Chuyên đề Khảo sát hàm số: Hướng dẫn và đáp án

ị hàm số: 
2 3 6
1
x x
y
x
 


 (C1) Ta có: y≥0  (C1) ở phía trên Ox. 
 1
nếu ( 1)
nếu ( 1)
y x
y
y x

 
 
 Suy ra cách vẽ (C1) như sau: 
 - Phần của đồ thị (1) ứng với x > 1 trùng với (C1). 
 - Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng 
của phần này qua trục Ox ta được (C1). 
 c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C). 
 Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có). 
- Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx. 
 - Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: 
 
2
2
2
3 6
(1)
1
2 3
(2)
1
x x
kx
x
x x
k
x
  



  
 
 Thay (2) vào (1): 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  33 
 
2 2
2
2
3 6 4 6 93 6 ( 2 3)
6 3 0
1 1 3 6 4 6 9
x kx x x x x
x x
x x x k
       
       
        
 Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thị (1). 
 Tọa độ tiếp điểm là: 
13 6 3 6 3 (3 6,3 6 3)x y M        
 23 6 3 6 3 (3 6, 3 6 3)x y M          
Câu 28: Cho hàm số: 3
1
y x x m (1)
3
   
 1) Khảo sát hàm số (1) khi 
2
m
3
 
 3
1 2
y x x (C)
3 3
   TXD: D = R 
2y' x 1
x 1
y' 0
x 1
y'' 2 x
2 2
y'' 0 x 0 y điểm uốn I(0, )
3 3
 
 
   

     
 BBT: 
 Đồ thị: 
 Cho 
x 2, y 0
4
x 2, y
3
  
  
 2) Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt: 
 Đồ thị (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. 
3
3
1
x x m 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
1 2 2
x x m (*) có 3 nghiệm phân biệt.
3 3 3
   
     
 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d). 
 Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  34 
2 4
0 m
3 3
2 2
m
3 3
    
   
Câu 29 : 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
2
 ( )
2
x x
y C
x



 TXĐ :  \ 2D R 
2
2
4 2
'
( 2)
2 6
' 0
2 6
x x
y
x
x
y
x
 


  
  
 
 Tiệm cận đứng : 
 x = 2 vì 
2
lim
x
y

  
 Ta có :
6
3
2
y x
x
  

 Tiệm cận xiên: 
 y = x + 3 vì 
6
lim 0
2x x


 BBT: 
 Đồ thị : 
 Cho x = 0 , y = 0 
 x = 1 , y = -2 
X
Y
O
(C)
 2) Xác định b để ( ) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  35 
 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại O. 
1
'( ).
2
y f O x y x    
 ( ) qua B(0, b) và song song (d) có dạng : 
1
( ) :
2
y x b    
 Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) và (C) : 
2
2 2
2
1
2 2
2 2 2 2 4
3 2 4 0
x x
x b
x
x x x x bx b
x bx b

  

      
   
 ( ) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt : ' 0   
 2 12 0 0 12b b b b       
 Toạ độ trung điểm I cuả MN : 
2
52 6 3
21
2
M Nx x b bx
x
y
y x b

  
 
   

 Vậy I nằm trên đường thẳng cố định có phương trình :
5
2
x
y  
Câu 30: 
 Cho hàm số :
2 2 2
1
x mx
y
x
 


 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1: 
2 2 2
1
x x
y
x
 


 TXĐ :  \ 1D R  
2
2
2
'
( 1)
x x
y
x



0
' 0
2
x
y
x




 
 
 Tiệm cận đứng : 
 x = -1 vì 
1
lim
x
  
 Ta có:
1
1
1
y x
x
  

 Tiệm cận xiên : 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
1x x


 BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  36 
 Đồ thị: 
X
Y
O
(C)
 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực đại và điểm 
cực tiểu đến đường thẳng: x + y + 2 = 0 bằng nhau. 
 Ta có:
2 2 2
1
x mx
y
x
 


2
2
2 2 2
'
( 1)
x x m
y
x
  


 2' 0 2 2 2 0y x x m      (1) 
 Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
3
' 3 2 0
2
m m       
 Toạ độ điểm CĐ 1 1 1( , )M x y và điểm CT 2 2 2( , )M x y cho bởi: 
1
1 1 1
1
2
2 2 2
2
'( )
1 3 2 2 2
'( )
'( )
1 3 2 2 2
'( )
u x
x m y x m
v x
u x
x m y x m
v x






