Chuyên đề Những tiết khó dạy trong chương trình toán trung học phổ thông và cách khắc phục và ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học môn toán

ng lời giải
HĐ7. Củng cố.
Dặn dò: Học bài và làm các bài tập 29 - 35
Bài 6
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ- LUYỆN TẬP
(GT12NC- 02Tiết)
Đây là một bài khó dạy vì nội dung của nó có quá nhiều thông tin cần phải truyền tải, những kiến thức cơ bản tưởng như đơn giản nhưng rất dễ mắc sai lầm.
Chuẩn kiến thức, kĩ năng
Chuẩn kiến thức- kĩ năng
Kiến thức cơ bản
Dạng toán - Ví dụ - lưu ý
1. Lũy thừa
Định nghĩa Lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ. Các tính chất.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ của một số dương.
- Biết các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Về kĩ năng:
- Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có lũy thừa.
Lũy thừa với số mũ nguyên
n thừa số
- Lũy thừ với số mũ nguyên dương: Cho , . Khi đó
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:
Cho , quy ước
Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương 
- Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b.
- Khi n lẻ, : Tồn tai duy nhất .
- Khi n chẵn:
 + b < 0: Không tồn tại căn bậc n chủa b
 + b = 0: 
 + b > 0: có hai căn 
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ 
. Khi đó
- Rút gọn biểu thức có lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ.
- Tính giá trị biểu thức có lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ.
- Chứng minh hệ thức có lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ.
- So sánh những biểu thức có chứa lũy thừa(dựa vào tính chất của lũy thừa).
Ví dụ. Chứng tỏ rằng 
Ví dụ. Rút gọn biểu thức
 với a > 0.
Ví dụ. Chứng minhrằng 
Ví dụ. So sánh các cặp số sau: và 
 và 
Ví dụ. Cho và . Tính y theo x.
Đề xuất PP giảng dạy
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
HĐ1. GV nhắc lại khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương.
GV lưu ý, trong biểu thức lũy thừa có hai đại lượng: Cơ số a và số mũ n.
 Khi n nguyên dương thì a là số thực tùy ý.
Gọi HS giải quyết H1
 GV đặt vấn đề: Trong tập hợp số nguyên, ngoài số nguyên dương còn số 0 và số nguyên âm.
a) Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm.
HĐ2. GV trình bày ĐN1 và VD1
GV lưu ý, khi n = 0 hoặc n nguyên âm thì a phải khác 0.
GV tiếp tục trình bày VD2 và CHÚ Ý. Trong chú ý 2) cần thông báo 2) là quy ước toán học.
b) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
HĐ3. GV trình bày ĐỊNH LÍ 1. Nhấn mạnh các giả thiết. Liên hệ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
 HD HS chứng minh công thức 5)
HĐ4. GV HD nhanh cách chứng minh H2. 
HĐ5. GV trình bày ĐỊNH LÍ 2. Có thể cho VD minh họa 
HĐ6. GV trình bày HỆ QUẢ 1 và HDHS Chứng minh.
HĐ7. GV trình bày HỆ QUẢ 2 và nói nhanh cách chứng minh.
HĐ8. GV trình bày HỆ QUẢ 3 và nói nhanh cách chứng minh.
HĐ9. GV gọi HS giải quyết H3.
 2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
 a) Căn bậc n
HĐ10. GV trình bày ĐỊNH NGHĨA 2
 Lưu ý HS Ghi nhớ hai khẳng định:
 Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu .
 Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. Căn có giá trị dương, kí hiệu là (căn số học), căn có giá trị âm kí hiệu là
 -.
HĐ11. GV truyền đạt 5 nhận xét.
HĐ12. GV trình bày 5 tính chất của căn bậc n. Dừng lại từng tính chất để nhấn mạnh ý nghĩa vận dụng của nó.
 HDHS chứng minh tính chất 5.
HĐ13. GV gọi HS giải quyết Ví dụ 3.
HĐ14. GV gọi HS giải quyết H4.
b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
HĐ15. GV trình bày ĐỊNH NGHĨA 3 và Nhận xét. Nhấn mạnh ĐK a > 0. là một phân số tối giản có m nguyên, n nguyên dương.
 Chốt lại: Khi viết an cần chú ý:
 + Nếu n là số nguyên dương thì a là số thực tùy ý.
 + Nếu n là số nguyên âm hoặc 0 thì a là số thực khác 0.
