Chuyên đề Rèn kỹ năng giải bài tập toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình

liợ̀u quyờ́t định, mà còn do viợ̀c xác định phương pháp: con đường truyờ̀n tải những nụ̣i dung đó vào trí não của học sinh.
Là giáo viờn giảng dạy bụ̣ mụn toán học THCS, tụi thṍy viợ̀c lựa chọn phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đơn vị kiờ́n thức, với từng đụ́i tượng học sinh là mụ̣t viợ̀c làm hờ́t sức cõ̀n thiờ́t và quan trọng. Trong bụ́i cảnh hiợ̀n nay ngành giáo dục đã và đang nụ̃ lực đụ̉i mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ đụ̣ng, sáng tạo của học sinh trong hoạt đụ̣ng học tọ̃p. Viợ̀c giải bài toán bằng cách lọ̃p hợ̀ phương trình ở chương trình đại sụ́ 9 là mụ̣t ứng dụng của hợ̀ phương trình, song nó còn có ý nghĩa quan trọng trong viợ̀c rèn luyợ̀n óc phõn tích và biờ̉u thị toán học, những mụ́i liờn quan của các đại lượng trong thực tiờ̃n.
Trong chương trỡnh giảng dạy bụ̣ mụn toán học THCS dạng toỏn: “Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, hệ phương trỡnh” lớp 8, lớp 9 là một trong những dạng toỏn cơ bản và tương đối khú đối với học sinh. Loại toỏn này cỏc bài toỏn đều cú nội dung gắn liền với thực tế. do đú khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoỏt ly với thực tế dẫn đến quờn điều kiện của ẩn, hoặc khụng so sỏnh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn, hoặc học sinh khụng khai thỏc hết cỏc mối liờn hệ dàng buộc, khụng biết dựa vào mối liờn hệ giữa cỏc đại lượng để thiết lập phương trỡnh; lời giải thiếu chặt chẽ; giải phương trỡnh chưa đỳng; quờn đối chiếu điều kiện; thiếu đơn vị ...Hơn nữa, kĩ năng phõn tớch, tổng hợp của học sinh trong quỏ trỡnh giải bài tập cũn yếu. 
Ngoài ra, cũng cú thể do trong quỏ trỡnh giảng dạy giỏo viờn mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sỏch giỏo khoa mà chưa chỳ ý phõn loại cỏc dạng toỏn, chưa khỏi quỏt được cỏch giải cho mỗi dạng.
 	Vỡ vậy tụi đưa ra chuyờn đề này với mong muốn cựng thảo luận với cỏc đồng chớ trong tổ chuyờn mụn tỡm ra phương phỏp dạy học phự hợp với mọi đối tượng học sinh. Để giỳp học sinh sau khi học hết chương trỡnh toỏn THCS cú cỏi nhỡn tổng quỏt hơn về dạng toỏn giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, nắm chắc và biết cỏch giải dạng toỏn này. Rốn luyện cho học sinh khả năng phõn tớch, xem xột bài toỏn dưới dạng đặc thự riờng lẻ. Khuyến khớch học sinh tỡm hiểu cỏch giải để học sinh phỏt huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bộn khi tỡm lời giải bài toỏn. Tạo cho học sinh lũng tự tin, say mờ, sỏng tạo, khụng cũn ngại ngựng đối với việc giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, thấy được mụn toỏn rất gần gũi với cỏc mụn học khỏc và thực tiễn trong cuộc sống.
2. Mục đớch và nhiệm vụ của chuyờn đề.
Trong quá trình giải bài toán bằng cách lọ̃p hợ̀ phương trình học sinh thường mắc phải những lụ̃i đặt thiờ́u điờ̀u kiợ̀n của õ̉n, biờ̉u thị các đại lượng chưa biờ́t thụng qua õ̉n còn nhõ̀m lõ̃n, lọ̃p hợ̀ phương trình chưa chính xác, quờn khụng kiờ̉m tra đụ́i chiờ́u với điờ̀u kiợ̀n ban đõ̀u thọ̃m chí còn giải hợ̀ phương trình sai. Với chuyờn đề này tụi nghiờn cứu một phương ỏn dạy học giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, hệ phương trỡnh thụng qua việc phõn loại các dạng bài tọ̃p và hướng dẫn học sinh phõn tớch bài toán dưới dạng bảng sụ́ liợ̀u để rốn kỹ năng giải toỏn loại này cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiờn cứu:
 - Nghiờn cứu cỏc tài liệu về đổi mới phương phỏp dạy học ở trường trung học cơ sở.
