Chuyên đề Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai; PT vô tỉ dạng đơn giản

Chuyên đề 1:
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI; PT VÔ TỈ DẠNG ĐƠN GIẢN
-------***-------
A. Kiến thức cơ bản
I. Định nghĩa căn bậc hai số học
II. Điều kiện để căn thức có nghĩa
 có nghĩa khi A ³ 0
III. Các phép biến đổi đơn giản BT chứa căn bậc hai 
1. Hằng đẳng thức 
VD: a) 	b) 
2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 
 (với A, B 0) 
VD: 
*/Đặc biệt với A ta có: 
3. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:
 (với A 0; B > 0)
VD: 
4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
VD: 
5. Đưa thừa số vào trong dấu căn: 
VD: a) 
 b) 
6. Khử mẫu của biểu thức lấy căn: 
VD: 
7. Trục căn thức ở mẫu:
a) 
VD: 
b) 
VD: 
d) 
VD: 
VI. Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, quy tắc bỏ dấu ngoặc
1. A.(B + C) = A.B + A.C
VD: 
2. (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
VD: 
3. - (A - B) = -A + B
Ví dụ: 
V. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ví dụ: 
2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
Ví dụ: 
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Ví dụ: 
4. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
5. (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = A3 - B3 - 3AB(A - B)
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
Ví dụ: 
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: 
VI. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
PP1: Đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C)
Ví dụ: Với , ta luôn có:
PP2: Dùng hằng đẳng thức
Ví dụ: Với , ta luôn có:
PP3: Nhóm hạng tử 
Ví dụ: Với a 0, ta luôn có:
a) 
b) 
PP4: Kết hợp giữa các PP 
Ví dụ: Với x 0, ta luôn có: 
a) 
b) 
B. Bài tập
Phần I. Tìm điều kiện để căn thức có nghĩa
Dạng 1: Biểu thức lấy căn là đa thức bậc nhất
Bài 1: Với giá trị nào của x thì các căn thức có nghĩa: 
Giải: có nghĩa khi 2x -3 0 2x 3x	
Bài tập tương tự: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa 
a) 	b) 	c) 	d) 	
e)	f) 	
Dạng 2: BT lấy căn là phân thức (chứa ẩn ở tử hoặc mẫu)
Bài 2: Với giá trị nào của x thì căn thức có nghĩa 
Giải: có nghĩa khi 
Bài tập tương tự: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa 
a) 	b) 	c)	d) 	
Dạng 3: BT lấy căn có giá trị không âm	
Bài 3: Chứng minh rằng căn thức luôn có nghĩa với mọi giá trị của x:
Giải: với mọi giá trị của x
Vậy luôn có nghĩa với mọi giá trị của x
Giải: a) Do x2 0 với mọi x nên 
Bài tập tương tự: Chứng minh rằng căn thức các căn thức sau luôn có nghĩa với mọi giá trị của x:
a) 	b) 	c) 	d) 
Dạng 4: Biểu thức tổng hợp
Cách giải: Cần tìm điều kiện cho căn thức, cho phân thức và phép chia có nghĩa
Bài 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có nghĩa 
A = 
Giải: Biểu thức A có nghĩa khi:
Bài 5: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có nghĩa 
A = 
Giải: Biểu thức A có nghĩa khi: 
Bài tập tương tự: Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:
A = 
B = 
C = 
D = 
Phần II. Bài tập luyện tập các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai
Dạng 1: Bài tập đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
Giải: = 
Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính
 a)	b) 
 c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
Dạng 2: Bài tập khử mẫu của biểu thức lấy căn hoặc đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
Giải: 
Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính
a) 	 b) 
c) 	d) 
e) 	f) với a > 0
Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau: 
 a) b) c) 	 d) e) f) (với a > 0)
Bài 4: Thực hiện phép tính: A = 
Giải: 
Bài tập tương tự:
A =;	B = 
C = 	D = 	
E = ;	 
Dạng 4: Bài tập về hằng đẳng thức 
Bài 4: Thực hiện phép tính
a) ; 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Giải: (vì < 0)
