Chuyên đề: Phương trình đường thẳng và đường tròn

n đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 19 - 
nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp 
®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 
Giải 
d
A
C
I
B
(C) có ( )1; 2I − và bán kính 3R = . Nếu tam giác ABC vuông góc tại A (có nghĩa là từ A kẻ 
được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau) khi đó ABIC là hình vuông. Theo 
tính chất hình vuông ta có 2IA IB= = (1) . 
Nếu A nằm trên d thì ( );A t m t− − suy ra : 
( ) ( )2 21 2IA t t m= − + − + . Thay vào (1) : 
( ) ( )2 21 2 3 2t t m⇒ − + − + = 
( )2 22 2 1 4 13 0t m t m m⇔ − − + − − = (2). 
Để trên d có đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều kiện : 
( ) ( )22 10 25 0 5 0 5m m m m∆ = − + + = ⇔ − + = ⇒ = − . Khi đó (2) có nghiệm kép là : 
( )1 2 0 1 5 1 3 3;82 2
m
t t t A− − −= = = = = − ⇒ − 
BT30. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng ( )1 : 4 3 12 0d x y− − = và 
( )2 : 4 3 12 0d x y+ − = . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm 
trên (d1), (d2), trục Oy. 
Giải 
Gọi A là giao của ( )1 2 4 3 12 0, : 3;04 3 12 0
x y
d d A A Ox
x y
− − =
⇒ ⇔ ∈
+ − =
Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của 1d với Oy : cho 0x = suy ra 4y = − , ( )0; 4B − và 
C là giao của 2d với Oy : ( )C 0;4 . Chứng tỏ B, C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên 
Ox vì vậy tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác 
thuộc Ox suy ra ( )I a;0 . 
Theo tính chất phân giác trong : 5 5 4 9
4 4 4
IA AC IA IO OA
IO AO IO IO
+ +
= = ⇒ = ⇔ = 
4 4.3 4
9 9 3
OAIO⇒ = = = . Có nghĩa là 4 ;0
3
I   
 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 20 - 
Tính r bằng cách : ( ) ( )5 8 51 1 15 1 1 18 6. .5.3
2 2 2 2 2 15 5
AB BC CA
S BC OA r
r r
+ + + +
= = = = = ⇒ = = . 
BT31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm ( )C 2; 5− và đường thẳng : 3 4 4 0x y∆ − + = . Tìm 
trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua 5I 2;
2
 
 
 
sao cho diện tích tam giác ABC bằng15 
Giải 
Nhận xét I thuộc ∆ , suy ra A thuộc ∆ ( )4 ;1 3A t t⇒ + . Nếu B đối xứng với A qua I thì B có tọa 
độ ( )B 4 4t;4 3t− + ( ) ( )2 216 1 2 9 1 2 5 1 2AB t t t⇒ = − + − = − 
Khoảng cách từ ( )C 2; 5− đến ∆ bằng chiều cao của tam giác ABC : 6 20 4 6
5
+ +
= = 
Từ giả thiết : 
( ) ( )
( ) ( )
0 0;1 , 4;41 1
. 5.1 2 .6 15 1 2 1
2 2 1 4;4 , 0;1
t A B
S AB h t t
t A B
 = →
= = − = ⇔ − = ⇔ 
= →
BT32. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt ( ) ( )A 2; 3 , B 3; 2− − , cã diÖn tÝch b»ng 3
2
vµ träng t©m thuéc ®−êng th¼ng : 3 – – 8 0x y∆ = . T×m täa ®é ®Ønh C. 
Giải 
Do G thuộc ∆ suy ra ( )G t;3t 8− . (AB) qua ( )A 2; 3− có véc tơ chỉ phương ( )1;1u AB= = 


 , cho 
nên (AB) : 2 3 5 0
1 1
x y
x y− += ⇔ − − = . Gọi M là trung điểm của AB : M 5 5;
2 2
 
− 
 
. 
Ta có : 5 5 5 11; 3 8 ; 3
2 2 2 2
GM t t t t   = − − − + = − −   
   





. Giả sử ( )0 0;C x y , theo tính chất trọng tâm 
ta có : ( )( )
0
0
0
0
52 5 22
2 2 5;9 19 1
9 19113 8 2 3
2
x t t
x t
GC GM C t t
y t
y t t
  
