Chuyên đề Dùng đa thức phụ để giải bài toán xác định đa thức hoặc tính giá trị riêng của đa thức

CHUYÊN ĐỀ 
DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 
HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC 
(Hoàng Trọng Tài - 2019) 
Bài toán 1: 
 Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 10, 
f(2) = 20, f(3) = 30. 
Tính: 
f(12) + f(-8)
+15
10
Phân tích bài toán: 
- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ 
g(x) = f(x) + h(x). 
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x). 
Thuật toán tìm đa thức phụ. 
Bước 1: 
 Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) 
đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x) 
Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là: 
 g(x) = f(x) + ax
2
 + bx + c 
Bước 2: 
 Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0. 
Tức là:
0 =10 + a + b + c
0 = 20 + 4a + 2b + c
0 = 30 + 9a + 3b + c





Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0 
 Theo phương pháp hệ số bất định: 
 Suy ra: h(x) = - 10x 
 Hay: g(x) = f(x) – 10x 
Giải: 
 Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = 0 
Do bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 
suy ra: 
 g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) 
  f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x 
Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12 
 = 11.10.9. (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12] 
f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8) 
 = (-11).(-10).(-9). (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8] 
Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8] 
 = 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0) 
 = 10.1984 
Ta tính được: 
f(12) + f(-8)
+15 =1984 +15 =1999
10
Bài toán 2: 
 Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: 
f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6) 
Phân tích bài toán: 
- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) 
= f(x) + h(x). 
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x). 
Giải: 
+ Tìm đa thức phụ: 
 Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = 0 
 a, b, c là nghiệm của hệ phương trình 
0 = 3+ a + b + c
0 =11+ 9a + 3b + c
0 = 27 + 25a + 5b + c





Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2 
+ Tính giá trị f(x): 
 Bậc f(x) là bậc 4 nên g(x) là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 
5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) 
 2 20f (x) g(x) ( x 2) (x 1)(x 3)(x 5)(x x ) x 2            
 Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 
Bài toán 3: 
 Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn 
f(1999) = 2000 và f(2000) = 2001. 
 Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số. 
Phân tích bài toán: 
- Đa thức bậc 3 mà mới biết hai giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) 
= f(x) + h(x). 
- Bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x). 
Giải: 
+ Tìm đa thức phụ. 
 Đặt g(x) = f(x) + ax + b. Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 tương đương với 
a, b là nghiệm của hệ:
0 = 2000 +1999.a + b
0 = 2001+ 2000.a + b



 Giải hệ ta được : a = b = - 1 
 Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1 
+ Tính giá trị của f(x): 
 Giả sử kZ là hệ số của x3 của đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc 
g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: 
 g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1) 
  f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1 
Ta có f(2001) = k . 2 . 1 . 2001 + 2002 = 2k . 2001 + 2002 
 f(1998) = k. (-1) . (-2) . 1998 + 1999 = 2k . 1998 + 1999 
  f(2001) – f(1998) = 2k . 2001 + 2002 – 2k . 1998 + 1999 
Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) 
Vì 3(2k + 1) là hợp số. Vậy f(2001) – f(1998) là hợp số. 
Bài toán 4: 
Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư 6 
và f(-1) = -18. 
Phân tích bài toán: 
- Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 đều dư 6, theo định lý Bơ du ta có 
f(1) = f(2) = f(3) = 6. Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc là 2. 
- Bậc của f(x) là 3, có ba giá trị của đa thức nên hệ số của f(x) phụ thuộc vào tham 
số. 
Giải: 
+ Tìm đa thức phụ: 
Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6 
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0 
cba ,, là nghiệm của hệ 
0 6 a b c
0 6 4a 2b c
0 6 9a 3b c
   

   
    
Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6 
 Với g(1) = g(2) = g(3) = 0 
+ Xác định f(x): 
 Do bậc f(x) là 3 nên bậc g(x) là 3 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) 
g(x) = n(x -1)(x - 2)(x -3) (n là hệ số của x3 trong đa thức f(x)). 
f(x) = n(x -1)(x - 2)(x -3) + 6 
Mặt khác f(-1)= -18  n = 1  f(x) = x3 – 6x2 + 11x. 
 Bài tập 
Bài 1: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm số 
dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1). 
Bài 2: Xác định a, b để đa thức: ax3 + 12x2 + bx + 1 là lũy thừa bậc 3 của một đa 
thức khác. 
Bài 3: Tìm các số a, b, c để x3 – ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c) 
Bài 4: Tìm đa thức dư của phep chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21 
Bài 5: Tìm giá trị của a để đa thức f(x) = x4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho đa 
thức x2 – 3x + 2 khi đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu?