Chuyên đề Hình học không gian

Max f x f
∈
 
= = 
 
Vậy MaxVSABC = 
3
9 3
a
, ñạt ñược khi sinϕ = 
1
3
 hay 
1
sin
3
arcϕ = ( với 0 < 
2
π
ϕ < ) 
Bài 8. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a, ñiểm M∈AD, 
E∈CD, AM = CE = .
4
a
 Gọi N là trung ñiểm của BM, K là giao ñiểm của AN và BC. Tính thể tích khối 
chóp SADK theo a và chứng minh rằng: (SKD)⊥ (SAE). 
 Giải 
+ VSADK =
1 1
. .
3 3ADK ADK
S SA S a∆ ∆= 
Mà : 
ADK ABCD ABK DCKS S S S∆ = − − 
= a2 - SABM - 
1
.
2
CK CD 
= a2 - 
1
.
2
AB AM - 
1 3
. .
2 4
a
a 
= a2 - 
1
. .
2 4
a
a - 
23
8
a
=
2
.
2
a

 VSADK=
2 31
. . .
3 2 6
a a
a = 
+ ( Lưu ý: Vì AM//BK nên theo hệ quả của ñịnh lý talet 
ta có 
NM NA AM
NB NK BK
= = . 
Mà N là trung ñiểm của BM NM=NB => NA=NK, AM=BK). 
+ Ta thấy tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE CDK∠ = ∠ . 
Mặt khác: 0 090 90 .DAE AED CDK AED AE DK∠ +∠ = => ∠ +∠ = => ⊥ 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
D'
A'
C'
B'
D
C
A
B
S
S'
Ta có: ( )
DK AE
DK SAE
DK SA
⊥
=> ⊥
⊥
, mà DK⊂ (SKD) => (SAE)⊥ (SKD). 
Bài 9. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ lần 
lượt là trung ñiểm của SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp 
S’A’B’C’D’. 
 Giải 
- (A’B’C’D’)// (ABCD). 
- ( ) ( ' ' ' ')SA ABCD SA A B C D⊥ => ⊥ 
- / / ' ' ( ' ' ' ')SA SA S A A B C D=> ⊥ 
VS’A’B’C’D’= ' ' ' '
1
. . ' '
3 A B C D
S S A . 
Mà: 
+ SA’=
1
2
SA=
2
a
+ A’B’C’D’ là hình vuông. 

 SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=
2
a
.
2
a
=
2
4
a
 => VS’A’B’C’D’ = 
1
3
.
2
4
a
.
2
a
= 
3
24
a
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn : Hocmai.vn 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Dạng 2: Chóp có mặt bên vuông góc với ñáy 
+ Cho chóp S.ABC có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Nếu kẻ SH vuông góc với AC (H 
thuộc AC) thì ( )SH ABC⊥ SH⇒ là chiều cao của khối chóp S.ABC 
+ Cho chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt ñáy. Nếu kẻ SH vuông góc AB (H thuộc AB) 
thì ( )SH ABCD SH⊥ ⇒ là chiều cao của khối chóp 
 Bài tập minh họa 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) 
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và 30oSBC
∧
= . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 2. Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 300, tam giác SBC ñều cạnh 
a, mặt bên (SBC) vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C ñến mặt 
phẳng (SAB). 
Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, A’C = 3a. 
Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ 
diện IABC. 
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, 
AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh BC. Tính 
theo a thể tích khối chóp A'.ABC. 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn: Hocmai.vn 
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối chóp thuộc khóa học Luyện 
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững 
kiến thức phần Thể tích khối chóp, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Dạng 2: Chóp có mặt bên vuông góc với ñáy (tiếp) 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =a 3 và mặt phẳng 
(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC. 
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN. 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích 
của khối tứ diện CMNP. 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc 
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng 
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng 
(ABC) là ñiểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 
bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác ñều và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn: Hocmai.vn 
BÀI GIẢNG SỐ 15. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối chóp thuộc khóa học Luyện thi 
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến 
thức phần Thể tích khối chóp, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc 0 090 , 30 , ( ) ( ).BAC ABC SAB ABC∠ = ∠ = ⊥ Tam giác SBC ñều cạnh a. 
Tính thể tích chóp S.ABC theo a.. 
Bài 2. Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt 
bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ. Tính thể tích chóp? 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt 
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ 
ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh 
huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o. Hãy tính thể tích 
của khối chóp S.ABC. 
Bài 5. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 , 060BAD∠ = , 
(SAB)⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính 
cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN. 
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy 
ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 . Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI⊥ SC. Tính 
thể tích khối chóp SABCD. 
Bài 7. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB) 
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30o, M là trung 
ñiểm của SC. Tính thể tích khối chóp SABM. 
Bài 8. Dự bị KA-2010: Chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BA=AC=a, 
( ) ( )SBC ABC⊥ , hai mặt bên còn lại hợp với ñáy 1 góc 600. Tính thể tích chóp S.ABC. 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn : Hocmai.vn 
 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Luyện 
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, 
củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp. ðể sử dụng hiệu quả, 
Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. 
 (Tài liệu dùng chung bài 14+15) 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc 0 090 , 30 , ( ) ( ).BAC ABC SAB ABC∠ = ∠ = ⊥ Tam giác SBC ñều cạnh a. 
Tính thể tích chóp S.ABC theo a.. 
 Giải: 
Ta có: 
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) sin 30
2
SAB ABC
a
SAB ABC AB AC SAB h AC BC
AC AB
⊥