− = − − 
= − +  
= − ⇔ ⇔ ⇒ − − 
= −  
− + = − −   



 




Ngoài ra ta còn có 2AB = , ( ) ( ) ( )3 2 5 9 19 8 4 3,
10 10
t t t
h C
− − − −
−
∆ = = 
Theo giả thiết : ( ) 4 31 1 3. , 2 2 4 3 3 10
2 2 210
t
S AB h C t
−
= ∆ = = ⇔ − = 
( )2 2
4 3 5 7 6 5
; 7 9 5
3 3
2 4 3 90 9 24 29 0
4 3 5 6 5 7
;9 5 7
3 3
t C
t t t
t C
  
− +
= ⇒ − − −  
  
⇔ − = ⇔ − − = ⇔ 
 + −
= ⇒ = − 
 
BT33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0
2
I   
 
. Đường thẳng 
AB có phương trình: – 2 2 0, 2x y AB AD+ = = và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 21 - 
của hình chữ nhật đó 
Giải 
Do A thuộc (AB) suy ra ( )2 2;A t t− (do A có hoành độ âm cho nên 1t < ) 
Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : ( )3 2 ;C t t− − . 
Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : 
1
' : 2
2
x td
y t

= +

 = −
, và H có 
tọa độ là H ( )0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra ( )2 2 ;2B t t− − . 
Từ giả thiết : 2AB AD= suy ra AH AD= , hay 2AH IH= ( ) ( )2 2 12 2 1 2 1
4
t t⇒ − + − = + 
( )22 1 1 055 10 5 4. 1 1
1 1 2 14
t t
t t t
t t
− = − = 
⇔ − + = ⇔ − = ⇒ ⇔ 
− = = > 
Vậy khi ( ) ( ) ( ) ( )1 2;0 , 2;2 , 3;0 , 1; 2
2
t A B C D= ⇒ − − − . 
* Chú ý: Ta còn có cách giải khác nhanh hơn 
Tính ( )
1 0 2 52;
25
h I AB
− +
= = , suy ra ( )2 , 5AD h I AB= = 
Mặt khác : ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 22 5 255
4 4 4 4
AB AD
IA IH IH IH AD= + = + = + = + = ⇒ 5
2
IA IB= = 
Do đó A, B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB). Vậy A, B có tọa độ là nghiệm của hệ : 
( ) ( )2 22
2 2 0
2;0 , 2;21 5
2 2
x y
A B
x y
− + =

⇒ −   
− + =   
   
(Do A có hoành độ âm) 
Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : ( )3;0C và ( )D 1; 2− − 
BT34. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với ( )1; 2A − , đường cao : 1 0CH x y− + = , 
phân giác trong : 2 5 0BN x y+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC 
Giải 
H
N
B
C
A
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 22 - 
Đường (AB) qua ( )A 1; 2− và vuông góc với (CH) suy ra (AB): 1
2
x t
y t
= +

= − −
. 
(AB) cắt (BN) tại B:
1
2 5
2 5 0
x t
y t t
x y
= +

⇔ = − − → = −
 + + =
Do đó ( )4;3B − . Ta có : 1 2 11, 2 tan
1 2 3AB BN
k k ϕ − += − = − ⇒ = =
+
Gọi A' đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A' nằm trên (AB). Khi đó A' nằm trên d vuông 
góc với (BN) 1 2:
2
x t
d
y t
= +
⇒ 
= − +
d cắt (BN) tại H : ( )
1 2
: 2 1 1; 3
2 5 0
x t
H y t t H
x y
= +

⇒ = − + → = − ⇔ − −
 + + =
 . 
A' đối xứng với A qua H suy ra ( )A ' 3; 4− − . (BC) qua B, A' suy ra : ( )1; 7u = − 
( ) 4:
3 7
x t
BC
y t
= − +
⇒ 
= −
. (BC) cắt (CH) tại C: 
4
3 13 93 7 ;
4 4 4
1 0
x t
y t t C
x y
= − +
  
⇒ = − → = ⇔ − −  
 
− + =
Tính diện tích tam giác ABC : 
Ta có : ( )
2 5 1 1 9 9 10
. ( , ) .2 59 2 2 4, 2 2
2 2
ABC
AB
S AB h C AB
h C AB
 =