 - Nhiệm vụ năm học 2014 – 2015 của Bộ, của sở, của phũng Giỏo dục và đào tạo cựng với nhiệm vụ cụ thể của trường THCS Nguyễn Trói.
 - Sỏch giỏo khoa, sỏch giỏo viờn lớp 8, lớp 9.
 - Tỡm hiểu thực trạng học sinh khối lớp 8, lớp 9.
 - Đưa ra những yờu cầu của một lời giải, chỉ ra được sai lầm học sinh thường mắc phải.
 - Phõn loại được cỏc dạng toỏn và đưa ra một vài gợi ý để giải từng dạng qua cỏc vớ dụ đồng thời rốn cho học sinh định hướng tỡm tũi lời giải.
II. Giải quyết vấn đề.
* Để thực hiện tốt giải cỏc bài toỏn dạng này ta cần nắm được cỏc qui tắc:
+ Nắm vững phương phỏp;
+ Phõn loại bài toỏn;
+ Đọc đề nhiều lần;
+ Túm tắt đề bài;
+ Thiết kế bảng nhỏp. 
* Một trong những phương phỏp hướng dẫn học sinh giải bài toỏn trờn là dựa vào quy tắc chung. Nội dung của quy tắc gồm cỏc bước:
	- Bước 1: Lập phương trỡnh (hệ phương trỡnh)
	+ Chọn ẩn, xỏc định điều kiện cho ẩn.
	+ Dựng ẩn số và cỏc số liệu đó biết để biểu thị cỏc số liệu cú liờn quan, dẫn giải cỏc bộ phận thành phương trỡnh (hệ phương trỡnh).
	- Bước 2: Giải phương trỡnh (hệ phương trỡnh).
	- Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời. 
A-Thực trạng tồn tại : Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh:
a/ Đối với học sinh:
 - Chưa:
+ Nắm vững phương phỏp;
+ Phõn loại bài toỏn;
+ Đọc đề nhiều lần;
+ Túm tắt đề bài;
+ Thiết kế bảng nhỏp. 
Từ đú, học sinh khú cú thể tự hỡnh thành một bài giải hoàn chỉnh cho mỡnh.
Cụ thể: Trong phương phỏp giải:
 	Ở bước 1:Học sinh: 
+ Khụng biết cỏch chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn
+ Khụng biết biểu diễn và lập luận mối liờn hệ của ẩn theo cỏc dự kiện của bài 
 Đú là lớ do dẫn đến học sinh khụng thể lập được phương trỡnh.
Ở bước 2: Thường là học sinh khụng giải được phương trỡnh.
 	Ở bước 3: Khụng biết đối chiếu với điều kiện, chọn cõu trả lời như thế nào.
b/ Đối với giỏo viờn
+ Khụng hướng cho học sinh chọn ẩn và cỏc mối quan hệ giữa đai lượng theo ẩn.
+ Khụng phõn loại cho học sinh dạng bài tập và phõn loại kốm theo cỏch giải
+ Khụng biết diễn đạt đẻ học sinh khai thỏc bài toỏn.
B-Giải phỏp, biện phỏp: 
a) Cỏc bước cơ bản giải một bài toỏn:
1: Đọc kỹ đề bài rồi túm tắt nội dung bài toỏn
2: Nờu rừ cỏc vấn đề liờn quan để lập phương trỡnh. Tức là chọn ẩn như thế nào cho phự hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả món.
3: Lập phương trỡnh. Dựa vào cỏc quan hệ giữa ẩn số và cỏc đại lượng đó biết, dựa vào cỏc cụng thức, tớnh chất để xõy dựng phương trỡnh, biến đổi tương đương để đưa phương trỡnh đó xõy dựng về phương trỡnh ở dạng đó biết, đó giải được.
4: Giải phương trỡnh. Vận dụng cỏc kỹ năng giải phương trỡnh đó biết để tỡm nghiệm của phương trỡnh.
5: Nghiờn cứu nghiệm của phương trỡnh để xỏc định lời giải của bài toỏn. Tức là xột nghiệm của phương trỡnh với điều kiện đặt ra của bài toỏn, với thực tiễn xem cú phự hợp khụng? Sau đú trả lời bài toỏn.
