Chuyên đề Giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
I. LÝ THUYẾT:
Giôùi haïn höõu haïn
Giôùi haïn voâ cöïc
1. Giôùi haïn ñaëc bieät:
	;	
	;	 
2. Ñònh lí :
	a) Neáu lim un = a, lim vn = b thì
	· lim (un + vn) = a + b
	· lim (un – vn) = a – b
	· lim (un.vn) = a.b
	· (neáu b ¹ 0)
	b) Neáu un ³ 0, "n vaø lim un= a
	 thì	a ³ 0 vaø lim 
	c) Neáu ,"n vaø lim vn = 0 
	thì 	lim un = 0
	d) Neáu lim un = a thì 
3. Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn
	S = u1 + u1q + u1q2 +  = 
1. Giôùi haïn ñaëc bieät:
2. Ñònh lí:
	a) Neáu thì 
	b) Neáu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim= 0
	c) Neáu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0 
	thì	lim = 
	d) Neáu lim un = +¥, lim vn = a
	thì	lim(un.vn) = 
* Khi tính giôùi haïn coù moät trong caùc daïng voâ ñònh: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phaûi tìm caùch khöû daïng voâ ñònh.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
	1.DẠNG 1: (Trong đó P(n), Q(n) là các đa thức có chứa biến n)
	 Phương pháp: Chia caû töû vaø maãu cho luyõ thöøa cao nhaát cuûa n.
	Chú ý: 
	VD1: 	a) 	
	b) 
	c) 
	Do: 
	d) 
	e) 
	f) 
	Do: 
	g) 
	Do: 
	2.DẠNG 2: (Trong đó Do: là các đa thức chứa Do: và )
	Phương pháp giải: Chia caû töû vaø maãu cho số lớn nhất có chứa mũ n.
	Chú ý: 
	VD1: 	a) 	
	b) 
	c) 
	Do: 
	3.DẠNG 3: Nhaân löôïng lieân hôïp: 
	Phương pháp giải: Duøng caùc haèng ñaúng thöùc
	VD2:	 a)===
	b) 
	c) 
	d)
	=
	==-1
	4.DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn:
	Phương pháp giải: Áp dụng các công thức đã học
	VD3:	a 
	b) 
	5.DẠNG 5: Duøng ñònh lí keïp: 
	Phương pháp giải: Duøng ñònh lí keïp: Neáu ,"n vaø lim vn = 0 	thì 	lim un = 0
	VD4:	a) .	
	Vì 0 £ vaø neân 
	b) .	
	Vì 
	neân 0 £ . 
	Maø neân 
	c) .	
	Vì 0 £ vaø neân 
	d) .	
	Vì 0 £ vaø neân 
	e) .	
III. BÀI TẬP:
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
Tính caùc giôùi haïn sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Cho daõy soá (un) vôùi un = , vôùi " n ³ 2.
a) Ruùt goïn un.	b) Tìm lim un.
a) Chöùng minh: 	("n Î N*).
b) Ruùt goïn: un = .
c) Tìm lim un.
Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: .
a) Ñaët vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 +  + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
Cho daõy soá (un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 
a) Chöùng minh raèng: un+1 = , "n ³ 1.
b) Ñaët vn = un – . Tính vn theo n. Töø ñoù tìm lim un.