Chuyên đề: Dãy số (bồi dưỡng học sinh)

i với bài toán)
Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9
Ta có:
24 024 > 10 000 = 10 x 10 x 10 x 10
24 024 < 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20
Nên tích của 4 số đó là:
11 x 12 x 13 x 14 hoặc
16 x 17 x 18 x 19
Có : 11 x 12 x 13 x 14 = 24 024 
16 x 17 x 18 x 19 = 93 024.
Vậy 4 số phải tìm là: 11, 12, 13, 14.
Bài 4:
Có thể tìm được 2 số tự nhiên sao cho hiệu của chúng nhân với 18 được 1989 không?
Bài giải:
Ta thấy số nào nhân với số chẵn tích cũng là 1 số chẵn. 18 là số chẵn mà 1989 là số lẻ.
Vì vậy không thể tìm được 2 số tự nhiên mà hiệu của chúng nhân với 18 được 1989.
Trên đây là các ví dụ về tính chẵn, lẻ trong giải toán. Các trò có thể vận dụng để giải các bài toán sau đây. 
Bài 1.  
Cho số a = 1234567891011121314.. . được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số. 
Bài 2. 
Tích sau tận cùng bằng mấy chữ số 0? 
24 x 25 x 26 x  x 60. 
Bài giải
Bài 1. 
Từ 1 đến 9 có 9 số có 1 chữ số.
Từ 10 đến 54 có: 54 – 10 + 1 = 45 số có 2 chữ số. 
Để viết số 1234567891011 54 thì cần số chữ số là: 9 x 1 + 45 x 2 = 99 (chữ số) 
Để số a có 100 chữ số thì cần viết thêm 1 chữ số nữa, đó là chữ số 5 trong số 55. 
Vậy ta có số a = 1234567891011 .545 
Bài 2. 
Tích trên có các thừa số chia hết cho 5 là: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
Hay 25 = 5 x 5 , 30 = 6 x 5, 35 = 7 x 5,  40 = 8 x 5, 45 = 9 x 5, 50 = 2 x 5 x 5; 
55 = 11 x 5, 60 = 12 x 5 
Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.
GIẢI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT CÓ CHIỀU DÀI
Toán chuyển động của vật có chiều dài đáng kể là dạng toán tuy không khó nhưng lại rất trừu tượng đối với học sinh. Để giúp các trò dễ hiểu và tìm được cách giải đúng cho dạng toán này các trò cùng tìm hiểu qua một vài ví dụ sau:
 Bài 1: 
Bạn Nam ngồi trên chuyến tàu S1 đi từ Hà Nội vào Vinh. Khi ngồi trên tàu bạn Nam đã nhìn thấy một cái cột điện và con tàu mình đang ngồi đã vượt qua cái cột điện đó trong 10 giây với vận tốc 6 m/giây. Bạn Nam đã suy nghĩ là không biết đoàn tàu này có chiều dài bao nhiêu nhỉ? Các em hãy tính dùm bạn Nam nhé! 
Phân tích: Để đoàn tàu chạy qua một cái cột điện thì đoàn tàu phải chạy được một quãng đường đúng bằng chiều dài của chính nó. Vì vậy, muốn tính chiều dài của con tàu thì chúng ta lấy vận tốc của tàu nhân với thời gian con tàu chạy qua cột điện. 
Bài giải: 
Chiều dài của đoàn tàu là: 
10 x 6 = 60 (m) 
Đáp số: 60 m 
 Bài 2: 
Một chiếc tàu thuỷ chạy qua một cái cột mốc giữa biển trong 5 giây. Với vận tốc đó, chiếc tàu thuỷ này đã chui qua một chiếc cầu dài 165 m trong 1 phút. Tính vận tốc và chiều dài của chiếc tàu thuỷ đó ? 
Phân tích: Tương tự bài 1, để chiếc tàu thuỷ vượt qua được cái cột mốc đó thì nó phải chạy được một quãng đường đúng bằng chiều dài của chính nó. Mặt khác, đề vượt qua được một cây cầu thì con tàu phải chạy được một quãng đường đúng bằng tổng chiều dài của cây cầu và chiều dài của con tàu. Từ lập luận đó chúng ta sẽ tính được thời gian mà con tàu đi 165 m là bao nhiêu giây, từ đó chúng ta sẽ tính được vận tốc và chiều dài của con tàu.