 + Nếu n không nguyên thì a > 0.
HĐ16. GV HDHS giải quyết Ví dụ 4.
HĐ17. GV HDHS giải quyết Ví dụ 5.
HĐ18. Củng cố, dặn dò.
 Trên đây là một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy cũng như qua học tập, trao đổi với đồng nghiệp. Trong phạm vi cho phép, chỉ dừng lại ở một số tiết dạy có chọn lọc. Còn nhiều những tiết khó trong chương trình Toán THPT, mong được tiếp tục trao đổi. Xin tiếp thu và cảm ơn các ý kiến góp ý.
 Đồng Hới, tháng 9 năm 2013
Chuyên đề II
ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG 
DẠY HỌC MÔN TOÁN.
	Ứng dụng CNTT trong dạy học nói chung và trong dạy học môn Toán nói riêng là một xu thế tất yếu của thời đại. Trong nhiều năm qua, việc sử dụng CNTT trong giảng dạy môn Toán đã được triển khai rộng rãi và nhận được sự ủng hộ của phần lớn giáo viên. Sự thuận tiện trong giảng dạy và học tập khi sử dụng CNTT là một điều không thể bàn cãi, tuy nhiên, hiệu quả của bài dạy còn phụ thuộc phần lớn vào khả năng sử dụng CNTT người giáo viên. Trong tài liệu này, với mong muốn cung cấp cho các giáo viên một số công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu bài dạy và thiết kế giáo án điện tử, chúng tôi xin được giới thiệu phần mềm Maple và một số phương pháp hỗ trợ trong việc thiết kế bài giảng điện tử, thiết kế bài giảng Elerning. Những nội dung trong phần này được biên tập từ các tài liệu bồi dưỡng của Bộ Giáo dục và Đào tạo, giáo trình giảng dạy của các trường ĐHSP.
I. SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE HỖ TRỢ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
1. Giới thiệu 
	Phần mềm Maple xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1980 bởi nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo, Ontario, Canada. Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc, một công ty Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario. Phiên bản hiện tại là Maple 12 được phát hành vào tháng 5 năm 2008.
	Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống, có thể dễ dàng tạo ra những giao diện tùy chọn. Maple hỗ trợ cho việc tính toán trên các số, tính toán hình thức, cũng như hiển thị. Trong Maple, nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên chương trình con NAG, cho phép độ chính xác lớn.
	Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ, cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (như C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic, Excel). 
	Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động, phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple và được thông dịch bởi nhân Maple, được viết bằng ngôn ngữ C, chạy trên tất cả các hệ điều hành chính. Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG). Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping). Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh. 
1.1. Cấu trúc và giao diện.
	Cấu trúc t́ài nguyên của Maple
	• Khi khởi động Maple, chương trình chỉ tự động kích hoạt nhân của Maple bao gồm các phép toán và chức năng cơ bản nhất. Phần nhân chiếm khoảng 10% dung lượng của toàn chương trình.
	• Các dữ liệu và chương trình còn lại của Maple được lưu giữ trong thư viện Maple và được chia ra 2 nhóm: nhóm các lệnh cơ bản và nhóm các gói lệnh. Maple 9.0 có khoảng 85 gói lệnh. Gói lệnh có thể nạp vào bằng:
> with(plots):
	Lệnh của Maple
	• Lệnh được gõ vào trang làm việc (worksheet) tại dấu nhắc lệnh ">" và theo ngầm đ̃ịnh được hiển th̃ị bằng font Courier màu đỏ. Một lệnh đựợc kết thúc bởi dấu ":" hoặc dấu ";" và được ra lệnh thực hiện bằng việc nhấn Enter khi con trỏ đang ở trên dòng lệnh.
> factor(2*x^102+x^100-2*x^3-x+60*x^2+30):
	• Kết quả của lệnh được hiển thị ngay bên dưới dòng lệnh nếu dùng dấu ";". Có thể dễ d́àng dùng chuột và bàn phím để thực hiện các chức năng bôi đen, copy, paste, cut, delete...đối với dữ liệu trên dòng lệnh hay kết quả thực hiện.
Sử dụng d̃ịch vụ trợ giúp (Help) trong Maple
Maple có dịch vụ trợ giúp khá đầy đủ và thuận lợi bao gồm cú pháp, giải thích cách dùng và các ví dụ đi kèm. Để nhận được trợ giúp, có thể:
	• Nếu đã biết tên lệnh thì từ dấu nhắc gõ vào ?tên lệnh, chẳng hạn
> ?factor
	• Nếu dùng một gói lệnh thì khi nạp gói lệnh, Maple sẽ hiển thị toàn bộ lệnh trong gói đó.