∩ = ⇒ ⊥ ⇒ = = =
 ⊥
Do ( )AC SAB AC SA SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒
 vuông tại A nên ta có: 
2 2 3
2
a
SA AB SC AC= = − = 
Tam giác SAB cân tại S, M là trung ñiểm SB suy ra AM là ñường cao của tam giác này và: 
2
2 2 2 1 2( ) .
2 2 3 24SABC ABC
SB a a
AM SA V CA S= − = ⇒ = = 
Bài 2. Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt 
bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ. Tính thể tích chóp? 
 Giải: 
Kẻ , ( ) ( ) ( )SH BC SAC ABC SH ABC⊥ ⇒ ⇒ ⊥ 
Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB, BC 
0, 45 .SI AB SJ BC SIH SJH⇒ ⊥ ⊥ ⇒∠ = ∠ = 
Ta có: SHI SHJ HI HJ∆ = ∆ ⇒ = 
⇒BH là ñường phân giác góc ABC, nên H là trung ñiểm AC. 
Khi ñó: 
31
HI HJ SH= .
2 3 12SABC ABC
a a
V SH S= = ⇒ = = 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt 
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ 
ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
 Giải: 
Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung ñiểm O của mỗi ñường chéo. 
 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Luyện thi 
ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng 
cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn 
cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. 
 (Tài liệu dùng chung bài 14+15) 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do ñó 0A D 60B∠ = hay tam giác ABD ñều. 
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của 
chúng là SO ⊥ (ABCD) 
Do tam giác ABD ñều nên với H là trung ñiểm của AB, K là trung ñiểm của HB ta có DH AB⊥ và DH = 
3a ; OK // DH và 
1 3
2 2
a
OK DH= = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) 
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O 
ñến mặt phẳng (SAB). 
Tam giác SOK vuông tại O, OI là ñường cao ⇒ 
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + ⇒ = 
Diện tích ñáy 2D 4S 2. . 2 3ABC ABOS OAOB a∆= = = ; ñường cao của hình chóp 2
a
SO = . 
Thể tích khối chóp S.ABCD: 
3
. D D
1 3
.
3 3S ABC ABC
a
V S SO= = . 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh 
huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o. Hãy tính thể tích 
của khối chóp S.ABC. 
 Giải: 
Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC) 
Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC 
⇒góc SIH = góc SJH = 60o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ 
⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông 
⇒ I là trung ñiểm AB ⇒ IH = a/2 
Trong tam giác vuông SHI ta có 
3
2
a
SH = 
V(SABC) = 
31 3
.
3 12ABC
a
SH S∆ = (ñvdt) 
Bài 5. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 , 060BAD∠ = , 
(SAB)⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính 
cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN. 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
E
N
M
A
D
B C
S
I
H
 Giải 
+) VNSDC=? 
- Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2 
=> ∆ SAB vuông tại S => SM=
1
2
AB a= 
=> ∆ SAM ñều. 
- Gọi H là trung ñiểm AM => SH⊥AB. 
- 
( ) ( )
( )
( ),
SAB ABCD AB
SH ABCD
SH SAB SH AB
⊥ =
=> ⊥
⊂ ⊥
- VNSDC = VSNDC=
1
. .
3 NDC
S SH∆ 
Mà: 
+ 0
1 1 1 1
. . . .sin 60
2 2 2 2NDC BDC BDA
S S S AB AD∆ ∆ ∆= = = = 
21 3 3
.2 .2 .
4 2 2
a
a a = 
+ SH= 
3
2
a
 (SH là ñường cao trong tam giác ñều SAM). 