       
       
 Gọi (D): x + y +2 = 0, ta có:    1 2, ,d M D d M D 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  37 
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
( )
4( 1)
3
4( 1) 1
2
3 2
x x m x x m
x m x m
x m x m
x m x m
x x loại
m
x x
m
m







     
 
     
    

     

  
 
 
    
 So với điều kiện 
3
2
m  nhận 
1
2
m  
 ĐS : 
1
2
m  
Câu 31: 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
 3 26 9y x x x   (C) 
 TXĐ : D = R 
2' 3 12 9
1
' 0
3
" 6 12
y x x
x
y
x
y x
  

   
 
 " 0 2 2y x y      điểm uốn (2, 2) 
 BBT: 
 Đồ thị: 
4321O X
Y
2
4
(C)
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  38 
 2) a) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị 1( )C của hàm số: 
3 2
1 6 9y x x x   
 Ta có: 
3 2
1 16 9 ( )y x x x y f x     
 Đây là hàm số chẵn nên đồ thị 1( )C nhận Oy làm trục đối xứng. 
3O X
Y 4
-3
(D)
 Do đó đồ thị 1( )C suy từ (C) như sau: 
 - Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên. 
 - Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của 
(C) qua trục Oy. 
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
3 2
3 2
6 9 3 0
6 9 3
x x x m
x x x m
    
    
 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 1( )C và đường thẳng d: y = 3 – m Số 
giao điểm của 1( )C và d là số nghiệm của phương trình. 
 Biện luận: 
 3 0 3m m    :vô nghiệm 
 3 0 3m m    : 3 nghiệm 
 0 3 4 1 3m m       : 6 nghiệm 
 3 4 1m m     : 4 nghiệm 
 3 4 1m m     : 2 nghiệm 
Câu 32 : 
1) a) Khảo sát hàm số: 
2 1
1
x x
y
x
 


 TXĐ :  \ 1D R 
2
2
2
'
( 1)
0
' 0
2
x x
y
x
x
y
x







 

 Tiệm cận đứng: 
x = 1 vì 
1
1
lim
1x x
 

 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  39 
 Ta có:
1
1
y x
x
 

 Tiệm cận xiên: 
 y = x vì 
1
lim 0
1x x


 BBT: 
 Đồ thị : 
X
Y
O
(C)
1 2
1
I
-1
3
 b) Xác định 1 1( , ) ( )A x y C với 1 1x  sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm hai 
đường tiệm cận nhỏ nhất. 
 Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận: 
 1 1 (1,1)x y I    
 1 1 1 1
1
1
( , ) ( )
1
A x y C y x
x
   

 Ta có : 2 2 21 1( 1) ( 1)AI x y    
2
2
1 1
1
1
( 1) 1
1
x x
x
 
 
 
    

2 2 2
1 12 2
1 1
1 1
2( 1) 2 2 2( 1) . 2
( 1) ( 1)
2 2 2 2( 2 1)
AI x x
x x
       
 
   
  Min 2 2( 2 1)AI   khi : 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  40 
2 4
1 12
1
1 4
1 4
4
1 4
1 4
1 1
2( 1) ( 1)
2( 1)
1
1
2
1
1
12
2
1 21 ( )
2
x x
x
x
x
y
x loại






    

   
 
   
 
 Vậy : 4
4 4
1 1
1 , 2
2 2
A
 
 
 
  thì Min 2( 2 1)AI   
 2) Tìm tập giá trị của 
2
3
1
x
y
x



 và các tiệm cận của đồ thị hàm số đó: 
 Miền xác định R. 
 
2 2
1 3
'
( 1) 1
x
y
x x


 
 , 
1
' 0
3
y x   
 Bảng biến thiên: 
 Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận: 
 Miền giá trị của hàm số : ( 1, 10} 
 Đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang: 1 1y y    
CÂU 33: 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2 2 2
1
x x
y
x
 


 TXĐ: D = R\{1} 
2 2
'
2( 1)
0
' 0
2
x x
y
x
x
y
x




   
 Tiệm cận đứng: 
 x = 1 vì lim
1x
 

 Ta có: 
1
3
1
y x
x
  

 Tiệm cận xiên: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  41 
 y = x + 3 vì 
1
lim 0
1xx


 BBT: 
 Đồ thị: 
 2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm 
cận là nhỏ nhất. 
 Giao điểm của 2 đường tiệm cận là: I(1,4) 
Gọi 
1
1 ,4 ( )M a a C
a
 