6: Phõn tớch biện luận cỏch giải. Phần này thường để mở rộng cho học sinh tương đối khỏ, giỏi sau khi đó giải xong cú thể gợi ý học sinh biến đổi bài toỏn đó cho thành bài toỏn khỏc bằng cỏch: Giữ nguyờn ẩn số thay đổi cỏc yếu tố khỏc. Giữ nguyờn cỏc dữ kiện thay đổi cỏc yếu tố khỏc. Giải bài toỏn bằng cỏch khỏc, tỡm cỏch giải hay nhất.
* Phõn loại cỏc bài toỏn giải bằng cỏch lập phương trỡnh và hệ phương trỡnh.
Dạng 1: Cỏc bài toỏn về chuyển động
Dạng 2: Cỏc bài toỏn về năng suất lao động
Dạng 3: Cỏc bài toỏn về làm chung – làm riờng, vũi nước chảy chung – chảy riờng ...
Dạng 4: Cỏc bài toỏn sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng húa ...)
Dạng 5: Cỏc bài toỏn tỡm số
Dạng 6: Cỏc bài toỏn cú nội dung hỡnh học
Dạng 7: Tổng hợp
Dạng 1: Cỏc bài toỏn về chuyển động
a-Phương phỏp
	- Dựa vào quan hệ của ba đại lượng S: quóng đường; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều trong cụng thức S = v.t
	- Dựa vào nguyờn lớ cộng vận tốc: Vớ dụ khi giải bài toỏn chuyển động thuyền trờn sụng ta cú: v1 = v0 + v3; v2 = v0 – v3 trong đú v1 là vận tốc thuyền đi xuụi dũng, v2 là vận tốc thuyền đi ngược dũng, v0 là vận tốc riờng của thuyền, v3 là vận tốc dũng chảy
b-Vớ dụ
VD1: Hai người đi xe đạp xuất phỏt cựng một lỳc đi từ A đến B. vận tốc của họ hơn kộm nhau 3 km/h, nờn đến B sớm muộn hơn nhau 30 phỳt. Tớnh vận tốc của mỗi người biết rằng quóng đường AB dài 30 km.
Hướng dẫn :
- Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toỏn này yờu cầu học sinh thiết lập bảng số liệu để từ đú thiết lập phương trỡnh, nhưng cỏc em gặp khú khăn khụng biết xe đạp thứ nhất hay xe đạp thứ hai chuyển động nhanh, chậm nờn khụng điền được số liệu vào bảng số liệu.
- Lưu ý cho học sinh trong 2 xe đạp thỡ chắc chắn cú một xe đi nhanh và một xe đi chậm nờn nếu gọi vận tốc của xe đi chậm là x thỡ hóy điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau: 
Xe đi chậm
Xe đi nhanh
Vận tốc (km/h)
 (km/h)
 (km/h)
Thời gian ( h)
 (h)
 (h)
- Căn cứ vào những gợi ý trờn gợi ý cỏc em đó trỡnh bày lời giải:
 Giải: Đổi: 30 phỳt = (h)
Gọi vận tốc của xe đạp đi chậm là x (km/h) (điều kiện x > 0) 
thỡ vận tốc của xe đạp đi nhanh là (km/h) 
Thời gian xe đạp đi chậm đi là (h), Thời gian xe đạp đi nhanh đi là (h) 
Theo bài ra hai xe đến B sớm muộn hơn nhau 30 phỳt nờn ta cú phương trỡnh: 
 - = 
Ta cú: 
Phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: ; 
Nhận thấy > 0 (thoả món điều kiện), (loại)
Trả lời: Vận tốc của xe đạp đi chậm là 12 (km/h)
 Vận tốc của của xe đạp đi nhanh là 12 + 3 = 15 (km/h)
VD2: Hai tỉnh A và B cỏch nhau 180 km. Cựng một lỳc, một ụtụ đi từ A đến B và một xe mỏy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ụtụ đi hết 2 giờ , cũn từ C về A xe mỏy đi hết 4 giờ 30 phỳt. Tớnh vận tốc của mỗi xe biết rằng trờn đường AB hai xe đều chạy với vận tốc khụng đổi 
- Đõy là một bài toỏn mà nếu khụng đọc kĩ đề và khụng dựng sơ đồ thỡ học sinh dễ nhầm tưởng là dữ liệu đề bài đưa ra thiếu. Nhưng nếu lập luận tốt để đưa ra sơ đồ thỡ bài toỏn lại trở thành đơn giản hơn rất nhiều
Bảng sơ đồ túm tắt hướng dẫn:
 ễ tụ
 Xe mỏy
Vận tốc (km/h)
 x (km/h)
 y (km/h)
Quóng đường
 AC=4,5y
 BC=2x
Thời gian
t(AC)= 4,5y/x
t(BC) = 2x/y
C- Bài tập vận dụng
 Bài 1: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h.