 VNSDC=
2 31 3 3
. .
3 2 2 4
a a a
= . 
+) d(SM, DN)=? 
- Gọi E là trung ñiểm của AD, ta có: BN//=ED => BNDE là hình bình hành => BE//ND. 
- Gọi I là trung ñiểm của AE => MI//BE => MI//ND => ( , ) ( , )SM DN SM MI∠ = ∠ 
- Ta có: SI2 = MS2 + MI2 - 2MS.MI.cos SMI => 
2 2 2
cos
2. .
MS MI SI
SMI
MS MI
+ −
= 
Mà: + SM=
1
2
AB=
1
2
.2a = a. 
+ MI2 = AM2 + AI2 - 2AM.AI.cos600 = a2 + 
2 21 3
2. . .
2 2 2 4
a a a
a− = 
+ Xét tam giác vuông SHI, ta có: SI2 = SH2 + HI2 = 2 2
3
( )
2
a
HI+ . 
Hơn nữa tam giác AHI ñều => HI=
2 2
2 23
2 4 4
a a a
SI a=> = + = 

 Cos
2
2 23
34 0
3 4 3
2. .
2
a
a a
SMI
a
a
+ −
= = 〉 . 

 ( ) ( ) ( ) 3, os , os , os
4 3
SM MI SMI c SM DN c SM MI c SMI∠ = ∠ => ∠ = ∠ = = . 
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy 
ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 . Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI⊥ SC. Tính 
thể tích khối chóp SABCD. 
 Giải 
- Gọi O = AC∩BD.. 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
C
O
D
B A
S
I
M
A
B
C
S
H
- 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAC SBD SO
SAC ABCD SO ABCD
SBD ABCD
∩ =

⊥ => ⊥
 ⊥
- 
1
.
3SABCD ABDC
V S SO= 
Mà: 
+ SABCD = AB.AD = a.a 3 = a
2 3 . 
+ 
1 1
. .
2 2SAC
S SO AC SC AI∆ = = 
=> SO.AC = SC.AI (*). 
Hơn nữa: 
AC = 2 2 2 23 2 .AD DC a a a+ = + = 
SC = 2 2 2 2SO OC SO a+ = + . 
AI = 2 2 2 2
1
( )
3
AC CI AC SC− = − (SI=2 IC => IC=
1
3
SC ) 
= 
2 2 2
2 2 2 214 35
9 9 3
SC SO a
AC a a SO
+
− = − = − (ðk: SO < a 35 ). 
Thay vào (*) ta có: 
SO.2a = 2 2 2 2
1
. 35
3
SO a a SO+ − 
 6a.SO = 2 2 2 2. 35SO a a SO+ − 
 36.a2.SO2 = 2 2 2 2( ).(35 )SO a a SO+ − 
 SO4 + 2a2.SO2 - 35a4 = 0. Coi ñây là phương trình trùng phương, ta có SO=a 5 . 
Vậy VSABCD=
3
21 . 15. . 3. 5
3 3
a
a a = . 
Bài 7. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB) 
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30o, M là trung 
ñiểm của SC. Tính thể tích khối chóp SABM. 
 Giải: 