    
 
 Xét a > 0 
Ta có: 
21 1 12 2 2 22 2 2 2 . 2
2 2
2 2 2
2 2 2
IM a a a a
a a a
IM
 
        
 
 
  
 min( ) 2 2 2IM   khi 
1 12 42
2 2
a a
a
   
1 1 1 41 ,4 2
4 4 42 2 2
a M
 
       
 
 Do tính đối xứng nên có 2 điểm M thoả điều kiện bài toán: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  42 
1 1 41 ,4 2
1 4 42 2
1 1 41 , 4 2
2 4 42 2
M
M
 
    
 
 
    
 
CÂU34: 
Cho hàm số:
2 1
1
x mx
y
x
 


 Tìm m để tiệm cận xuyên cắt các trục toạ độ tại A, B sao cho: 
 18OABS  
Ta có: 1
1
m
y x m
x
   

  TCX: y = x + m + 1 vì lim 0
1
m
xx


 TCX cắt Ox tại A: y = 0 suy ra x = -m-1 
  A(-m-1, 0) 
 TCX cắt Oy tại B: x = 0  y = m + 1 
  B(0, m+1) 
1
. 18
2
S OAOB
OAB
   
 
1 . 1 36
521 36
7
m m
m
m
m
    

      
CÂU 35: 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 
 3 26 9 4y x x x     
 TXĐ: D = R 
2' 3 12 9
1
' 0
3
'' 6 12
y x x
x
y
x
y x
   

   
  
 '' 0 2 2y x y      điểm uốn (2, 2). 
 BBT: 
 Đồ thị: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  43 
 Cho x = 0, y = 4 
 x = 4, y = 0 
 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng nhau qua 
điểm I(0, 4) 
 Ta có:    3 23 1 3 2 1 4y x m x m x       
   
   
 
3' 3 6 1 3 2 1
3' 0 3 6 1 3 2 1 0
2 2 1 2 1 0 (1)
y x m x m
y x m x m
x m x m
     
       
     
 Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0   
 2 21 2 1 0 0 0
1 3 3
1 1
32 1 4 3 3
2 2
m m m m
x y m
x m y m m
        
    

      

 Tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là: 
 3(1, 3 3), (2 1,4 3 3)
1 2
M m M m m m     
1
M Và 
2
M đối xứng nhau qua I  I là trung điểm 
1
M
2
M 
  
0 2 2 01 2
38 4 3 3 3 3 81 2
11
33 1 4 4 2 04 6 2 0
x x m
y y m m m
mm
m m mm m
    
  
       
   
  
       
 1m   (nhận) 
 ĐS: 1m   
CÂU 36: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  44 
 Cho hàm số 
22 (6 )
2
x m x
y
mx
 


 1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 
 Ta có: 
 
22 8 12 2
'
22
mx x m
y
mx
  


2' 0 2 8 12 2 0
2 4 6 0 (1)
y mx x m
mx x m
     
    
 Hàm số đạt cực đại và cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
 
00
4 6 0' 0
0 0
2 3 5 3 56 4 0
mm
m m
m m
m mm m
 
  
     
  
  
       
 Vậy: 3 5 3 5m m     và 0m  thì hàm số có cực đại, cực tiểu 
 2) Khảo sát hàm số khi m = 1: 
22 5
( )
2
x x
y C
x



 TXĐ: D = R\ {-2} 
 
22 8 10
' 0 2
22
x x
y x
x
 
   

  Hàm số tăng trên từng khoảng xác định. 
 Tiệm cận đứng : 
x = -2 vì lim
2
y
x
 
 
 Ta có: 
2
2 1
2
y x
x
  

 Tiệm cận xiên: 
y = 2x + 1 vì 
2
lim 0
2xx


 BBT: 
 Điểm đặc biệt: 
 Đồ thị: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  45 
 3) Chứng minh rằng tại mọi điểm của (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt 2 tiệm cận một 
tam giác có diện tích không đổi. 
 Đổi trục bằng tịnh tiến theo véc tơ ( 2, 3)OI   

2
3
x X
y Y
 
 
 
 Thay vào 
2
2 1
2
y x
x
  

2 2
3 2 3 2Y X Y X
X X
        
2
' 2
2
Y
X
   
 Gọi 
2
( , ) ( ) 2
0 0 0 0 0
0
M X Y C Y X
X
    
 Phương trình tiếp tuyến tại 
0
M : 
 '( )( )
0 0 0
Y f X X X Y   
 2 22 20 02
00
2 4
2
2
00
Y X X X
XX
Y X
XX
 