Bài 5: Thực hiện phép tính: 
Giải: 
Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính
a) 	b) 	c) 
d) ; 	e) 	f) 
g) ; 	h) 	i) + 
Bài 6: Rút gọn biểu thức: (BT dưới dấu căn chứa chữ)
A = với a 0	
Giải: (vì a 0 nên )
Bài tập tương tự: Rút gọn các biểu thức sau
a) với a 2
c) 	d) với a < 0
c) với a > 0
c) , với 0 <x < 1 (Đề số 10-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
d) , với x-3 (Đề số 35-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
e) , với a1 (Đề số 34-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
f), với x1 (Đề số 31-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
Dạng 5: Bài tập phối hợp giữa các phép biến đổi căn 
Bài 7: Thực hiện phép tính: A = 
Giải: A = 
Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính
A = 	B = 	
C =	D = 	
E = 	F = 
G = 	H = 
I = 
Dạng 6: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn 
Bài 8: Thực hiện phép tính: 
Giải: 
Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 	
g) 	h) 	
i) 
Phần III. Bài tập rút gọn biểu thức chứa chữ
Dạng 1: Rút gọn biểu thức dạng phân thức
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau A = với 
Giải: A = = = = 
Bài tập tương tự: Rút gọn các biểu thức sau
A = (với x >0)	 B = với 
C = với 	D = với 
E = (với x 0; )	F = (với )	 
G = với 	H= với 
I = với x>0 	K = (với ) 	
L = với 	M = với 
N = với 	P = với x 0 
Dạng 2. Rút gọn biểu thức gồm tổng các phân thức cùng mẫu
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
 A = với 
Giải: 
A = = = 
 Bài tập tự luyện: Rút gọn biểu thức: 
 A = với 
 B = với 
C = với 
D = với 
E = với 
F = với 
G = với 
H = với 
Dạng 3: Rút gọn biểu thức gồm tổng các phân thức khác mẫu
Dạng 3.1: Đưa các phân thức về cùng mẫu bằng cách rút gọn
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau (Rút gọn đưa về cùng mẫu) 
 P= với 
Giải: 
P = = = 
Bài tập tương tự:
 (Với x > 0)	 (Với x > 0; )
C = (Với x > 0; x 1)	D = (Với x > 0)
E = (Với x 0; )	 (Với x > 0; x 1)
 F = (Với x 0; x 1) 
H = (Với x 0; x 1/4)
Dạng 3.2: Đưa các phân thức về cùng mẫu bằng cách quy đồng mẫu
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau 
P = ,với x 0, x 1
Giải: 
P=
Bài tập tương tự:
A = với 
B = với 
C =	với x >0	
D = với , với x >0	
E =, với x >0, x 4	
F = , với x 0, x 4
G =, với x 0, x 4
I = , với x 0, x 9
P = với 
Q = với 
Dạng 4: Rút gọn biểu thức gồm tích hoặc thương các phân thức
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: P = 
Giải: P = 
Bài tập tương tự:
A = 	
B =	
C = 
Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa tổng, tích và thương 
Bài 6: Rút gọn các BT sau: (Rút gọn và đưa về HĐT số 3)
 P = (Với )
HD giải:
P = =
Bài tập tương tự:
A =, với x > 0
B = , với 
C = ,với 
D = , với 
E = , với 
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau: (Rút gọn đưa về cùng mẫu)
P = (Với )
Giải: P = 
.
Bài tập tương tự:
A = (Với )
B = (Với )
C = (với x0)
D = (với )
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau (Quy đồng mẫu số) 
P = , với a>0; x 4
Giải: P = 
Bài tập tương tự:
A = , với 
B = , với x0; x 16
C = ,với x > 0
Bài 9: Rút gọn biểu thức sau 
P = 	(với x1 và x >0)
Giải: P 
Bài tập tương tự:
A = 	(với x0; x 9)
B = 	(Với)
C = 	(Với )
D = 	(Với )
E = (với x >0 và x4)
F = (Với )
 (Với )
H = 	(Với ) 
I = (Với )
K = (Với)
M = 	(Với )
Phần IV. Các bài tập tổng hợp
Dạng 1: Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức khi biết giá trị của biến
Bài 1: Cho biểu thức P = (với x >0)
Rút gọn P 
Tính P khi x = 4; 
Tính P khi 
Giải: Với x > 0, ta có:
P 
Với x = 4, ta có P = 
Với suy ra . Khi đó:
P = 
Bài 2: Cho (với x>0; x1)
Rút gọn A (KQ: )
Tính giá trị của A biết 
Bài 3: Cho biểu thức: K = với x >0 và x1
Rút gọn biểu thức K
Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
Bài 4: Cho biểu thức A = với a > 0, a ¹ 1
 	1) Rút gọn biểu thức A.