⇒ = = =
=

BT35. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, 
tâm I là giao điểm của đường thẳng 1 : 3 0d x y− − = và 2 : 6 0d x y+ − = . Trung điểm của một 
cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật 
Giải 
Theo giả thiết, tọa độ tâm I 
3 0 9 3
;
6 0 2 2
x y
I
x y
− − =  
⇔ ⇒  + − =  
. Gọi M là trung điểm của AD thì M có 
tọa độ là giao của : 3 0x y− − = với Ox suy ra ( )M 3;0 . Nhận xét rằng IM || AB và DC , nói 
một cách khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng song song với 1d có ( )1; 1n = −

. 
A, D nằm trên đường thẳng d vuông góc với 1d 
3
:
x t
d
y t
= +
⇒ 
= −
. 
Giả sử ( )3 ;A t t+ − (1), thì do D đối xứng với A qua M suy ra ( )3 ;D t t− (2) . 
C đối xứng với A qua I cho nên ( ) ( )6 ;3 3C t t− + . B đối xứng với D qua I suy ra 
( )12 ;3B t t+ − .(4) 
Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). 
Do đó ta có kết quả là : : 3 2MJ AB AD= = = . 
Khoảng cách từ A tới 1d : ( ) ( )1 12, 2 , .2 ABCD
t
h A d S h A d MJ= ⇒ = 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 23 - 
12
2 3 2 12 12
12ABCD
tt
S t
t
= −
⇔ = = = ⇔ 
=
. Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được 
các đỉnh của hình chữ nhật : 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3;1 , 4; 1 , 7;2 , 11;4
1 4; 1 , 2;1 , 5;4 , 13;2
t A D C B
t A D C B
 = − → −
⇔ 
= → −
BT36. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình 2 3 0x y+ − = và hai điểm 
( ) ( )A 1;0 , B 3; 4− . Hãy tìm trên đường thẳng ∆ một điểm M sao cho 3MA MB+


 


 là nhỏ nhất 
Giải 
( ), 3 2 ;D M M t t∈ ∆ ⇒ − có nên ta có : ( ) ( )2 2; , 3 6 ; 3 12MA t t MB t t= − − = − −


 


 . Suy ra tọa độ 
của ( ) ( ) ( )2 23 8 ; 4 14 3 8 4 14MA MB t t MA MB t t+ = − − ⇒ + = + +


 


 


 


 . 
Vậy ( ) ( ) ( )2 2 28 4 14 80 112 196f t t t t t= + + = + + . 
Xét ( ) 280 112 196g t t t= + + , 
tính đạo hàm ( )' 160 112g t t= + . 
( )' 0g t = khi 112 51 51 15.169 196
80 80 80 80
t g  = − = − ⇔ − = = 
 
Vậy min 3 196 14MA MB+ = =



 



, đạt được khi 51
80
t = − và 131 51;
40 80
M  − − 
 
BT37. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn : ( ) 2 21 : 13C x y+ = và 
( ) ( )2 22 : 6 25C x y− + = cắt nhau tại ( )A 2;3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt 
( ) ( )1 2,C C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. 
Giải 
Từ giả thiết : ( ) ( ) ( ) ( )1 2: 0;0 , 13. : 6;0 , ' 5C I R C J R= = = 
Gọi đường thẳng d qua ( )A 2;3 có véc tơ chỉ phương ( ) 2; :
3
x at
u a b d
y bt
= +
= ⇒ 
= +

d cắt ( )1C tại A, B : ( ) ( )2 2 2 2 2
2 2
2
2 33 2 2 3 0
13
x at
a by bt a b t a b t t
a b
x y
 = +
+  ⇔ = + ⇔ + + + = → = −   + + =
( ) ( )
2 2 2 2
2 3 3 2
;
b b a a a b
B
a b a b
 − − 
⇔  
+ + 
. Tương tự d cắt ( )2C tại A, C thì tọa độ của A, C là nghiệm của 
hệ : 
( )
( ) 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 4 3 10 6 2 3 8 33 ;
6 25
x at
a b a ab b a ab by bt t C
a b a b a b
x y