 Bài 2: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h 
 Bài 3: Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc . Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
Dạng 2: Cỏc bài toỏn về năng suất lao động
	a-Phương phỏp
 Dựa vào quan hệ ba đại lượng: N: năng suất lao động (khối lượng cụng việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành một cụng việc; s: lượng cụng việc đó làm thỡ N = 
	b-Vớ dụ
 VD: Hai người thợ cựng làm 1 cụng việc trong 16 giờ thỡ xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thỡ cả 2 người hoàn thành 25% cụng việc. Hỏi nếu làm riờng thỡ mỗi người hoàn thành cụng việc đú trong bao lõu.
*GV hướng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời cõu hỏi sau:
Người 1
Người 2
Cả 2 Người
Thời gian
làm riờng
x (h)
y (h)
16h
Năng suất/1 ngày
 (phần cụng việc)
 (phần cụng việc)
 (phần cụng việc)
- Hóy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đú lập hệ phương trỡnh của bài tập 33 ( Sgk - 24) 
- Đổi 25% cụng việc (= cụng việc)
- GV hướng dẫn cho học sinh lập phương trỡnh 
Giải :
Gọi số ngày để người thứ nhất làm một mỡnh xong cụng việc là x ( ngày) 
 Số ngày để người thứ hai làm một mỡnh xong cụng việc là y (ngày) (ĐK: x, y> 16)
 Mỗi ngày người thứ nhất làm được: (cụng việc)
 Một ngày người thứ hai làm được: (cụng việc) 
Vỡ 2 người làm trong 16 giờ thỡ xong nờn 1 giờ cả 2 người làm được: (cụng việc), ta cú phương trỡnh: 
- Theo bài ra người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ chỉ hoàn thành 25% cụng việc nờn ta cú phương trỡnh: 
Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh : Đặt a = 
ta cú hpt 
 (thoả món)
Vậy người thứ nhất làm một mỡnh thỡ sau 24 ngày xong cụng việc . người thứ hai làm một mỡnh thỡ sau 48 ngày xong cụng việc.
C- Bài tập vận dụng
 Bài 1: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá , nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định 
 Bài 2: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. 
Dạng 3: Cỏc bài toỏn về làm chung – làm riờng, vũi nước chảy chung – chảy riờng ...
	a-Phương phỏp
	- Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong cụng việc thỡ mỗi giờ (hoặc ngày) làm được cụng việc đú
	- Nếu trong 1 giờ: Đối tượng A làm được cụng việc, đối tượng B làm được cụng việc thỡ lượng cụng việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là + cụng việc
 b-Vớ dụ
VD: Để trỏnh lũ một đội biờn phũng đến gặt giỳp xó Nguyễn Trói một cỏnh đồng lỳa. Họ làm việc được 4 giờ thỡ cú đội thứ hai đến cựng gặt. Cả hai đội cựng gặt tiếp trong 8 giờ thỡ xong việc. Hỏi mỗi đội gặt một mỡnh thỡ bao lõu sẽ gặt xong? Biết rằng nếu gặt một mỡnh thỡ đội thứ nhất mất nhiều thời gian hơn đội thứ hai là 8 giờ.
Giải
Gọi thời gian đội thứ nhất gặt một mỡnh xong việc là x (giờ), (x > 8).
Thời gian đội thứ hai gặt một mỡnh xong việc là x - 8 (giờ)
Trong một giờ đội thứ nhất gặt được (cỏnh đồng )
Trong một giờ đội thứ hai gặt được: (cỏnh đồng )
Theo đầu bài đội thứ nhất đó gặt được: (cỏnh đồng )
	đội thứ hai đó gặt được: (cỏnh đồng )
Ta cú phương trỡnh: + = 1
Giải phương trỡnh ta cú: x1 = 4 (loại)
	 x2 = 24
Vậy: Đội thứ nhất gặt riờng trong 24 giờ thỡ xong.
