Chuyên đề Hình học không gian thi vào lớp 10

Ix. Hình học không gian :
1.Kiến thức cần nhớ :
Hình
Diện tích xung quanh
Diện tích toàn phần
Thể tích
- Lăng trụ đứng : Hình có các mặt bên là những hình chữ nhật , đáy là một đa giác 
- Lăng trụ đều : Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều 
- Hình hộp chữ nhật : Hình có sáu mặt là những hình chữ nhật
- Hình lập phương : Hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau 
p- nửa chu vi đáy
h- chiều cao
Sxq=2(a+b)c
a,b, c – các cạnh của hình hộp chữ nhật 
Sxq = 4a2
a- cạnh của hình lập phương 
Stp=Sxq+2Sđáy 
Stp= 2(ab+bc+ac)
Stp=6a2
V= S.h 
S – Diện tích đáy 
h – Chiều cao 
V = abc
V= a3
Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là đa giác đều , các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh 
Sxq= pd
p- nửa chu vi đáy 
d- chiều cao của mặt bên 
 ( Trung đoạn )
Stp= Sxq +S đ
V= Sh
S: Diện tích đáy
h: Chiều cao 
Hình trụ
Sxq = 2rh
STP=2rh+2r2
V = r2h 
 Hình nón 
Sxq = 2rl
Stp = 2rl+ r2
V=r2h 
Hình cầu 
S = 4r2
V=
Trong không gian . Dưới các góc nhìn khác nhau các đoạn thẳng , góc có số đo bằng nhau có thể có độ dài khác nhau . Do vậy khi vẽ hình ta lựa chọn góc nhìn phù hợp để vẽ sao cho hình làm nổi bật các đặc điểm và các yếu tố ta đang xét . Tuy vậy không được thay đổi tỷ số củ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng vì dưới các góc nhìn khác nhau tỷ số này vẫn được bảo toàn 
Một trong những cách để đơn giản hoá bài toán trong không gian là đưa nó về xét bài toán hằnh học phẳng 
Trong không gian hai đườngthẳng không có điểm chung khôngcó nghĩa là chúng song song với nhau như trong hình học phẳng ( Để song song chúng phải cùng nằm trên một mặt phẳng )
2. Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1: Một khối gỗ hình lập phương được đục một lỗ xuyên qua hai mặt đối nhau của hình lập phương có các kích thước cho trên hình vẽ
60cm
6cm
 Tính thể tích và diện tích tất cả các mặt của khối gỗ 
Giải :
 Thể tích của hình lập phương lớn là : 
Thể tích của lỗ đục ( Là một hình hộp chữ nhật là )
Thể tích của khối gỗlà : 
Diện tích tất cả các mặt của khối gỗ là : 
 S= 6 . 602 +4.6.60 -2.6.6 = 23016 cm2
Ví dụ 2 : Tính thể tích và diện tích toàn phần của một hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông cạnh 6cm . Đáy nhỏ là hình vuông cạnh bằng 3 cm . Đường cao bằng 4 cm 
Giải :
giả sử các cạnh bên của hình chóp cắt nhau tại S . 
Gọi H và H’ lần lượt là tâm đường trong ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A’B’C’D’
Thì S , H ,H’ thẳng hàng và SH , SH’ lần lượt làcác đường cao của các hình chóp S.ABCD và S.A’B’C’D’
GọiP là trung điểm của BC, P’ là trung điểm của B’C’
Ta có SP và SP’ là các trung đoạn Của các hình chópđều S.ABCD và S.A’B’C’D’ 
 Xét tam giác SHP vuông tai H nên : SP =( cm )
Vì B’C’BC và nên B’C’ là đường trung bình của 	
Do đó : SH’= (cm ) và SP’ =
Thể tích của hình chóp S. ABCD là : 
Thể tích của hình chóp S.A’B’C’D’ là :
Thể tích của hình chóp cụt là : V = V1-V2 = 48-6 = 42 (cm3) 
Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là : 
Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Cho hình này quay quanh trục MN .
 a ) Hình vuông ABCD và hình tam giác DMC quay quanh trục MN sinh ra hình gì ?
 b) Chứng tỏ rằng tỷ số thể tích các hình này không phụ thuộc vào a ?
Giải: 
Khi hình vuông ABCD quay quanh MN tạo thành hình trụ có là đường tròn tâm M ,N ; bán kính 
Đường sinh AD = a
Khi tam giác DMC quay quanh MN tạo thành hình nón có đáy 
Là , đường cao MN = a
Thể tích của hình trụ là : 
Thể tích của hình nón là :
Tỷ số thể tích của hai hình là : Không phụ thuộc vào a 
3. Bài tập tự luyện : 
Bài 1 : Tính thể tích , diệntích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đềucó đáy là tam giác đều cạnh a và trung đoạn là l .
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a
Tính thể tích và diện toàn phần của hình chóp
Ta gọi hai cạnh không có chung đỉnh nào của hình chóp là hai cạnh đối nhau .
Chúng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối vuông góc với nhau từng đôi một và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O; R ) đường kính AB . Từ A và B kẻ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn . Trên Ax lấyđiểm M sao cho AM = . QuaM kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt By tại N . Tình thể tích giới hạn bởi nửa đường tròn tâm O và hình thang vuông ABMN khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh MN 
Bài 4 : Cho tamgiác đều ABC cạnh a có Olà tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Cho tam giác AOBquay quanh OA .Hãy tính diện tích của hình được sinh ra .
Bài 5 :Cho hình chóp tam giác S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung diểm của SA và BC . Chứng minh rằng : AC và MN không thể cùng nằm trong một mặt phẳng 
Hướng dẫn giải:
Bài 1 : Từ tam giác ABC đều tính được AM = ; OM = 
 Từ đó tính được SO = 
 Từ đó tính được 
Bài 2 : a) Tương tự bài 1 với l = 
b) Vì các cạnh của hình chóp,đều bằng nhau 
nên ta chứng minh được MNPQ là hình thoi 
Do vậy MP 
và Mp ; NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
Bài 3 : Nửa đường tròn quay quanh AB tạo ra khối cầu tâm O , bán kính R
- Hình thang vuông ABMN quay một vòng quanh AB tạo ra hình nón cụt 
Có bàn kính các đáy là AM, BN , đường cao là AB 
- Chứng minh vuông suy ra : CM . CN = CO2= R2
Mà AM = CM ; BN = CN nên AM .BN = R2 nên BN = 2R
Đường cao của hình nón đáy NB là h thì 
Thể tích của hình nón cụt là : 
A
B
C
H
O
Bài 4 : Vì tam giác ABC đều nên AH = ; OH = 
Khi quay trọn một vòng quanh AO thể tích của hình được sinh ra bằng 
Thể tích của hình nón đường cao AH đáy là đường tròn đường kính BC trừ đi
Thể tích của hình nón có đường cao là OH có cùng đáy 
Do vậy : 
Bài 5 : Chứng minh bằng phản chứng 
S
A
B
C
M
N
 Giả sử MN và AC cùng thuộc một mặt phẳng 
Thì M nằm trong mặt phẳng đi qua A,C, N do đó A và M nằm trong mặt 
Phẳng đi qua (A, C ,N ) Nên S cũng nằm trong mặt phẳng này 
Mà B 
Vậy A , B , C , S cùng thuộc một mặtphẳng . 
Điều này mâu thuẫn với S.ABC là hình chóp 
Vậy AC và MN không thuộc cùng một mặt phẳng