 o
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 30
( ) ( )
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC SBA
SAC ABC
∩ = 
⊥ → ⊥ → =
⊥ 
- Xét SAB∆ ta có: SA = SB.tan30o = 3a.
1
3
= a 3 . 
Gọi H là trung ñiểm của AC 
Khi ñó: MH //SA →MH ⊥ (ABC) 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
B
A
C
S
H
I K
- 
3
1 1
. .
3 3
1 1 1 1
. . .
3 3 2 6
1 1 1
. . . . .3a.4a. 3 . 3
6 2 12
SABM SABC MABC ABC ABC
ABC ABC ABC
V V V S SA S MH
S SA S SA S SA
BA BC SA a a
∆ ∆
∆ ∆ ∆
= − = −
= − =
= = =
Bài 8. Dự bị KA-2010: Chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BA=AC=a, 
( ) ( )SBC ABC⊥ , hai mặt bên còn lịa hợp với ñáy 1 góc 600. Tính thể tích chóp S.ABC. 
 Giải: 
Kẻ ( ) ( )SH BC H BC SH ABC⊥ ∈ ⇒ ⊥ 
⇒SH là chiều cao của khối chóp S.ABC 
- Kẻ HI AB⊥ và kẻ HK AC⊥ 
.
1
.
3S ABC ABC
V S SH∆= mà 
21
.
2 2ABC
a
S AB AC∆ = = 
Tính SH=? 
Ta có: 0 0tan 60 .tan 60 3.
SH
SH HK HK
HK
= ⇒ = = 
Mặt khác: IHKA là hình vuông HK AK⇒ = 
Tam giác HKC vuông cân tại K nên HK = KC. K là trung ñiểm của AC nên 
2
a
HK = 
3
2
a
SH⇒ = 
Vậy 
2 3
.
1 3 3
. .
3 2 2 12S ABC
a a a
V = =
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn : Hocmai.vn 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Dạng 3: Chóp ñều 
Tính chất: 
+ ðáy là ña giác ñều (chóp tứ giác ñều ñáy là hình vuông) 
+ Chân ñường cao trùng với tâm của ñáy 
+ Góc giữa các cạnh bên và mặt ñáy bằng nhau 
+ Góc giữa các mặt bên và mặt ñáy bằng nhau 
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau 
Chú ý: Cách xác ñịnh tâm 
+ Tam giác ñều ABC. ðể xác ñịnh tâm: Gọi I là trung ñiểm của BC, K là trung ñiểm của AC. 
Giao ñiểm 2 trung tuyến AI và BK là O: tâm của tam giác ñều ABC (O là trọng tâm tam giác ABC và là 
trực tâm tam giác) 
+ Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Lúc này O chính là tâm hình vuông. 
Bài tập mẫu: 
Bài 1 (ðHKB-2004) Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD cạnh ñáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy bằng 
0(0 90 )α α< < . 
a) Tính thể tích S.ABCD 
b) Tính tan góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 
Bài 2. (Tham khảo ñề 2010) Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD, cạnh ñáy bằng a, SH là ñường cao hình chóp, 
I là trung ñiểm của SH. Khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
Bài 3. (ðHKA-2002+TK-2009) Cho chóp tam giác ñều S.ABC. ðỉnh S, cạnh ñáy bằng a. Gọi M, N là 
trung ñiểm của SB và SC. Mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 
a) Tính thể tich khối chóp ABCNM 
b) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC). 
Bài 4. (ðHKB-2012) Cho chóp tam giác ñều S.ABC có SC = 2a, AB = a, H là hình chiếu vuông góc của 
A trên SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) và tính thể tích khối chóp S.ABH. 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn: Hocmai.vn 
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 03) 
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối chóp (Phần 03) thuộc khóa 
học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể 
nắm vững kiến thức phần Thể tích khối chóp (Phần 03), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài 
giảng này. 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Cho hình chóp ñều S.ABCD, O là tâm ñáy, M là trung ñiểm của SO, khoảng cách từ M ñến mặt 
phẳng (SBC) bằng b, AB = a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD 
Bài 2. Cho hình chóp ñều S.ABC, ñáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( )SBC ABC α= . Tính V 
Bài 3. Hình chóp tứ giác ñều SABCD có khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Với giá trị nào 
của góc α giữa mặt bên và mặt ñáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất? 
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, O là giao ñiểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là 
tam giác ñều và khỏang cách từ O ñến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp ñã cho. 
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB và CD 
R là một ñiểm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC . Mặt phẳng ( PQR) cắt AD tại S . Tính thể tích khối tứ 
diện SBCD theo a. 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn : Hocmai.vn 
 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 03) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp (Phần 03) thuộc khóa 
học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn 
kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp (Phần 03). 
ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. 
Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
O
D
C
A B
S
E
H
M
I
A
B
C
S
E
H
Bài 1. Cho hình chóp ñều S.ABCD, O là tâm ñáy, M là trung ñiểm của SO, khoảng cách từ M ñến mặt 
phẳng (SBC) bằng b, AB = a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD 
 Giải: 
Bước 1: Xác ñịnh