	• Một cách thông dụng nữa là dùng trình Help =>Topic Search rồi gõ vào từ khóa cần tìm.
1.2. Lưu giữ và trích xuất dữ liệu.
	• Trang làm việc của Maple sẽ được lưu giữ bằng file có đuôi ".mws". File được lưu giữ bằng trình File => Save. Một file đã có được mở bằng File =>Open.
	• Ngoài việc lưu giữ bằng định dạng của Maple như trên, dữ liệu có thể được trích xuất thành các định dạng khác như Word, LaTex hay HTML. Trích xuất bằng File => Export.
1.3. Các môi trường làm việc trong Maple
	Maple có 2 môi trường làm việc là toán và văn bản. Sau khi khởi động, Maple tự động bật môi trường toán. Muốn chuyển sang môi trường văn bản, kích chuột vào biểu tượng T trên thanh công cụ hay vào trình Insert => Text. Ngược lại, từ môi trường văn bản, kích chuột vào dấu "[>" trên thanh công cụ hay vào Insert để chuyển sang môi trường toán.
> ifactor(58600);
2. Sử dụng Maple hỗ trợ trong quá trình dạy học truyền thống 
2.1 Các dấu phép toán, hàm và hằng số cơ bản
Các phép toán và dấu phép toán
Cú pháp 	Giải thích 	Ví dụ
	! 	giai thừa 	100!
	^ 	lũy thừa 	a^5
	+ 	cộng 	a+b
	-	trừ hoặc số âm 	x-y
	* 	nhân 	2*x
	/ 	chia 	120/5
	< 	nhỏ hơn 	a<100
	> 	lớn hơn 	b>100
	>= 	lớn hơn hoặc bằng 	x>=1/2
	<= 	nhỏ hơn hoặc bằng 	x<=1/2
	= 	bằng 	a=b
	:= 	phép gán 	x:=2/3
Các hàm thông dụng
Cú pháp 	Giải thích 	Ví dụ
sin, cos, tan 	các hàm lượng giác	sin(x)
arcsin, arccos, arctan 	các hàm LG ngược 	arcsin(x)
abs 	hàm trị tuyệt đối 	abs(x)
exp 	hàm mũ cơ số e 	exp(x) hay E^x
log hay ln 	hàm logarit cơ số e 	log(x) hay ln(x)
log[10]	hàm logarit cơ số 10 	log[10](x)
sqrt 	khai căn bậc 2 	sqrt(3)
Các hằng số thông dụng
Cú pháp 	Hằng số
Pi 	π
exp(1) 	e
infinity 	∞
2.2. Các tính toán số học
a) Maple có thể làm việc như một máy tính bỏ túi hiện đại
> 5*3;
> 120/7+2^100;
	Khả năng tính toán số học của Maple là rất lớn, có thể làm việc với những số có đến 228 = 268435456 chữ số.
> 300000!:
> length(%);
	Ta thấy số 300.000! có 1.512.852 chữ số, khoảng 20 ngàn dòng trên màn hình.
> ifactor(1512852);
> FermatPrime:=2^(2^n)+1;
> [seq(FermatPrime,n=1..6)];
> map(ifactor,%);
b) Các hàm trên số nguyên
> isprime(1388990297):
> nextprime(123456789):
> prevprime(123456789):
> ilcm(786,120):
> igcd(786,120):
> irem(786,120):
> iquo(786,120):
	Ngoài ra còn có các lệnh sau:
max, min Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong tập các số cho trước.
iroot Tìm nghiệm nguyên xấp xỉ căn bậc n của 1 số nguyên.
isqrt Tìm nghiệm nguyên xấp xỉ căn bậc 2 của 1 số nguyên.
mod Các phép toán trên hệ thặng dư modulo.
rsolve Giải phương trình hàm nhờ các công thức truy hồi.
convert Chuyển đổi số nguyên sang các hệ cơ số khác nhau.
c) Tính toán chính xác và gần đúng
	• Khi làm việc với số hữu tỷ hoặc căn thức, Maple có khả năng tính toán với kết quả chính xác. Điều này hết sức quan trọng khi cần các tính toán nhiều bước.