Bài giải: 
Thời gian tàu đi được đoạn đường dài 165 m là: 
1 phút – 5 giây = 55 (giây) 
Vận tốc của con tàu là: 
165 : 55 = 3 (m/giây) 
Chiều dài của con tàu là: 
3 x 5 = 15 (m) 
Đáp số: 3 m/giây; 15 m 
Bài 3: 
Trên một đoạn đường quốc lộ chạy song song với đường tàu, một hành khách ngồi trên ô tô nhìn thấy đầu tàu chạy ngược chiều còn cách ô tô 250m và sau 11 giây thì đoàn tàu vượt qua mình. Hãy tính chiều dài của đoàn tàu, biết rằng vận tốc của ô tô là 36 km/giờ và vận tốc của đoàn tàu 54 km/giờ ? 
Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngược chiều xuất phát từ 2 vị trí:  một là đuôi tàu và hai là vị trí của ô tô còn cách tàu 250m. Sau 11 giây ô tô và đoàn tàu vượt qua nhau có nghĩa là trong 11 giây ô tô và đoàn tàu đã đi được một quãng đường đúng bằng tổng chiều dài của con tàu và 250 m. 
Bài giải: 
Đổi: 36 km/giờ = 10 m/giây 
        54 km/giờ = 15 m/giây 
Quãng đường ô tô và tàu đi được trong 11 giây là: 
11 x (10 + 15) = 275 (m) 
Chiều dài con tàu là: 
275 – 250 = 25 (m) 
Đáp số: 25 m
Trên đây là các ví dụ về phương pháp chuyển động của vật có chiều dài đáng kể. Sau đây là các bài tập để các trò luyện tập thêm 
Bài 1: 
Người gác đường đứng nhìn một xe lửa đi qua mặt mình hết 12 giây. Với vận tốc đó xe lửa đi qua một cây cầu dài 450m thì hết 57 giây. Tính chiều dài và vận tốc của xe lửa ? 
Bài 2: 
Một xe lửa dài 225m lướt qua một người đi xe đạp ngược chiều xe lửa trong 15 giây. Tính vận tốc của xe lửa biết rằng vận tốc xe đạp là 10,8 km/giờ? 
Bài 1:
Để xe lửa đi qua mặt người gác đường thì xe lửa đi được quãng đường đúng  bằng chiều dài của xe lửa.
Để xe lửa đi qua một cây cầu dài 450m thì xe lửa đi được quãng đường 450m và chiều dài của xe lửa? 
Nếu không kể chiều dài của xe lửa thì đầu xe lửa đi qua cây cầu dài 450m hết số thời gian là: 
57 – 12 = 45 ( giây) 
Vận tốc của xe lửa là: 450 : 45 = 10 (m/ s) = 36 (km/ giờ) 
Chiều dài của xe lửa là: 10 x 12 = 120 (m) 
Đáp số: chiều dài: 120m, vận tốc: 36km/giờ 
Bài 2: 
Đổi: 10,8 km/giờ =3 m/giây
Quãng đường xe đạp đi được trong 15 giây là: 3 x 15 = 45 (m) 
Để xe lửa lướt qua người đi xe đạp ngược chiều thì xe lửa phải đi quãng đường bằng chiều dài của xe lửa trừ đi quãng đường của người đi xe đạp trong 15 giây 
Quãng đường xe lửa đi được khi vượt qua chiếc xe đạp đi ngược chiều là: 
225 – 45 = 180 (m) 
Vận tốc của xe lửa là: 180 : 15 = 12 (m/ giây) = 43,2 (km/ giờ) 
Đáp số: 43,2km/giờ
HIỆU TRONG BÀI TOÁN TỔNG - HIỆU
Ở lớp 4 học sinh được làm quen với dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Tuy nhiên trong một số bài toán người ta chỉ cho biết tổng của hai số và giữa chúng có n số tự nhiên. Vậy với những bài toán này học sinh sẽ tìm hiệu của hai số đó như thế nào? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua một vài ví dụ sau nhé! 
Dạng 1:  Tìm hai số lẻ (hoặc hai số chẵn) liên tiếp khi biết tổng của hai số đó. 
Ví dụ: Tìm hai số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 2010? 
Phân tích: Vì hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên hiệu của hai số đó là 2. 
Bài giải: 
Theo bài ra ta có: Hiệu hai số cần tìm là 2 
Số bé là: (2010 – 2) : 2 = 1004 
Số lớn là: 2014 – 994 = 1006 
Đáp số:  Số bé: 1004; số lớn: 1006 
 Kết luận: Hiệu của hai số chẵn (hoặc hai số lẻ) liên tiếp là 2. 
Dạng 2:  Tìm hai số khi biết tổng của hai số và giữa chúng có n số tự nhiên liên tiếp.
Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng là 2014 và giữa chúng có 25 số tự nhiên liên tiếp?
Phân tích: Vì giữa hai số cần tìm có 25 số tự nhiên liên tiếp nên giữa chúng sẽ có 26 khoảng cách là 1. 
Bài giải: 
Hiệu hai số là: 25 + 1 = 26 
Số bé là: (2014 – 26) : 2 = 994 
Số lớn là: 2014 – 994 = 1020 
Đáp số:  Số bé: 994; số lớn: 1020 
Kết luận: Hiệu của hai số khi biết tổng và giữa chúng có n số tự nhiên liên tiếp là: n + 1 
Dạng 3:  Tìm hai số biết tổng của hai số (tổng là 1 số lẻ) và giữa chúng có n số lẻ (hoặc n số chẵn) liên tiếp. 
Ví dụ: Hai số có tổng là 2013. Tìm hai số đó biết giữa chúng có 21 số chẵn liên tiếp ? 
Phân tích: Vì tổng của hai số đã cho là một số lẻ nên 2 số cần tìm sẽ là một số chẵn và một số lẻ. Mặt khác giữa chúng có 21 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 21 khoảng cách là 2 và 1 khoảng cách là 1. 
Bài giải: 
Hiệu hai số là: 21 x 2 + 1 = 43 
Số bé là: (2013 – 43) : 2 = 985 
Số lớn là: 2013 – 985 = 1028 
Đáp số:  Số bé: 985; số lớn: 1028 
Kết luận: Hiệu của hai số khi biết tổng của hai số là một số lẻ và giữa chúng có n số lẻ (hoặc n số chẵn) liên tiếp là: n x 2 + 1 
Dạng 4:  Tìm hai số khi biết tổng của hai số (tổng là 1 số chẵn) và giữa chúng có n số chẵn liên tiếp. 
Trường hợp 1: Hai số cần tìm đều  là  số chẵn. 
Ví dụ: Tìm hai số chẵn biết tổng của chúng là 4020 và giữa chúng có 79 số chẵn liên tiếp? 
Phân tích: Vì hai số cần tìm đều là số chẵn và giữa chúng có 79 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 80 khoảng cách là 2. 
Bài giải: 
Hiệu hai số là: (79 + 1) x 2 =  160 
Số bé là: (4020 – 160) : 2 = 1930 
Số lớn là: 4020 – 1930 = 2090 
Đáp số:  Số bé: 1930; số lớn: 2090 
Kết luận: Hiệu của hai số chẵn khi biết tổng của hai số và giữa chúng có n số chẵn liên tiếp là: (n + 1) x 2 
Trường hợp 2: Hai số cần tìm là hai số lẻ. 
Ví dụ: Tổng hai số lẻ là 4000 và giữa chúng có 51 số chẵn liên tiếp. Tìm hai số đó ? 
Phân tích: Vì hai số cần tìm là hai số lẻ và giữa chúng có 51 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 50 khoảng cách là 2 và 2 khoảng cách là 1. Ta hướng dẫn học sinh tìm hiệu như sau: 50 x 2 + 1 + 1 = 50 x 2 + 2 = (50 + 1) x 2 = 51 x 2. 
Bài giải: 
Hiệu hai số là: 51 x 2 =  102 
Số bé là: (4000 – 102) : 2 = 1949 
Số lớn là: 4000 – 1949 = 2051 
Đáp số:  Số bé: 1949; số lớn: 2051 
Kết luận: Hiệu của hai số lẻ khi biết tổng của hai số và giữa chúng có  n số chẵn liên tiếp là: n x 2 
Trên đây là các dạng toán về hiệu trong tổng - hiệu các trò có thể vận dụng để làm các bài tập sau.
Bài 1: Hai số có tổng là 4801. Tìm hai số đó biết giữa chúng có 100 số tự nhiên liên tiếp.
Bài 2: Cho hai số có tổng là 1982. Tìm hai số biết giữa chúng có 25 số lẻ liên tiếp. 
 Bài giải: 
 Bài 1: 
Vì giữa hai số cần tìm có 100 số tự nhiên liên tiếp nên giữa chúng có 101 khoảng cách bằng 1
Hiệu hai số là: 100 + 1 = 101 
Số bé là: (4801 – 101) : 2 =  2350 
Số lớn là: 4801 – 2350 = 2451 
Đáp số: 2350 và 2451 
Bài 2: 
Vì tổng hai số là một số chẵn nên 2 số cần tìm là hai số chẵn hoặc hai số lẻ. 
Trường hợp 1: Nếu hai số cần tìm là số lẻ, giữa hai số cần tìm có 25 số lẻ liên tiếp nên có 26 khoảng bằng 2 
Hiệu hai số là: 26 x 2 = 52 
Số bé là: (1982 – 52 ) : 2 = 965 
Số lớn là: 1982 – 965 = 1017 
Trường hợp 2: Nếu hai số cần tìm là 2 số chẵn,  giữa hai số cần tìm có 25 số lẻ liên tiếp nên có 25 khoảng bằng 2 
Hiệu hai số là: 25  x 2 = 50 
Số bé là: (1982 – 50 ) : 2 = 966 
Số lớn là: 1982  -  966 = 1016 
Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Với dạng bài tập này các bạn gia sư Toán lớp 4 cần hướng dẫn học sinh làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định quy luật dãy số
Những quy luật thường gặp
-    Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng trước nó cộng ( hoặc trừ)  với một số tự nhiên a
-    Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng trước nó nhân ( hoặc chia) với một số tự nhiên b khác 0
-    Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó
-    Số đứng sau bằng số đứng trước nhân với số thứ tự
Bước 2: Sau khi xác định được quy luật dãy số thì tìm ra số hạng đó dựa vào vị trí của nó trong dãy số
Vd: Viết tiếp 3 số hạng của dãy số sau: 1; 2; 6; 24
Nhận thấy 
2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
         24= 6 x 4
Như vậy, kể từ số hạng thứ 2 của dãy thì số đứng sau bằng số đứng trước nhân với số thứ tự. Vậy 3 số tiếp theo là: 120, 720, 5040
Dạng 2: Xác định số c có thuộc dãy số hay không
Bước 1: Xác định quy luật dãy số
Bước 2: Kiểm tra số c có thuộc quy luật đó không
Vd: Các số 80, 123 có thuộc dãy số 90, 95, 100, không?
Quy luật: Số đứng sau hơn số liền trước 5 đơn vị và dãy số tăng dần
80 và 123 không thỏa mãn quy luật này.
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy
Cách giải: 
- Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). 
Ta có công thức sau : Số các số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1. 
-  Nếu quy luật của dãy là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì ta có công thức
 Số các số hạng của dãy = (Số hạng LN – Số hạng BN ) : d + 1. 
Vd:  Cho dãy số 11; 14; 17;..; 65; 68. 
a) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? 
b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 1996 là số mấy? 
Lời giải:
a)    Ta có : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3;. 
b)    Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứng liền trước cộng với 3. 
Số các số hạng của dãy số đó là: ( 68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 ( số hạng ) 
 Ta nhận xét :
 Số hạng thứ hai : 14 = 11 + 3 = 11 + ( 2-1 ) 3 
Số hạng thứ ba : 17 = 11 + 6 = 11+ ( 3-1 ) 3 
Số hạng thứ hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) 3
 Vậy số hạng thứ 1996 là : 11 + ( 1996-1 ) 3 = 5996 
Đáp số: 20 số hạng và 59996.
Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số 
Cách giải: 
Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của dãy số đó là
( SLN + SBN ) x Số số hạng : 2
VD: Tính tổng của 50 số lẻ đầu tiên . 
Lời giải:
Dãy 100 số lẻ đầu tiên là : 1; 3; 5; ..; 97; 99. Vậy ta phải tìm tổng sau: 1 + 3 + 5 ++ 97 + 99 
Vậy tổng phải tìm là : ( 99 + 1 ) 50 : 2 = 2500
Dạng 1. QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ: 
* Kiến thức cần lưu ý (cách giải):
Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số.
Những quy luật thường gặp là:
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;
v . . . v
1. Loại 1: Dãy số cách đều:
Bài 1:
Viết tiếp 3 số:
a, 5, 10, 15, ...
b, 3, 7, 11, ...
Giải:
a, Vì: 10 – 5 = 5
15 – 10 = 5
Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:
15 + 5 = 20
20 + 5 = 25
25 + 5 = 30
Dãy số mới là:
5, 10, 15, 20, 25, 30.
b, 7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là:
11 + 4 = 15
15 + 4 = 19
19 + 4 = 23
Dãy số mới là:
3, 7, 11, 15, 19, 23.
Dãy số cách đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau
1. Loại 2: Dãy số khác: 
Bài 1:
Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, ...
c, 0, 3, 7, 12, ...
d, 1, 2, 6, 24, ...
Giải:
a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 3
7 = 3 + 4
11 = 4 + 7
18 = 7 + 11
...
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,...
b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. 
Viét tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau. 
