Chuyên đề Giải, biện luận phương trình bậc hai

Chuyªn ®Ò Gi¶i, biÖn luËn ph­¬ng tr×nh bËc hai 
A.Lý thuyÕt
1. §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh bËc hai lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) trong ®ã a, b, c lµ c¸c hÖ sè ®½ biÕt, x lµ Èn.
2. C«ng thøc nghiÖm: 
 = b2 – 4ac
< 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
= 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1= x2 = - 
> 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
 x1 ; x2 .
’ = b’2 – ac. ( )
’ < 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
’ = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1= x2 = - 
’ > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
 ; x2 .
3. HÖ thøc Vi-Ðt:
* NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a 0) th× 
*øng dông:
+NhÈm nghiÖm:
 - NÕu a + b + c = 0 th× (1) cã hai nghiÖm x1 = 1; x2 = 
 - NÕu a - b + c = 0 th× (1) cã hai nghiÖm x1 = - 1; x2 = 
+ T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng: NÕu hai sè cã tæng b»ng S vµ tÝch b»ng P vµ S2 – 4P 0 th× hai sè ®ã lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh X2 – SX + P = 0 .
4. Mét sè bµi to¸n biÖn luËn ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
1) Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: ;
2) Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: ;
3) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu
4) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu:;
5) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng;
6) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m;
5.Mét sè bµi to¸n øng dông hÖ thøc Vi- Ðt:
1);
2);
3);
4);
B.Bµi tËp ¸p dông.
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai sau:
TT
PTBH
KQ
TT
PTBH
KQ
1
x2 - 11x + 30 = 0
5; 6
41
x2 - 16x + 84 = 0
2
x2 - 10x + 21 = 0
3; 7
42
x2 + 2x - 8 = 0
3
x2 - 12x + 27 = 0
3; 9
43
5x2 + 8x + 4 = 0
4
5x2 - 17x + 12 = 0
12/5;1
44
x2 – 2(x + 4 = 0
5
3x2 - 19x - 22 = 0
22/3;-1
45
11x2 + 13x - 24 = 0
6
x2 - (1+)x + = 0
;1
46
x2 - 11x + 30 = 0
7
x2 - 14x + 33 = 0
47
x2 - 13x + 42 = 0
8
6x2 - 13x - 48 = 0
48
11x2 - 13x - 24 = 0
9
3x2 + 5x + 61 = 0
49
x2 - 13x + 40 = 0
10
x2 - x - 2 - = 0
50
3x2 + 5x - 1 = 0
11
x2 - 24x + 70 = 0
51
5x2 + 7x - 1 = 0
12
x2 - 6x - 16 = 0
52
3x2 - 2x - 3 = 0
13
2x2 + 3x + 1 = 0
53
x2 - 2x + 1 = 0
14
x2 - 5x + 6 = 0
54
x2 - 2x - 2 = 0
15
3x2 + 2x + 5 = 0
55
11x2 + 13x + 24 = 0
16
2x2 + 5x - 3 = 0
56
x2 + 13x + 42 = 0
17
x2 - 7x - 2 = 0
57
11x2 - 13x - 24 = 0
18
3x2 - 2x - 2 = 0
58
2x2 - 3x - 5 = 0
19
-x2 - 7x - 13 = 0
59
x2 - 4x + 4 = 0
20
x2 – 2(x -3 = 0
60
x2 - 7x + 10 = 0
21
3x2 - 2x - 1 = 0
61
4x2 + 11x - 3 = 0
22
x2 - 8x + 15 = 0
62
3x2 + 8x - 3 = 0
23
2x2 + 6x + 5 = 0
63
x2 + x + 1 = 0
24
5x2 + 2x - 3 = 0
64
x2 + 16x + 39 = 0
25
x2 + 13x + 42 = 0
65
3x2 - 8x + 4 = 0
26
x2 - 10x + 2 = 0
66
4x2 + 21x - 18 = 0
27
x2 - 7x + 10 = 0
67
4x2 + 20x + 25 = 0
28
5x2 + 2x - 7 = 0
68
2x2 - 7x + 7 = 0
29
4x2 - 5x + 7 = 0
69
-5x2 + 3x - 1 = 0
30
x2 - 4x + 21 = 0
70
x2 - 2x - 6 = 0
31
5x2 + 2x -3 = 0
71
x2 - 9x + 18 = 0
32
4x2 + 28x + 49 = 0
72
3x2 + 5x + 4 = 0
33
x2 - 6x + 48 = 0
73
x2 + 5 = 0
34
3x2 - 4x + 2 = 0
74
x2 - 4 = 0
35
x2 - 16x + 84 = 0
75
x2 - 2x = 0
36
x2 + 2x - 8 = 0
76
x4 - 13x2 + 36 = 0
37
5x2 + 8x + 4 = 0
77