      
 
 
 
 
    
 
 
 
 TCĐ: X= 0 
 TCX: Y= 2X 
 Giao điểm với tiệm cận đứng: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  46 
4 4
0 0,
0 0
X Y A
X X
 
      
 
 
 Giao điểm với TCX: 
 
2 4
2 2 2 4
0 02
00
2 , 4
0 0
X X X X Y X
XX
B X X
 
       
 
 
 

1 1 4
2 4
02 2
0
S X Y X
IAB B A X

   (không đổi) 
CÂU 37: 
 1) Cho hàm số: 3 23( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x      
 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=0 
 3 23 1y x x   
 D = R 
 2' 3 6 3 2
0
' 0
2
'' 6 6
'' 0 1 3
y x x x x
x
y
x
y x
y x y
   

    
 
     
  Điểm uốn (-1, 3) 
 BBT: 
 Đồ thị: 
 Cho 
1 5
3 1
x y
x y
  
   
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  47 
 b) Với giá trị nào của a thì hàm số đồn biến với 1 2x  
 Ta có: 
   
   
3 23 1 3 2 1
2' 3 6 1 3 2
y x a x a a x
y x a x a a
     
    
Hàm số đồng biến với 1 2x  
 ' 0y  với 1 2x  
    2 2 1 2 0x a x a a      với : 2 1 1 2x x       
 BXD: 
 ' 0y  với 2 1 1 2x x       
1 2 1
1 1
a a
a a a
    
     
 Vậy hàm số đồng biến trong 1 2x  với mọi a 
 2) Tìm m để đồ thị 2 3 3
m
y x x
x
    có 3 điểm cực trị. 
 Ta có: ' 2 3
2
m
y x
x
   
 Hàm số có 3 cực trị  y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt. 
 3 22 3 0x x m    có 3 nghiệm phân biệt. 
 Xét hàm số   3 22 3g x x x m   
 
 
2'( ) 6 6
0
' 0
1 1
cđ
g x x x
x y m
g x
x y m
CT
  
   
 
    

 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  48 
 g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt . 0y y
ct
 
cđ
  1 0 1 0m m m       
 Vậy đồ thị có 3 điểm cực trị khi: -1 < m < 0 
 Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường cong chứa 3 điểm cực trị: 
  
1 3 3 3 3
' . .
22 4 4 2 4
m m
y f x x
x x
 
     
 
 Tọa độ các điểm cực trị thỏa hệ: 
   
 
2 3 1' 0
2
3 3 3
. . 3 3 3
2 . . 24 2 4
24 2 4
m
xf x
x
m m
y m m
yx x x x

  
 
 
       
 Khử m ta có: 
 22 3 2 3
2
m m
x x x
xx
     
 Thay vào (2) ta được : 
    3 3 322 3 2 34 2 4y x x x     
 
23 6 3
23 1
y x x
y x
   
  
 Vậy 3 điểm cực trị ở trên đường cong có phương trình: 
  23 1y x  
Câu 38 : 
1) Vẽ đồ thị hàm số: 2 2 2 2( 1) 4y x x x x      
2 2 2
2 2
2
( 1)
1
x-1 nếu x -1 x 1
-2x +x+1 nếu -1 x 1
y x x x
y x x x
y



     
     
  
 
 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  49 
2) Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
1
3
x
y
x



 với trục hoành 
biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = x + 2001. 
Gọi (d): y = x + 2001 
 ( ) : y x b    là tiếp tuyến  (d) 
 ( ) Tiếp xúc (C) 
2
1
b (1)
3
4
-1 (2)
( 3)
x
x
x
x






  





2 1(2) ( 3) 4
5
x
x
x




   

Thay vào (1): 1 0x b   
 5 8x b   
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -x hay y = -x + 8 
Suy ra giao điểm với trục hoành là O(0, 0), A(8, 0). 
Câu 39 : 
Cho hàm số :
2 3 2( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
    


 ( )mC 
1) Khảo sát hàm số đã cho với m = 0: 
2 2 2x
y x
x x

   
 TXĐ:  \ 0D R 
2
2
' 1 0,y x
x
    
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng định . 
TCĐ: x = 0 vì 
0
lim
x
y