= +

−  
− + + −
⇔ = + → = ⇔  
+ + + 
− + =
Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A, C. Từ đó ta có phương trình : 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 24 - 
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2
0 :2 3 310 6 2 4 6 9 0
3 3
; ' 3;2
2 2
x
a db ab y ta ab b
a ab
a b a b
a b u b b u
 =
= → 
− = +
− + ⇔ + = ⇔ − = ⇔
+ +  
= → = =  
 
 


Suy ra : 
2 3
:
3 2
x t
d
y t
= +

= +
. Vậy có 2 đường thẳng d : x 2 0− = và d ' : 2x 3y 5 0− + = 
BT38. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết ( )A 3;0 , đường cao từ đỉnh B có phương 
trình 1 0x y+ + = trung tuyến từ đỉnh C có phương trình 2 2 0x y− − = . Viết phường trình 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Giải 
H
K
B
A
C
Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương ( )1;1u = do đó 
d : 
3x t
y t
= +

=
. Đường thẳng d cắt (CK) tại C : ( )
3
4 1; 4
2 2 0
x t
y t t C
x y
= +

= ⇒ = − ⇔ − −

− − =
Vì K thuộc (CK) ⇒ ( );2 2K t t − và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K 
suy ra ( )2 3;4 4B t t− − . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : ( ) ( )2 3 4 4 1 0t t− + − + = suy ra 
1t = và tọa độ ( )B 1;0− . 
(C): ( )2 2 2 2 22 2 0 0x y ax by c a b c R+ − − + = + − = > là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ : 
1
9 6 0 2
4 4 0 0
5 2 8 0 6
a
a c
a c b
a b c c

=
− + =

+ + = ⇒ = 
 + + + = = − 

Vậy ( )
2
21 25:
2 4
C x y − + = 
 
BT39. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết ( ) ( )A 1; 1 , B 2;1− , diện tích bằng 11
2
 và 
trọng tâm G thuộc đường thẳng : 3 4 0d x y+ − = . Tìm tọa độ đỉnh C ? 
Giải 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 25 - 
d
K
C
C
B
Nếu G thuộc d thì ( );4 3G t t− . Gọi ( )0 0;C x y . 
Theo tính chất trọng tâm : 
0
0
0 0
1 2
3 33
12 94 3
3
x
t
x t
y y t
t
+ +
= = −
⇔ 
= −
− =

Do đó ( )3 3;12 9C t t− − . 
Ta có : 
 ( )
2
1 1( ) : 2 3 0
1 21;2
1 2 5
x yAB x y
AB
AB
− +
= ⇒ − − =
= ⇒ 

= + =




h(C,AB)= ( ) ( )2 3 3 12 9 3 15 21
5 5
t t t− − − − −
= . Do đó : ( )1 . ,
2ABC
S AB h C AB= ⇒ 
( )
32 17 2632 ;15 21 15 211 11 15 5 5155 15 21 11
202 2 25 4 1;015 3
t Ct
t t
S t
t t C
  
= → = −=  
− −  = = = ⇔ − = ⇒ ⇔

= = → 
BT40. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh ( )4;5− và một đường chéo có phương 
trình 7 8 0x y− + = . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông 
Giải 
Gọi ( )A 4;8− thì đường chéo ( ) : 7 8 0BD x y− + = . Giả sử ( );7 8B t t + thuộc (BD). 
Đường chéo (AC) qua ( )A 4;8− và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương 
 ( ) ( ) 4 7 4 57; 1 : 7 39 05 7 1
x t x y
u AC x y
y t
= − + + −
= − ⇒ ⇔ = ⇔ + − =
= − −

. Gọi I là giao của (AC) và 
(BD) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ : ( )
4 7
1 1 95 ; 3;4
2 2 2
7 8 0
x t
y t t I C
x y
= − +
  
= − → = ⇔ − ⇔  
 
− + =
Từ ( );7 8B t t + suy ra : ( ) ( )4;7 3 , 3;7 4BA t t BC t t= + + = − +


 


 . Để là hình vuông thì BA BC= 
BA vuông góc với BC ( )( ) ( )( ) 2 04 3 7 3 7 4 0 50 50 0
1
t
t t t t t t
t
=
⇔ + − + + + = ⇔ + = ⇔ 
= −
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 26 - 
( )
( )
0 0;8
1 1;1
t B
t B
 = →
⇔ 
= − → −
. Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I 
( ) ( )
( ) ( )
0;8 1;1
1;1 0;8
B D
B D
 → −
⇒ 
− →
Từ đó : (AB) qua ( )4;5A − có ( ) ( ) 4 54;3 :
4 3AB
x y
u AB + −= → =