9x4 + 6x2 + 1 = 0
38
x2 – 2(x + 4 = 0
78
2x4 + 5x2 + 2 = 0
39
x2 - 6x + 8 = 0
79
2x4 - 7x2 - 4 = 0
40
3x2 - 4x + 2 = 0
80
x4 - 5x2 + 4 = 0
Bµi tËp 2. T×m x, y trong c¸c tr­êng hîp sau:
a)
x + y = 17, x.y = 180
e)
x2 + y2 = 61 , x.y = 30
b)
x + y = 25, x.y = 160
f)
x - y = 6, x.y = 40
c)
x + y = 30, x2 + y2 = 650
g)
x - y = 5, x.y = 66
d)
x + y = 11 x.y = 28
h)
x2 + y2 = 25 x.y = 12
Bµi tËp 3.Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh,h·y tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau.
a)
x2 + 6x + 8 = 0
e)
x2 + 13x + 42 = 0
b)
11x2 + 13x - 24 = 0
f)
11x2 - 13x - 24 = 0
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x12 + x22 .
Bµi tËp 4.a)T×m mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ: vµ .
 b)Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, h·y t×m tæng lËp ph­¬ng c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau: 3x2 - 5x - 2 = 0.
Bµi tËp 5.Víi gi¸ trÞ nµo cña b th× ph­¬ng tr×nh: 
a)
2x2 + bx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5.
b)
bx2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7.
c)
( b - 1 )x2 - ( b + 1 )x - 72 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3, t×m nghiÖm cßn l¹i.
Bµi tËp 6.Chøng minh r»ng víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña k ph­¬ng tr×nh:
a)
7x2 + kx - 23 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
b)
12x2 + 70x + k2 + 1 = 0 kh«ng thÓ cã hai nghiÖm d­¬ng.
c)
x2 - ( k + 1 )x + k = 0 cã mét nghiÖm b»ng 1.
Bµi tËp 7.Chøng tá r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh sau lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m:
a)
x2 - 4x – m2 = 0 
d)
x2 + ( m + 3 )x + m + 1 = 0 
b)
2x2 - 3x + m - 1 = 0 
e)
x2 - ( 1 + 2m )x + m = 0 
c)
x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0 
f)
( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + 2 )x + 1 = 0 
Bµi tËp 8.T×m ®iÒu kiÖn m ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm,v« nghiÖm.
a)
x2 + x - m = 0 
d)
x2 - ( m - 1 )x + 1 = 0 
b)
2x2 - 3x + m - 1 = 0 
e)
x2 + 2x + m2 = 0 
c)
x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0 
f)
( m2 +1 )x2 - 2( m + 3 )x + 1 = 0 
Bµi tËp 9.Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y: cã nghiÖm,v« nghiÖm, cã hai nghiÖm ph©n biÖt, cã nghiÖm kÐp.
a)
3x2 - 2x + m = 0 
c)
4x2 + mx + m2 = 0 
b)
5x2 + 18x + m = 0 
d)
4x2 + mx - 5 = 0 
Bµi tËp 10.Cho ph­¬ng tr×nh: ( a - 3 )x2 - 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
 a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi a = 13.
 b)T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi tËp 11.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + ( m + 1 )x + m = 0 .
 a)Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.
 b)TÝnh y = x12 + x22 theo m, t×m m ®Ó y cã gi¸ trÞ nhá nhÊt, biÕt x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®½ cho.
Bµi tËp 12.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
 a)Gi¶i vµ biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh theo m.
 b)T×m m sao cho 10 x1 x2 + x12 + x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ ®ã.
Bµi tËp 13.Cho ph­¬ng tr×nh: 3x2 + mx + 12 = 0 .
 a)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
 b)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 1, t×m nghiÖm cßn l¹i.
