Chuyên đề Lượng giác ôn thi đại học

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
Câu 1. [ĐVH]: Cho góc piα pi;
2
− 
∈ − 
 
 thỏa mãn: 1sin α
5
= . Tính 
2cot 2α tan α
pi
sin α
2
A −=
 
− 
 
. 
Lời giải: 
Ta có: 2 2 4cos α 1 sin α
5
= − = . 
Do piα pi;
2
 
∈ − − 
 
 nên 2 1cosα tan α
25
= − ⇒ = − . 
Mặt khác 
2
111 tan α 14tan α 5 52 tan α 1 2
2cosα 8
5
A
−
− −
+ +
−
−
= = =
−
. 
Vậy 5 5
8
A −= là giá trị cần tìm. 
Câu 2. [ĐVH]: Cho 24 tan 4 tan .sin 1x x x− = . 
Tính giá trị của biểu thức 22 sin 2 cos 2P x x= + − với 
2
x kpi≠ + pi 
Lời giải 
Từ giả thiết, ta có: ( )2 2 24 tan 4 tan .sin 1 4 tan 1 sin 1 4 tan .cos 1 2sin 2 1x x x x x x x x− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = 
Do đó, suy ra ( )2 2 2 62 sin 2 cos 2 2 sin 2 1 sin 2 1 2sin 2 2P x x x x x= + − = + − − = + = . 
Câu 3. [ĐVH]: Cho góc x thỏa mãn cos 2 6 sin 5cosx x x+ = + . 
Tính giá trị của biểu thức 
4
22cos 5 2cos 5cos sin
2sin 1
xB x x x
x
− 
= + − − + 
. 
Lời giải. 
Ta có 2 22cos 1 6 sin 5cos 2cos 5cos sin 5x x x x x x− + = + ⇔ − − = − . 
Lại có 2 2cos sin 6 5cos sinx x x x− + = + 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
4cos 4sin 24 20cos 4sin
4cos 20cos 25 4sin 4sin 1
2cos 5 2sin 1 2cos 5 2sin 1
x x x x
x x x x
x x x x
⇔ − + = +
⇔ − + = + +
⇔ − = + ⇒ + = +
Do đó 1 5 4B = − = − . 
Câu 4. [ĐVH]: Cho 3;
2 4
x
pi pi 
∈ 
 
 và tan 5 1.
cot 5 1
x
x
−
=
+
 Tính 2 2sin tan cos cot sin 2 .P x x x= + + 
Lời giải: 
Ta có 
( )22 23 3 4 4 2 2 sin cossin cos sin cos 2sin cos 22sin cos
cos sin sin cos sin cos sin 2
x xx x x x x xP x x
x x x x x x x
++ +
= + + = = = (1) 
DỰ ĐOÁN CÂU LƯỢNG GIÁC TRONG KÌ THI THPTQG 2015 
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Bài ra có ( ) ( )22 2 22tan 5 1 5 1 sin 5 1tan 5 1 sin 5 1 coscot cos5 1 5 1 5 1x xx x xx x− − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = −+ + + 
( )2 2 2 2 1sin cos cos sin 5 1 5 cos 2 cos 2
5
x x x x x x⇔ + = − ⇔ = ⇔ = 
2 2
2 2 1 2 2sin 2 1 cos 2 1 1 sin 2 .
5 5 5
x x x
   
⇒ = − = − = ⇒ = ±   
   
Mà 3 3 2; 2 ; sin 2 0 sin 2 .
2 4 2 5
x x x x
pi pi pi
pi
   
∈ ⇒ ∈ ⇒ < ⇒ = −   
   
 Thế vào (1) ta có 2 5.2
5
P = = −
−
Đ/s: 5.P = − 
Câu 5. [ĐVH]: Cho ;
2
x
pi
pi
 
∈ 
 
 và 4sin .
5
x = Tính 
3 5
5
sin sin 2 2cos 2cos
.
sin cos 2 sin
x x x xP
x x x
− +
=
+
Lời giải: 
Ta có 
( )
( ) ( )
3 2 2 3 2
2 2 5 2 3 2
sin .2sin cos 2cos 1 cos 2sin cos 2cos sin
sin cos sin sin sin cos sin 1 sin
x x x x x x x x xP
x x x x x x x x
− −
−
= =
− + − −
( )
( )
2 2 2 2 4 3
2 3 2 2 2 32 2
2sin cos 1 cos 2sin cos sin 2sin cos 2sin
sin cos sin cos sin cos cos cossin cos 1 sin
x x x x x x x x x
x x x x x x x xx x x
−
= = = =
−
−
 (1) 
Bài ra có 
2 2
2 24 4 3 3sin cos 1 sin 1 cos .
5 5 5 5
x x x x
   
= ⇒ = − = − = ⇒ = ±   
   
Mà 3; cos 0 cos .
2 5
x x x
pi
pi
 
∈ ⇒ < ⇒ = − 
 
 Thế vào (1) ta có 
34
12852 .3 27
5
 
 
= − 
 
−
 
Đ/s: 128 .
27
P = − 
Câu 6. [ĐVH]: Cho góc α thỏa mãn 1tan
2
α = . Tính 3
pi2 sin α
4
cos α
A
 
