. 
Kẻ A’H , HM (định lý 3 đường vuông góc) 
Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 = 
AN = 
Mà HM = x.cot 450 = x
Nghĩa là x = 
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 
2a
3a
a
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a
* Tính: = Bh = .AA’	
* Tính: = AB.AC (biết AC = a) 
* Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: 
 AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
ĐS: = 
Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc = 600. 
 Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 
 hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a.
 a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
 b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
 * B’O (ABCD) (gt)
 * Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là = 
 * Tính = : Trong BB’O tại O, ta có:
 cos = = 
 + ABD đều cạnh a (vì = 600 và AB = a) DB = a 
j
a
60
°
a
O
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
OB = DB = . Suy ra: cos = = 600
 b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC = 2. = 
* = Bh = .B’O = .B’O 
* Tính B’O: B’O = (vì B’BO là nửa tam giác đều) ĐS: 
Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay
Bài 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
3
4
A
B
O
b) Tính thể tích của khối nón
HD: 
a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15 
Tính: AB = 5 (AOB tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24
b) V = = = = =12
Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: 
a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2
 * Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2
b) V = = = 
Tính: SO = (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)
2a
A
B
S
O
Bài 14: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên = = 450
 * Sxq = Rl = .OA.SA = a2
 Tính: SA = a; OA = a (SOA tại O)
 * Stp = Sxq + Sđáy = a2 + a2 = (1 + ) a2 
 b) V = = = 
45
S
B
A
O
A
B
O
O'
A'
B'
l
h
Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.Tính thể tích của khối trụ.
HD: 
* Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2
* OA =R; AA’ = 2R
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2
* V = = = 
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
 Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên
HD:
 a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)
 * OA = 5cm; AA’ = 7cm
 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 
 =120(cm2)
b) * V = = = .52.7 = 
 = 175(cm3)
 c) Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm
 * = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
 * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
 * Tính: AI = 4(cm) (OAI tại I)
h
r
l
B'
A'
O'
I
O
B
A
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. 
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
O
D
C
B
A
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: 
a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD; 
* Chứng minh: DAC vuông tại A 
OA = OC = OD = CD 
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: DBC vuông tại B OB = CD * OA = OB = OC = OD = CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; )
b) * Bán kính R = = = = =
* S = ; * V = R3 = 
Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: 
a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b) R = OA = ; S = 2a2; V = 
Bài 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). 
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: 
* Gọi I là trung điểm AB. Kẻ vuông góc với mp(SAB) tại I 
* Dựng mp trung trực của SC cắt tại O OC = OS (1)
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông tại S)
 OA = OB = OS (2) 
* Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS
 Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA = = 
c
b
a
I
O
S
C
B
A
= 
* S = 
* V = 
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
HD: 
a) Gọi O là trung điểm SC
 * Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC 
 lần lượt vuông tại A, D, B
 * OA = OB = OC = OD = OS = 
S(O; )
b) * R = = = 
* S= ;V= 
2a
a
S
O
D
C
B
A
Bài tập tư giải
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 5a, cạnh bên tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy, SA=. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
	a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
	b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC.
Bài 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) bằng . Tính thể tích của khối chóp SABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có , tam giác ABC vuông cân tại A, BC = , SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
	a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
	b) Tính thể tích khối SAEF.
	c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, và .
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.	
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=, góc giữa AC’ và mp(A’A’C’D’) bằng . M là trung điểm AD 
	a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
	b) Tính thể tích khối MACB’
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng 2a.
	a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’.
	b) Tính thể tích khối CBA’B’
Bài 3: Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc a.
	a) Chứng minh rằng .
	b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. 
Bài 4: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
	a) Tính góc giữa cạnh bên v