Bµi tËp 14.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .
 a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
 b) Chøng minh r»ng tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã mét sù liªn hÖ kh«ng phô thuéc vµo k.
 c)T×m k ®Ó cã hai nghiÖm ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n hÖ thøc .
Bµi tËp 15.Cho ph­¬ng tr×nh: ( 2m - 1 )x2 - 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
 a)X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
 b)Trong tr­êng hîp cã nghiÖm h·y tÝnh theo m tæng S vµ tÝch P cña c¸c nghiÖm.
 c)T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a tæng S vµ tÝch P.
Bµi tËp 16.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .
 a) Chøng minh r»ng víi mäi m ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
 b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau.
Bµi tËp 17.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
 a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 3, t×m nghiÖm cßn l¹i.
 b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm b»ng nhau.
Bµi tËp 18.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + x - = 0 , gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x1, x2. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau;
a)
b)
c)
d)
Bµi tËp 19.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
 a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1.
 b) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
 c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh, chøng minh r»ng biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.
Bµi tËp 20.Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - m x + m - 1 = 0 .
 a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 5.
 b) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ m.
 c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt biÓu thøc A =.
Bµi tËp 21.Cho ph­¬ng tr×nh: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0.
a)Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm?
b)X¸c ®Þnh m ®Ó hiÖu gi÷a tæng hai nghiÖm vµ tÝch hai nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt?
Bµi tËp 22. Cho ph­¬ng tr×nh : x2+(2m-5)x-3n = 0
a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m=3 vµ n=2/3
b) X¸c ®Þnh m vµ n ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ 3 vµ -2
c) Khi m=4, x¸c ®Þnh n ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng?
Bµi tËp 23. Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x +2m – 3 = 0
a) Chøng minh víi víi mäi m ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm 
b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng -1 vµ khi ®ã h·y tÝnh nghiÖm cßn l¹i.
Bµi tËp 24. Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m+1)x +m2 + 2 =0
a)Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 
b)T×m m ®Ó hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1- x2 =4
Bµi tËp 25. Cho ph­¬ng tr×nh : x2 -4x +m =0 (1)
a)TÝnh D hoÆc D’ cña ph­¬ng tr×nh (1) theo m
b)Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ?
c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n 
d) Khi ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1 vµ x2 , h·y t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc A=x12 + x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .
Bµi tËp 26. Cho ph­¬ng tr×nh x2 -8x +m =0 (1) 
a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 12
b)Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ?
c)T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n: x1 - x2 =2
Bµi tËp 27. Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(a-1)x + 2a – 5 = 0.
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi a.
b) a b»ng bao nhiªu th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x1,, x2 tho¶ m·n : x1 < 1 < x2 .
Bµi tËp 28. Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + mx + m-2 =0.
a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m=3.
b)T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n x12 + x22 = 4.
Bµi tËp 29. Cho ph­¬ng tr×nh: x2+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)
a. Chøng minh ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
 b. Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1), t×m m ®Ó biÓu thøc :A= x1 2x2+ x1 x22 + 4 x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
Bµi tËp 30. Cho ph­¬ng tr×nh x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)
a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp.
b. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 2 +x22 - x1x2 = 15
Bµi tËp 31. Cho ph­¬ng tr×nh x2 - (k+1)x+k = 0 (1) ( Èn x, tham sè k).
a. Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi k ?
b. Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). H·y t×m k ®Ó A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy ?
Bµi tËp 32. Cho ph­¬ng tr×nh (Èn x tham sè m): x2 + 4x – 2m = 0 (1)
a)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp 
b)Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 6
Bµi tËp 33. Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 + (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = -1
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia. 
Bµi tËp 34. Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2(m+1)x + m2 + 4 m + 3 = 0 (1) (x lµ Èn, m lµ tham sè)
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt?
b)Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt cña ph­¬ng tr×nh (1) T×m m ®Ó biÓu thøc A= 2x1+2x2- x1x2+7 = 0
Bµi tËp 35. Cho ph­¬ng tr×nh : 
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi a.
b) a b»ng bao nhiªu th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n x1 <1<x2.
c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 , x2 kh«ng phô thuéc vµo m..
Bµi tËp 36. Cho ph­¬ng tr×nh: 
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 12.
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ?
c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n