 Đội thứ hai gặt riờng trong 16 giờ thỡ xong. 
C- Bài tập vận dụng
 Bài 1: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
 Bài 2: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
Dạng 4: Cỏc bài toỏn tỡm số
a-Phương phỏp
	Dựa vào mối liờn hệ giữa cỏc hàng trong một số
	Chỳ ý: ; và điều kiện của a,b
b-Vớ dụ
VD: Một số cú hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nú thỡ ta được một số mới lớn hơn số đó cho là 63. Biết tổng của số đó cho và số mới tạo thành bằng 99.
Giải:
	Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y 
	ĐK: x, y N; 1x, y 9
	Theo đề bài ta cú số đó cho là : = 10x + y
	Đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được số mới là = 10y + x 
Nếu đổi chỗ hai chữ số ban đầu thỡ ta được một số mới lớn hơn số ban đầu là 63 nờn ta cú: (10y + x) - (10x + y) = 63 (1) 
Biết tổng của số đó cho và số mới tạo thành bằng 99 nờn ta cú: 
 (10x + y) + (10y + x) = 99 (2)
	Từ (1) và (2) ta cú hệ phương trỡnh: 
	Giải hệ phương trỡnh ta được: (TMĐK)
 	 Vậy số đó cho là 18.
C- Bài tập vận dụng
Nếu tử số của một phõn số được tăng gấp đụi và mẫu số thờm 8 thỡ giỏ trị của phõn số bằng . Nếu tử số thờm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thỡ giỏ trị phõn số bằng . Tỡm phõn số đú.
Tỡm một số N gồm 2 chữ số, biết rằng tổng cỏc bỡnh phương hai chữ số bằng số đú cộng thờm tớch hai chữ số. Nếu thờm 36 vào số đú thỡ được một số cú hai chữ số mà cỏc chữ số viết thứ tự ngược lại.
Tỡm một số cú 2 chữ số biết rằng nếu đem số đú chia cho tổng cỏc chữ số của nú thỡ được thương là 4 và dư là 3. Cũn nếu đem số đú chia cho tớch cỏc chữ số của nú thỡ được thương là 3 và dư là 5.
Dạng 5: Cỏc bài toỏn cú nội dung hỡnh học
 	a-Phương phỏp
	Chỳ ý đến cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc, cỏc cụng thức tớnh chu vi, diện tớch của cỏc hỡnh ...
b-Vớ dụ
VD: Một hỡnh chữ nhật cú chiều rộng bằng chiều dài, nếu giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật là 200m2 . Tớnh chu vi, diện tớch hỡnh chữ nhật ban đầu?
Giải:Gọi chiều dài hỡnh chữ nhật là x (m), thỡ chiều rộng là x (m), (Điều kiện x> 0)
Vỡ hỡnh chữ nhật cú chiều rộng bằng chiều dài, và giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật là 200 m2 nờn ta cú phương trỡnh:
 (x-1)(x+1) = 200
Giải phương trỡnh ta được x1 = 21(TMĐK)
 	 x2 = -(loại)
Vậy chiều dài hỡnh chữ nhật là 21m, chiều rộng là 9m. 
Chu vi hỡnh chữ nhật ban đầu là (21+ 9) 2= 60m
Diện tớch hỡnh chữ nhật ban đầu là 21. 9 = 189m2 
C-Bài tập vận dụng
Một khu vườn hỡnh chữ nhật cú chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tớnh kớch thước của vườn, biết rằng đất cũn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2.
Cho một hỡnh chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lờn 10 m, tăng chiều rộng lờn 5 m thỡ diện tớch tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thỡ diện tớch giảm 600 m2. Tớnh chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Cho một tam giỏc vuụng. Nếu tăng cỏc cạnh gúc vuụng lờn 2 cm và 3 cm thỡ diện tớch tam giỏc tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thỡ diện tớch sẽ giảm đi 32 cm2. Tớnh hai cạnh gúc vuụng.