 	2) Tính giá trị của A khi .
Bài 5: Cho biểu thức A =với a > 0, a ¹ 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2.
Dạng 2: Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biến khi biết giá trị của BT
Bài 6: Cho biểu thức A = (với x0; x9)
Rút gọn A
Tìm x để A = 
Bài 7: Cho biểu thức
P = với x ≥ 0, x ≠ 4.
a) Rút gọn P. 
b) Tìm x để P = 2.
Bài 8: Cho biểu thức: C = 
Rút gọn C
Tìm x để C = x – 5
Bài 9: Cho biểu thức: B = với x > 0.
 a) Rút gọi biểu thức B.
 b) Tìm x để B = 0.
Bài 10: Cho biểu thức D =, với x 0; x 1
Rút gọn D
Tìm x để D = 
Bài 11: Cho biểu thức:	Q = .
1) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3- 3. 
Dạng 3: Rút gọn biểu thức và giải bất phương trình
Bài 12: Cho B = 
Rút gọn B
Tìm x để B < -1
Bài 13: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1	
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P > - 2
Bài 14: Cho biểu thức P = với x > 0.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để P > .
Bài 15: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.
Rút gọn biểu thức A.
Tìm các giá trị của a để A < 0.
Bài 16: Cho P = (với a> 3; a 9)
Rút gọn A
Tìm các giá trị của a để A > 
Bài 17: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.
Dạng 4: Rút gọn biểu thức và tìm giá trị nguyên của biến để BT có giá trị nguyên
Bài 18: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1, a ¹ 2.
 1) Rút gọn P.
 2) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Bài 19: Cho biểu thức: P = . với x > 0; x 1
Rút gọn P
Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên
Bài 20: Cho biểu thức Q =, với x > 0; x 1
Rút gọn P
Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên
Bài 21: Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1)
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Dạng 5: Một số dạng khác
Bài 22: Cho biểu thức : P = Với x và x
 a) Rút gọn P.
 b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 
Bài 23: Cho biểu thức P (với x 0)
Rút gọn P
So sánh P và 1
Bài 24: Cho biểu thức : P = 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với 
c) Tìm GTNN của P
Bài 25: Cho biểu thức P = 
Rút gọn P
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Phần V: Phương trình vô tỉ dạng đơn giản
1. Kiến thức cơ bản
2. Bài tập
 Dạng 1: Phương trình dạng 	
Bài 1: Giải phương trình
a ) 
b) 
Giải:
 b) 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Bài 2: Giải phương trình: 
Giải: 	
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 
Bài tập tương tự: Giải phương trình
1) 3 = 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
7) 	8); 
9) 	10) 
11) 	12) 
13) 	14) 
Dạng 2: Phương trình dạng =
Bài 3: Giải phương trình
HD giải: - Điều kiện: x 
 - Bình phương hai vế rút gọn ta được x = 5
Bài tập tương tự: Giải phương trình
1) 
2) 3 
3) 
4) 
Dạng 2: Phương trình dạng + = g(x)	
Bài 4: Giải phương trình.
	= 5 - 	(1)
Giải:
	(1) Û + = 5	
Điều kiện: (*)
Với điều kiện (*) phương trình có hai vế không âm nên ta bình phương hai vế ta có:
	2x + 1 + 2 = 25
	Û	2 = 24 - 2x	(2)
Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x ³ 0 Û x £ 12	(**)
Bình phương hai vế của (2) ta có:
	x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2
	 Û	25x = 150 Û x = 6 (thỏa mãn (*) và (**))
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 
Bài 5: Giải phương trình.
	 = + 	(1)
Giải:
Điều kiện : (*)
Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phương hai vế.
(1) Û x + 1 = 12 - x - 7 + 
Û 2 = x + 4	(2)
Với (*) thì hai vế của p.trình (2) không âm ta bình phương hai vế của (2) ta được:
(2) Û 4 (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16
Û 5x2 - 84x + 352 = 0
D' = 1764 - 1760 = 4 > 0 Þ = 2	
Phương trình (3) có hai nghiệm: x1 = , x2 = 8 
Đối chiếu với (*) ta có x = 8 thõa mãn
Bài tập tương tự: Giải phương trình
1)
2)
3);
4) ;
5) 2 
6) + = 2
7) + = 1 
8) ;
9) - = 
10)