+ 
 
= 
Lời giải 
Ta có: ( )2 23 3 2 2
pi2 sin α
sinα cosα sin α 1 14
. tan α 1 tan α 1 tan α
cos α cos α cosα cos α cos α
A
 
+  + 
= = = + = + + + 
Vì 1 15tan
2 8
Aα = ⇒ = 
Câu 7. [ĐVH]: Cho góc α thỏa mãn: 
2
pi
α pi< < và 5sin
3
α = . Tính 3
tan sin
sin
A α α
α
−
= 
Lời giải 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Ta có: ( ) ( ) ( )3 3 2
sin
sintan sin 1 cos 1 cos 1cos
cos 1 cos 1 cos cos 1 cossin sin cos .sin
A
α
α
α α α αα
α α α α αα α α α
−
− − −
= = = = =
− + +
2 2 4cos 1 sin
9
α α= − = 
Vì ;
2
pi
α pi
 
∈  
 
 nên ( )
2 1 9
cos 0 cos
3 cos 1 cos 2
Aα α
α α
< ⇒ = − ⇒ = = −
+
Câu 8. [ĐVH]: Cho góc α thỏa mãn 3
2
pi
pi α< < và 2 2cos .
3
α = Tính 6 6 3sin cos sin .P α α α= + + 
Lời giải: 
Ta có ( )( )6 6 2 2 4 4 2 2sin cos sin os sin cos sin coscα α α α α α α α+ = + + − 
( )24 4 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos 3sin cos 1 3sin cos .α α α α α α α α α α= + − = + − = − 
Do đó 2 2 31 3sin cos sinP α α α= − + (1) 
Bài ra có 
2 2
2 22 2 2 2 1cos sin 1 cos 1
3 3 3
α α α
   
= ⇒ = − = − =       
 (2) 
Mà 3 sin 0.
2
pi
pi α α< < ⇒ < Khi đó từ (2) ta được 1sin .
3
α = − 
Thế 1sin
3
α = − và 2 2cos
3
α = vào (1) ta có 
22 31 2 2 1 8 1 21 3 1 .
3 3 3 27 27 3
P
    
= − − + − = − − =         
Vậy 2 .
3
P = 
Câu 9. [ĐVH]: Cho góc piα ;pi
2
 
∈ 
 
 thỏa mãn: 4cosα
5
= − . Tính pi cosαtan α
4 1 sinα
A  = + +  + 
. 
Lời giải: 
Ta có: 2 2 2 2 9cos α sin α 1 sin α 1 cos α
25
+ = ⇒ = − = . 
Do piα ;pi
2
 
∈ 
 
 nên 3 sin α 3sin α tan α
5 cosα 4
= ⇒ = = − . 
Mặt khác 
4pi 3
tan α tan 1
cosα 554 4
pi 3 31 sin α 141 tan α. tan 1 1
4 4 5
A
−+ − +
= + = + = −
−+
− − +
. 
Vậy 5
14
A = − là giá trị cần tìm. 
Câu 10. [ĐVH]: Cho góc 3piα ;2pi
2
 
∈ 
 
 thỏa mãn: 1sin α
10
−
= − . Tính tan 2α
1 cot α
A =
+
. 
Lời giải: 
Ta có: 2 22 2
1 11 cot α cot α 1 9
sin α sin α
+ = ⇒ = − = . 
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! 
Do 3piα ;2pi
2
 
∈ 
 
 nên 1 1cot α 3 tanα
cot α 3
= − ⇒ = = − . 
Mặt khác ( ) ( ) ( )
2
2
2 tan α 2
2 tan α 31 tan α 3
11 cotα 81 tan α 1 cot α 1 1 3
9
A
−
−
= = = = −
+  
− +
− − 
 
. 
Vậy 3
8
A = − là giá trị cần tìm. 
Câu 11. [ĐVH]: Cho góc piα ;0
2
 
∈ − 
 
 thỏa mãn: 3cos 2
5
α
−
= . Tính 
3 3
3
8cos α 2sin α cosα
2cosα sin α
A − +=
−
. 
Lời giải: 
Ta có: 2 2 2
311 cos 2α 1 15cos α tan α 1 4
2 2 5 cos α
−+
= = = ⇒ = − = . 
Do piα ;0
2
 
∈ − 
 
 nên tan α 2= − . 
Mặt khác ( )
3 3
2
3
3
2
18 2 tan α 8 2. 2 5 29cos α
1 2.5 ( 2) 182 tan α
cos α
A
− +
− − +
= = =
− − 
− 
 
. 
Vậy 29
18
A = là giá trị cần tìm. 
Câu 12. [ĐVH]: Cho 8 5sin ; tan
17 12
a b= = với ,a b là các góc nhọn. 
Tính giá trị của biểu thức ( ) ( )sin .cosP a b a b= − + 
Lời giải 
Với giả thiết ,a b là các góc nhọn và 
2
28 8 15sin cos 1 sin 1
17 17 17
a a a
 
= ⇒ = − = − = 
 
2
2
2
5 1 5 169 12 5
tan 1 tan 1 cos sin
12 cos 12 144 13 13
b b b b
b
 
= ⇒ = + = + = ⇔ = ⇒ = 
 
Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 22940sin .cos sin .cos sin .cos cos .cos sin .sin 221P a b a b a b b a a b a b= − + = − − = 
CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI 2015