  
TCX: y = x vì 
2
lim 0
x x
 
 BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  50 
 Điểm đặc biệt: 
2, 0
1, 1
1, 1
x y
x y
x y
  
  
  
 Đồ thị: 
2) Định m để hàm số ( )mC luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. 
Ta có:
2 3 2( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
    


2 3 2
2
( 1) 2 ( 1) 2
'
( )
m x m m x m m
y
x m
     


Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
2 3 2
2 2 3 2
' 0,
( 1) 2 ( 1) 2) 0,
1 0
' 0
1
( 1) ( 1)( 2) 0
y x m
m x m m x m m x m
m
m
m m m m m






   
         
 

 
 

     
1 1
2( 1) 0 1
m m
m m
 
 
 
   
 
    
 ( vô nghiệm ) 
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định 
của nó. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  51 
Câu 40 : 
1) Khảo sát hàm số:
2 5
2
x x
x
y
 

 (C) 
 TXĐ:  \ 2D R 
2
2
'
1
' 0
3
4 3
( 2)
y
x
y
x
x x
x


   
 

 Tiệm cận đứng: x = 2 vì 
2
lim
x
  
Ta có: 
1
3
2
y x
x
  

 Tiệm cận xiên: y = x + 3 vì 
1
lim 0
2x x


 BBT: 
 Đồ thị: 
Cho 
5
0
2
x y   
2) Chứng minh rằng tích khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ trên (C) đến các đường tiệm 
cận là 1 hằng số. 
Gọi 0 0 0 0
0
1
( , ) ( ) 3
2
M x y C y x
x
    

TCĐ: x –2 = 0 
TCX: x – y + 3 = 0 
Ta có: 0 0 0
2 3
( , ). ( , ) .
1 2
x x y
d M TCĐ d M TCX
  
 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  52 
 00
1
2 1
2 .
2 2
x
x


   = hằng số 
3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) 1 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất: 
Gọi
1
(2 ,5 )A a a
a
   ( a > 0) và 
1
(2 ,5 )B b b
b
   (b > 0) là hai điểm thuộc 2 nhánh của 
(C). 
Ta có: 2 2 2
1 1
( ) ( )AB b a b a
b a
      
2
2 2
2
2 1 2 1 4( ) ( ) 1 4 4 1 8 8
4 4
8 8 8 2 8 . 8 8 2
b a b a ab ab ab
ab ab aba b
ab ab
ab ab
   
              
   
      
 khi: 
2 2
4 4
4
2 2(1 2)
min( ) 2 2(1 2)
4 1
8
2
1 1
2 2
AB
AB
a b a b
ab a b
ab
a b a b
  
  
  
 
 
  
     
Vậy: 4
4 4
1 1
2 ,5 2
2 2
A
 
   
 
 4
4 4
1 1
2 ,5 2
2 2
B
 
   
 
Câu 41: 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
2x
y (C)
x 1


 TXĐ: D = R\{1} 
2
2
x 2 x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2




   
 Tiệm cận đứng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta có: 
1
y x 1
x 1
  

 Tiệm cận xiên: 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
x 1x


 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  53 
 BBT: 
 Đồ thị: 
 2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới 
(C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 450. 
 - Gọi M(a, 4)  đường thẳng y = 4, ta có đường thẳng y = 4 là tiếp tuyến kẻ từ M 
đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 450 
  Hệ số góc tiếp tuyến tại M0(x0, y0)  (C) là f’(x0) = ± 1 
2
0 0
0 2
0
2
0 0
0 2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2 x
f'(x ) 1 =1 (vô nghiệm)
(x 1)
x 2 x
f'(x ) 1 = 1 
(x 1)
2
x 1
22 x 4 x 1 0
2
x 1
2
3 2
y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 
   

 


 


 

 Phương trình tiếp tuyến tại M0 là: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  54 
0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   
    
 
    
 (d1) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 (d2) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán. 
 1 2M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    
Câu42: 
1) Khảo sát hàm số: 
 y= 3 3x x (1) 
TXĐ: D = R 
 y’= 23 3x  
 11y'=0 
x
x

 
 y”=6x 
 y”=0  x=0 =>y=0 
 => điểm uốn O(0, 0) 
BBT: 
Đồ thị: 
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị (1) 
tại 1 điểm cố định A: 
* Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố định A(-1, 2). 
Thay A(-1, 2) vào (1) th