(AD) qua ( )4;5A − có ( ) ( ) 4 53; 4 :
3 4AD
x y
u AB + −= − → =
−




(BC) qua ( )B 0;8 có ( ) ( ) 83; 4 :
3 4BC
x y
u BC −= − ⇒ =
−




(DC) qua ( )D 1;1− có ( ) ( ) 1 14;3 :
4 3DC
x y
u DC + −= ⇒ =




Chú ý : Ta còn cách giải khác 
(BD) : 7 8y x= + , (AC) có hệ số góc 1
7
k = − và qua ( )A 4;5− suy ra 31:
7 7
xAC y = + . 
Gọi I là tâm hình vuông : ( )
2
2
3;47 8
31
7 7
A C I
A C I
I I
C
C
x x x
y y y
Cy x
xy
+ =
 + =
⇒ ⇒ = +


= − +

Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( ) 0; , : 1;7 7 . cos 45u a b BD v a b u v u v= = ⇒ + = =      
2 27 5a b a b⇔ + = + . Chọn 1a = , suy ra ( ) ( )3 3 3: 4 5 8
4 4 4
b AD y x x= ⇒ = + + = + 
Tương tự : ( ) ( ) ( ) ( )4 4 1 3 3 7: 4 5 , : 3 4
3 3 3 4 4 4
AB y x x BC y x x= − + + = − − = − + = + và đường 
thẳng (DC): ( )4 43 4 8
3 3
y x x= − − + = − + 
BT41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ( )E 1;0− và đường tròn 
( ) 2 2: – 8 – 4 –16 0C x y x y+ = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây 
cung MN có độ dài ngắn nhất. 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )2 2: 4 2 36 4;2 , 6C x y I R− + − = ⇒ = 
Nhận xét : EI R< suy ra E nằm trong (C) 
Gọi d là đường thẳng qua ( )E 1;0− có véc tơ chỉ phương ( ) 1; : x atu a b d
y bt
= − +
= ⇒ 
=

Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M, N có tọa độ là nghiệm của hệ : 
( ) ( )
( ) ( )2 2 2
2 2
1
2 5 2 7 0
4 2 36
x at
y bt a b t a b t
x y

= − +

⇔ = → + − + − =

− + − =
. (1) 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 27 - 
Gọi ( ) ( )1 ; , 1 '; 'M at bt N at bt− + − + với t và t' là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung 
( ) ( )
2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 ' 2 18 20 11
' ' '
a ab bMN a t t b t t t t a b a b
a b a b
∆ + +
= − + − = − + = + =
+ +
2
2
2 2
18 20 11
18 20 112 2
1
1
b b
t t ba a
t
t ab
a
   
+ +    + +     ⇔ ⇔ = +   
+  
 
. Xét hàm số ( )
2
2
18 20 11
1
t tf t
t
+ +
=
+
Tính đạo hàm ( )'f t cho bằng 0, lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t, từ đó suy ra t (tức là 
suy ra tỷ số a
b
). Tuy nhiên cách này dài 
Chú ý: Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì 
dây cung càng lớn 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vuông 
HIE (I là đỉnh) ta luôn có : 2 2 2 2IH IE HE IE IH IE= − ≤ ⇒ ≤ . Do đó IH lớn nhất khi 0HE = 
có nghĩa là H trùng với E. Khi đó d cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất . Lúc này d là đường thẳng 
qua E và vuông góc với IE cho nên d có véc tơ pháp tuyến ( )5;2n IE= = 

 , 
do vậy ( ): 5 1 2 0d x y+ + = hay 5 2 5 0x y+ + = . 
BT42. Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: 
2 – 5 0x y+ = và 3 – 7 0x y + = . Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm 
( )F 1; 3− . 
Giải 
A
H
C
B
F
Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ : 
9
2 5 0 7
3 7 0 22
7
x
x y
x y y

= −+ − = 
⇒ 
− + = 
= −

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 28 - 
9 22
;
7 7
B ⇔ − − 
 
. Đường thẳng 'd qua A vuông góc với (BC) có 
( ) ( ) 13; 1 1;3
3
u n k= − ⇒ = ⇔ = −
 