0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, ...
c, ta nhận xét:
Số hạng thứ hai là:
3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là:
7 = 3 + 1 + 3
Số hạng thứ tư là:
12 = 7 + 1 + 4
. . .
Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau.
0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ...
d, Ta nhận xét:
Số hạng thứ hai là
2 = 1 x 2
Số hạng thứ ba là 
6 = 2 x 3
số hạng thứ tư là
24 = 6 x 4
. . .
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau:
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...
Bài 2:
Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a, . . ., 17, 19, 21
b, . . . , 64, 81, 100
Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng. 
Giải:
a, Ta nhận xét:
Số hạng thứ mười là
21 = 2 x 10 + 1
Số hạng thứ chín là:
19 = 2 x 9 + 1
Số hạng thứ tám là:
17 = 2 x 8 + 1
. . .
Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là
2 x 1 + 1 = 3
b, Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân số thứ tự của số hạng đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là:
1 x 1 = 1
Bài 3:
Lúc 7 giờ sáng, Một người xuất phát từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, cho nen tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm tốc độ của người đó khi xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quãng đường là 10 km/ giờ. 
Giải:
Thời gian người đó đi trên đường là:
(11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ)
Ta nhận xét:
Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 7 là:
10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0
Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 6 là:
12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1
Tốc độ người đó đi trong tiếng thứ 5 là:
14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2
. . .
Từ đó rút ra tốc độ người đó lúc xuất phát (trong tiếng thứ nhất) là:
10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)
Bài 4:
Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 1996:
Giải:
Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau: 
Theo điều kiện của đầu bài ta có:
496 + ô7 + ô 8 = 1996
ô7 + ô8 + ô9 = 1996
Vậy ô9 = 496. Từ đó ta tính được
ô8 = ô5 = ô2 = 1996 – (496 + 996) = 504;
ô7 = ô4 = ô1 = 996 và ô3 = ô6 = 496
Điền vào ta được dãy số:
Dạng 2. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không: 
Cách giải:
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.
Bài tập:
Em hãy cho biết:
a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. .. hay không?
b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. hay không?
c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..?
Giải thích tại sao? 
Giải:
a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50;
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, Vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1.
c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3 
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.
 -----------------------
* BÀI TẬP VỀ NHÀ: 
Bài 1: Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:
a, 100; 93; 85; 76;...
b, 10; 13; 18; 26;...
c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;...
d, 0; 1; 4; 9; 18;...
e, 5; 6; 8; 10;...
f, 1; 6; 54; 648;...
g, 1; 3; 3; 9; 27;...
h, 1; 1; 3; 5; 17;...
Bài 2: Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó:
49 +. .. . .. = 420.
Giải thích cách tìm.
Bài 3: Tìm hai số hạng đầu của các dãy sau:
a,. . . , 39, 42, 45;
b,. . . , 4, 2, 0;
c,. . . , 23, 25, 27, 29;
Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng.
Bài 4: 
a, Điền các số thích hợp vào các ô trống, sao cho tích các số của 3 ô liên tiếp đều bằng 2000
b, Cho 9 số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9. Hãy điền mỗi số vào 1 ô tròn sao cho tổng của 3 số ở 3 ô thẳng hàng nhau đều chia hết cho 5. Hãy giải thích cách làm.
c, Hãy điền số vào các ô tròn sao cho tổng của 3 ô liên tiếp đều bằng nhau. Giải thích cách làm.?
 -----------------------
Dạng 3. Tìm số số hạng của dãy số: 
* Lưu ý:
- ở dạng này thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (trồng cây).Ta có công thức sau:
Số số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1
- Nếu quy luật của dãy là: số đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi thì: 
Số các số hạng của dãy = (Số cuối – số đầu): K/c + 1 
Bài tập vận dụng:
Bài 1:
Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số?
Giải:
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị 
Số cuối hơn số đầu số đơn vị là:
971 – 211 = 760 (đơn vị)
760 đơn vị có số khoảng cách là:
760: 2 = 380 (K/ c)
Dãy số trên có số số hạng là:
380 +1 = 381 (số)
Đáp số:381 số hạng
Bài 2:
Cho dãy số 11, 14, 17,. .., 68.
a, Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng?
b, Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy? 
Giải:
a, Ta có: 14 – 11 = 3 
17 – 14 = 3
Vậy quy luật của dãy là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 3.
Số các số hạng của dãy là:
( 68 – 11 ): 3 + 1 = 20 (số hạng)
b, Ta nhận xét:
Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 – 1) x 3
Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 – 1) x 3
Số hạng thứ tư : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1) x 3
Vậy số hạng thứ 1 996 là: 1