> A:=7/3+6^10/7;
> 3^(2/5);
> Pi;
	• Tuy nhiên, khi cần Maple cũng có thể tính gần đúng với độ chính xác tùy ý.
> evalf(10/3);
> B:=7.0/3+6^10/7;
> evalf(3^(2/5),20);
> evalf(Pi,100);
	• Maple làm việc thuận lợi trên các số phức:
> (2+2*I)/(1-3*I);
> sqrt(1+I);
> evalf(%);
d) Tính tổng, tích hữu hạn và vô hạn
Tính tổng hữu hạn.
Ví dụ: Tính tổng Ta có thể hoặc là dùng 2 lệnh
> Sum((1+i)/(1+i^4),i=1..20);
> value(%);
Hoặc tính trực tiếp:
> sum((1+i)/(1+i^4),i=1..20);
Tính tổng vô hạn.
Ví dụ: Tính tổng . Tương tự như trên, ta có thể dùng
> Sum(1/k^2,k=1..infinity);
> value(%);
Hoặc
> sum(1/k^2,k=1..infinity);
> value(%);
	Hoàn toàn tương tự với tính tổng, ta có thể tính các tích hữu hạn và vô hạn với Maple. Cách làm như trên với việc thay lệnh Sum hay sum bởi Product hay product.
2.3. Các tính toán đại số
2.3.1. Các tính toán trên biểu thức đại số
Gán tên cho biểu thức và trị cho biến
Dùng phép ":=" để gán tên và lệnh "subs" để gán trị cho biến.
> A:=a*x^2+b*x+c:
> A1:=subs(a=1,b=2,c=I,A):
Biến đổi biểu thức đại số
Lệnh khai triển với expand
> B:=(x+1)*(x-2)+3*x+2;
> expand(A);
> expand(sin(x+y));
> L:=exp(a+ln(b));
> expand(%);
Lệnh đơn giản biểu thức với simplify
> C:=cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x);
> simplify(C);
> simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2);
> simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2,'trig');
> simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2,'ln');
	Lưu ý: Lệnh simplify là một lệnh rất "mơ hồ" do không có một tiêu chuẩn rõ ràng cho sự đơn giản hóa. Nhiều khi ưu tiên cửa Maple trong việc đơn giản một biểu thức không giống như kỳ vọng của người dùng. Hơn thế nó cần rất nhiều bộ nhớ để simplify. Trong đa số trưòng hợp, lệnh expand là một lệnh đơn giản tốt hơn.
> ?seq
Ngược lai với expand là lệnh factor và combine
> expand((x-2)*(x+3));
> factor(%);
> expand(e^(2*x+y)+sin(2*x));
> combine(%);
	Lệnh chuẩn hóa với normal, đặc biệt dùng để đơn giản các phân thức về dạng chuẩn tắc
> PT:=(x^2-y^2)/(x^3+y^3+3*x^2*y+3*x*y^2);
> normal(PT);
> factor(PT);
	Lệnh convert cho phép chuyển các biểu thức về các dạng biểu diễn khác nhau
> convert(sin(x),exp);
> M:=Matrix([[a,b],[x,y]]);
> convert(M,'listlist');
> convert(M,set);
> convert(%,list);
	Lệnh map cho phép gán lệnh đồng thời cho nhiều biến trong bảng hay tập.
> bang:=[Pi/3,0,-Pi/2];
> map(sin,bang);
> f:=x->x^2+x-1;
> map(f,{-1,0,1});
> map(f,[-1,0,1]);
chú ý sự khác nhau của hai kết quả trên.
2.3.2.Tính toán trên đa thức
	Các lệnh thông dụng
	Lệnh sắp xếp đa thức với sort và collect
> f:=x^2+1+3*x+4*x^4-3*x^5;
> sort(f,x);
> g:=y^3+x^2*y^2+a*x^3;
> sort(g);
> sort(g,[x,y]);
> sort(g,[y,x]);
> sort(g,[y,x],plex);
> h:=x*y+x*y*z-3*y*z^2+x+z*x+y^3+x^4;
> collect(h,x);
> collect(h,y);
> collect(h,z);
	Xác định hệ số và bậc với lệnh coeff và degree
> h:=t^4-4*x^3*y*z+y^3-3*y*z^2+x*y+x*z+x;
> sort(h);
> degree(h);
> degree(h,y);
> ldegree(h);
> ldegree(h,x);
> coeff(h,z);
> coeff(h,z,2);
> coeffs(h);
> lcoeff(h,t);
	Các lệnh cho phép chia đa thức với rem, quo và divide
> r:=rem(x^4+2*x^2+x-1,x^2+2*x+3,x);
> r:=quo(x^4+2*x^2+x-1,x^2+2*x+3,x);
> divide(x^4+2*x^2+x-1,x^2+2*x+3);
> divide(x^2-y^2,x-y);
> ?gcdex
	Phân tích đa thức thành nhân tử với lệnh factor
	Lệnh factor phân tích đa thức thành nhân tử trên trường sinh ra bởi trường số hữu tỷ và các hệ số của đa thức.