. (AB) có 1
2AB
k = − . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương 
trình : 
11 1 1
15 5 33 11 82 3 3 15 5 31 1 15 5 3 45 31 1
2 3 3 7
kk k kk
k kk k kk k

= −
− + + + = −+ 
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ ⇔  + = −−  
− − = −

Với ( ) ( )1 1: 1 3 8 23 0
8 8
k AC y x x y= − ⇒ = − − − ⇔ + + = 
Với ( ) ( )4 4: 1 3 4 7 25 0
7 7
k AC y x x y= ⇒ = − + − ⇔ + + = 
BT43. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. 
Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng : 7 – 31 0d x y+ = , điểm ( )N 7;7 thuộc đường 
thẳng AC, điểm ( )2; 3M − thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB 
Giải 
Gọi ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0; 2; 3 , 7; 7A x y MA x y NA x y⇒ = − + = − −



 



. 
Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có : 
( )( ) ( )( ) 2 20 0 0 0 0 0 0 0. 0 2 7 3 7 0 9 4 7 0MA NA x x y y x y x y= ⇔ − − + + − = ⇔ + − − − =



 



Do đó A nằm trên đường tròn ( ) ( ) ( )2 20 0: 3 2 20C x y− + − = 
Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình : 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
31 7 31 73 2 20
50 396 768 028 7 2 207 31 0
x y x yx y
y yy yx y
= −  = −
− + − = 
⇔ ⇔ ⇔  
− + =− + − =+ − =   
Do đó ta tìm được 198 2 201 99 201 99 201;
50 25 25
y y− − += = = , tương ứng ta tìm được các giá 
trị của x : 
82 7 201 82 7 201
;
25 25
x x
+ −
= = . Vậy 82 7 201 99 201;
25 25
A
 + −
 
 
 và tọa độ của 
điểm 82 7 201 99 201;
25 25
A
 
− +
 
 
BT44. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng 1 2: 2 5 0, : 3 2 –1 0d x y d x y+ + = + = và 
điểm ( )G 1;3 . Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm 
G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và 2d 
Giải 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 29 - 
d1
d2
G
M
A
B
C
Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ : ( )2 5 0 11 11;17
3 2 1 0 17
x y x
A
x y y
+ + = = − 
⇔ ⇒ − 
+ − = = 
Nếu C thuộc ( ) ( )1 2; 2 5 , 1 2 ; 1 3d C t t B d B m m⇒ − − ∈ ⇒ + − − 
Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là trọng tâm thì : 
2 10 1 2 133
11 2 3 2 3 23
3
t m
t m
t m t m
+ −
= + =
⇔ 
− − + =
=

( )
13 2 13 2 35
2 13 2 3 2 24 24
t m t m t
m m m m
= − = − = − 
⇔ ⇔ ⇒  
− + = = =  
Vậy ta tìm được ( )C 35;65− và ( )B 49; 53− . 
BT45. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2: – 6 2 –15 0C x y x y+ + = . Tìm tọa độ điểm 
M trên đường thẳng : 3 – 22 – 6 0d x y = , sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, 
MB (A, B là các tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua điểm ( )0;1C . 
Giải 
(C) : ( ) ( )2 23 1 25x y− + + = , có ( )3; 1I − và 5R = . 
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến kẻ từ M. 
Gọi ( )0 0 0 0; 3 22 6 0 (*)M x y d x y∈ ⇒ − − = 
Hai tiếp tuyến của (C) tại A, B có phương trình là : 
( )( ) ( )( ) ( )1 13 3 1 1 25 1x x y y− − + + + = và : ( )( ) ( )( ) ( )2 23 3 1 1 25 2x x y y− − + + + = 
Để 2 tiếp tuyến trở thành 2 tiếp tuyến kẻ từ M thì 2 tiếp tuyến phải đi qua M 
( )( ) ( )( ) ( )1 0 1 03 3 1 1 25 3x x y y− − + + + = và ( )( ) ( )( ) ( )2 0 2 03 3 1 1 25 4x x y y− − + + + = 
Từ (3) và (4) chứng tỏ (AB) có phương trình là : ( )( ) ( )( ) ( )0 03 3 1 1 25 5x x y y− − + + + = 
Theo giả thiết thì (AB) qua ( )0;1C suy ra : 
( ) ( )0 0 0