Dạng 6: Tổng hợp
a-Phương phỏp
Cần chỳ ý đến cỏc cụng thức tớnh phần trăm, thể tớch nếu gặp dạng toỏn liờn quan....
b-Vớ dụ
VD: Cho một lượng dung dịch 10% muối. Nếu pha thờm 200 gam nước thỡ được một dung dịch 6%. Hỏi cú bao nhiờu gam dung dịch đó cho.
Giải
Gọi số gam dung dịch đó cho là x (g), (Điều kiện x>0)
Vậy số gam dung dịch sau khi đổ thờm 200 gam nước là x + 200 (g).
Vỡ trước và sau khi đổ thờm nước lượng muối khụng đổi, do đú ta cú phương trỡnh
 6% . (x + 200) = 10%x
 6x + 1200 = 10x
 x = 300 (TMĐK)
Vậy số dung dịch đó cho là 300gam.
C- Bài tập vận dụng
1. Tỡm hai số biết rằng tổng của hai số đú bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thờm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thờm 2 đơn vị thỡ tớch của chỳng bằng 105 đơn vị.
(trớch Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, ngày 14- 07- 2003, tỉnh Vĩnh Phỳc)
2. Một ca nụ ngược dũng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đú lại xuụi từ bến B trở về bến A. Thời gian ca nụ ngược dũng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nụ xuụi dũng từ B trở về A là 2 giờ 40 phỳt. Tớnh khoảng cỏch giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dũng nước là 5 km/h, vận tốc riờng của ca nụ lỳc xuụi dũng và lỳc ngược dũng bằng nhau.
(trớch Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, ngày 15- 07- 2003, tỉnh Vĩnh Phỳc)
 3. Người ta dự kiến trồng 300 cõy trong một thời gian đó định. Do điều kiện thuận lợi nờn mỗi ngày trồng được nhiều hơn 5 cõy so với dự kiến, vỡ vậy đó trồng xong 300 cõy ấy trước 3 ngày. Hỏi dự kiến ban đầu mỗi ngày trồng bao nhiờu cõy? (Giả sử số cõy dự kiến trồng mỗi ngày là bằng nhau).
(trớch Đề thi tuyển sinh THPT 2004-2005, ngày 29- 06- 2004, tỉnh Vĩnh Phỳc)
III. Kết luận:
	Trờn đõy là những dạng toỏn thường gặp ở chương trỡnh THCS 8, 9. Mỗi dạng toỏn cú những đặc điểm khỏc nhau, việc chia dạng trờn chủ yếu dựa vào lời văn nhưng chỳng đều chung nhau cỏc bước giải cơ bản, đú là cỏc loại phương trỡnh, hệ phương trỡnh cỏc em đó được học ở THCS. Những vớ dụ trờn khụng cú ý là hướng dẫn cỏch giải cỏc phương trỡnh, hệ phương trỡnh mà chủ yếu gợi ý giỳp cỏc em xõy dựng được phương trỡnh cơ bản để khi gặp được cỏc dạng đú cỏc em biết cỏch làm.
Qua cỏc năm giảng dạy toỏn lớp 8,9 tụi rỳt ra một số kinh nghiệm như sau:
Mỗi giỏo viờn dạy mụn toỏn THCS cần xỏc định việc nõng cao chất lượng dạy học là một nhiệm vụ quan trọng đũi hỏi phải cú sự quan tõm, đầu tư về trớ tuệ và sự hợp lực của giỏo viờn và học sinh.
Làm tốt cụng tỏc xó hội hoỏ giỏo dục, thu hỳt sự quan tõm của nhà trường, phụ huynh học sinh cựng tham gia trong việc nõng cao chất lượng dạy học.
Giỏo viờn cần sỏng tạo trong cụng tỏc vận dụng linh hoạt phương phỏp và hỡnh thức dạy học tớch cực trong quỏ trỡnh dạy học, tỡm tũi học hỏi để nõng cao nghiệp vụ chuyờn mụn.
Song song với việc kiểm tra, đụn đốc cần chỳ trọng đến cụng tỏc thi đua, khen thưởng cho học sinh. Từ đú giao chỉ tiờu rừ ràng và điều kiện đi kốm với chỉ tiờu đú để khuyến khớch cỏc em học sinh cố gắng đạt được mục tiờu đề ra. Đõy là giải phỏp quan trọng mang tớnh đột phỏ trong việc thỳc đẩy cỏc em học sinh tỡm tũi, cố gắng, quyết tõm dành được thành tớch cao trong học tập.
Vỡ thời g