> factor(x^3+3);
> factor(x^3+3,3^(1/3));
> factor(x^3+3,{(-3)^(1/2),3^(1/3)});
	Tham số của lệnh factor có thể là real hay complex nếu như muốn phân tích thành nhân tử trên trường số thực hay phức. Chú ý rằng khi đó kết quả cho hệ số là các số gần đúng.
> factor(x^3+3.0);
> factor(x^3+3,real);
> factor(x^3+3,complex);
	Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
	Với lệnh solve và fsolve
> restart;
> equs:={x+2*y-8,x^2-2*x-3};
> equ:=x^3+x^2-x;
> sol1:=solve(equ);
> sol:=solve(equ,{x});
Có thể kiểm tra lại kết quả bằng lệnh eval:
> sol[1];sol[2];sol[3];
> expand(subs(x=sol1[2],equ));
> expand(eval(equ,x=sol1[2]));
> seq(expand(eval(equ,sol[i])),i=1..3);
	Hãy thực hiện việc thử lại với sol1 trên. Muốn thử lại với sol1, cần dùng
> eval(equ,x=sol1[1]);
	Có thể trích xuất các nghiệm thành bộ theo thứ tự định trước với các nghiệm nhiều thành phần.
> equs;
> sols:=solve(equs,{x,y});
> x1:=eval(x,sols[2]);
> seq(eval(x,sols[i]),i=1..2);
	Cũng có thể trích xuất các nghiệm thành bộ theo thứ tự định trước.
> eval([x,y],sol1[2]);
> eval([y,x],sol1[2]);
	Cách khác để kiểm tra nghiệm là dùng lệnh map:
> map(subs,[sol[1],sol[2]],equ);
	Chú ý rằng lệnh map không thể tác động trên dữ liệu có định dạng tập hợp:
> map(subs,sol,equ);
> map(subs,[sol],equ);
	Hãy thử dùng lệnh map với nghiệm của equ cho trên.
	Lệnh solve có thể cho biết tất cả các nghiệm chính xác của đa thức 1 biến có bậc không quá 4, tức là nghiệm biểu diễn bằng căn thức.
> solve(x^3+2*x+8);
	Tuy nhiên, với phương trình bậc 4, do nghiệm bằng căn thức quá phức tạp và không có tính ứng dụng cao, Maple ngầm định đưa ra nghiệm dưới dạng RootOf. Tuy nhiên ta có thể nhận được nghiệm chính xác bằng cách chọn _EnvExplicit:=true.
> solve(x^4+x^3-9);
> evalf(%);
> _EnvExplicit:=true:
> solve(x^4+x^3-9):
	Với các đa thức 1 biến có bậc cao hơn 5, lệnh solve cho nghiệm RootOf và có thể nhận được nghiệm xấp xỉ bằng evalf.
> solve(x^7+x^5+x^2+x+1);
> evalf(%,20);
	Lệnh solve để giải các phương trình siêu việt hoặc chứa căn thức.
> solve(2*cos(x)^10-x+1,{x});
> evalf(%);
> solve(ln(x)+x+1,x);
> evalf(%);
	Khi giải các phương trình phức tạp, Maple thường chỉ cho ta 1 nghiệm. Cần dùng các đánh giá khác để có thể tìm ra các nghiệm khác, hoặc có thể dùng lệnh fsolve. Đây là lệnh tìm nghiệm xấp xỉ, và có thể tìm nghiệm với các điều kiện hạn chế.
> f:=3*2^x+2*3^x-5^x-1;
> sol:=solve(f,x);
> fsolve(f);
> evalf(sol);
> fsolve({f=0},{x},-4..0);
	Lệnh solve có thể dùng để giải hệ phương trình và bất phương trình.
> pts:={x+y+2*t-1,3*x+2*y+3-t,x+y-t};
> solve(pts,{x,y,t});
> solve(x^2+3*x+1>0,x);
> pts1:={x+y+2*t-1,3*x+2*y+3-t,x+y-t>0};
> solve(pts1,{x,y,t});
	Hạn chế của lệnh solve
	• Không thể tìm nghiệm 1 cách triệt để, nhất là với các hàm siêu việt hoặc phức tạp. Cần sử dụng kết hợp với đồ thị và các phương pháp đánh giá khác để tìm hết tất cả các nghiệm.
	• Cần luôn luôn kiểm tra lại nghiệm bằng cách dùng lệnh eval.
> equ:=(x-2)^2/(x^2-4);
> sol:=solve(equ,{x});
> eval(equ,sol);
	Các lệnh tìm nghiệm khác
Lệnh isolve để tìm nghiệm nguyên
> isolve(2*x+3*y);
> isolve(2*x-3);
Lệnh msolve để tìm nghiệm nguyên modulo p
> msolve({2*x-7*y+1,3*x-7*y-5},9);
So sánh với:
> solve({2*x-7*y+1,3*x-7*y-5});
> msolve(2^n=3,11);
> solve(2^n=3);
Lệnh rsolve để giải các bài toán truy hồi
> restart;
> rsolve({f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=1,f(1)=1},{f(n)});
Độc giả quan tâm có thể tìm hiểu thêm các lệnh nâng cao về vấn đề này trong gói lệnh LREtools.
2.4.Các tính toán giải tích
2.4.1.Xác định hàm và lệnh map
	Hàm 1 biến:
> f:=x->a*x^2+b*x+c;
> f(2);
	Với hàm nhiều biến:
> g:=(x,y,z)->x^2+y^2-z^2;
> g(3,4,5);
	Hàm từng đoạn có thể định nghĩa bởi lệnh piecewise(), cấu trúc được minh họa qua ví dụ sau:
> f:=piecewise(x<0,1,x<1,x,x<2,3-x,sin(x)+2);
	Lệnh map thường dùng để xác định giá trị của 1 hàm tại một dãy các giá trị của biến
> f:=x->x^2-x+1;
> lst:=[-2,-1,-1/2,0,1,2,3/2,4];
> map(f,lst);
 2.4.2.Các phép tính toán cơ bản
	 Tìm giới hạn
Ví dụ: Tính , , 
> limit(exp(x),x=-infinity);
> limit(exp(x),x=infinity);
> Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity);;
> limit(1/x,x=0);
 Tính đạo hàm
	Lệnh diff hoặc D cho phép tính đạo hàm của hàm 1 biến hoặc đạo hàm riêng. Cú pháp được minh họa qua các ví dụ sau:
> diff(7*x^2 + 4*x^3, x); diff(5*x^2 - Pi*x^3, x);
> g:=x->x^2-exp(x)+sin(x);
> D(g);
 Tích phân
	• Tính tích phân bất định bằng lệnh int(hàm, biến).
> int(x^2-x+2,x);
> Int(x^2-x+2,x);
> value(%);
	• Tính tích phân xác định int(hàm, miền).
> restart;
> f:=x->x-2*sin(x)+1;
> int(f,-5..8);
2.5. Vẽ hình trong hệ tọa độ Descartes
2.5.1 Lệnh plot và plot3d để vẽ đồ thị hàm hiện và tham số
	• Lệnh vẽ hình đơn giản và thông dụng nhất là plot (trong mặt phẳng) và plot3d (trong không gian 3 chiều). Các lệnh này nằm trong phần nhân của Maple. Cú pháp:
plot(f(x),x=a..b,options) và plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,options).
> ?plot
> plot(x*sin(3*x),x=0..2*Pi);
	Chú ý rằng lệnh trên vẽ đồ thị hàm y = x sin3x với x từ 0 đến π . Tương tự lệnh sau vẽ đồ thị hàm z = f(x, y ) trong miền chỉ ra:
> plot3d(x*sin(3*y),x=-1..1,y=0..Pi);
	Kích chuột trên hình vẽ, ta có thể quay hình vẽ để xem bằng các góc độ tùy ý. Trên thanh công cụ mới, có các tùy chọn để xem. Hãy sử dụng!
	• Có thể vẽ nhiều đồ thị trong cùng một