Chuyên đề Đại số tổ hợp

 qua nhiều trường hợp độc lập nhau. 
Trường hợp 1 có m1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m2 cách thực hiện, trường hợp 
n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1+m2++mn.
b) Qui tắc nhân :
Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m1 cách, bước 
2 có m2 cách, . . ., bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1 . m2 . 
 .mn cách khác nhau.
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m1 
cách thực hiện, giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, giai đoạn n có mn cách thực hiện 
thì số cách thực hiện cả công việc là m1 . m2 .  .mn
2.Hoán vị:
A. Hoán vị thẳng:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n≥1) 
của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó.
b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì: 
n1.2.3)...2n)(1n(nPn =−−= !
Qui ước: 0!=1
B. Hoán vị có lặp lại:
a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí. Trong đó:
n1 vật giống nhau 
n2 vật giống nhau
.
nk vật giống nhau
( Hẳn nhiên là n= n1+n2++nk)
b) Định lý: Số hoán vị có lặp lại của n vật trên là:
!n!...n!n
!n
k21
Đại số tổ hợp - Trang 2 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
C. Hoán vị tròn :
a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí chung quanh một đường tròn.
b) Định lý: Số hoán vị tròn của n vật trên là: Pn−1= (n−1)!
3.Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 )k n≤ ≤ phần tử sắp 
thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử .
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø :
)!kn(
!n)1kn)...(2n)(1n(nA kn
−
=+−−−=
Đặc biệt: Khi nn nk n A P= ⇒ =
4.Tổ hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k )0( nk ≤≤ phần 
tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø : )!kn(!k
!nCkn
−
=
c) Tính chất: 
1) knn
k
n CC
−
= 
2) kn
k
n
k
n CCC =+ −
−
− 1
1
1
3) kn
k
n C!kA =
II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1.Công thức nhị thức Newton: Với hai số thực a và b và n∈N ta có công thức:
nn
n
kknk
n
1n1
n
n0
n
n bC...baC...baCaC)ba( +++++=+ −−
2.Các tính chất: 
a) Vế phải có n+1 số hạng.
b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n.
c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :
kknk
n1k baCT
−
+ = )n,...,3,2,1,0k( =
d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.
nn
n
2
n
1
n
0
n 2C...CCC)e =++++ .
0C)1(...CCC)f nn
n2
n
1
n
0
n =−+++− .
Đại số tổ hợp - Trang 3 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
BÀI TẬP:
I. VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 
chữ số khác nhau? Kết quả: 57A 2520=
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt 
chữ số 7? Kết quả: 5. 
1800A 46 =
2) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 
khác nhau? Kết quả: 720A 56 =
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả: 3603.A 45 =
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
3) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Kết quả: 96A.4 34 =
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?
Kết quả: 421.A.31.A 23
3
4 =+
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3? 
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A={
0,3,6,9} Vậy có 3 18!3.3A. 33 == số chia hết cho 3.
4) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 
khác nhau? Kết quả: 5. 600A 45 =
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? 
Kết quả: 600−4. 3.A 34 (lẻ)=312
c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0? 
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vị các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 
5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600−120=480 số có mặt chữ số 0.
Đại số tổ hợp - Trang 4 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
5) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, 
Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P4− 1.P3 =18.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2, 3, 4, 
5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
7) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 
chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X1={1;2;6} , X2={1;3;5} 
và X3={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
8) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó 
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả: 
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp 
chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1 
vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5880 số.
Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô 
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có 
67201.A 58 = số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có 840A.1
4
7 = số). 
Vậy có 6720−840=5880 số.
9) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó 
chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Kết quả: 360
!2
!6
= số.
Hoặc: 1 5 1 2 4 3
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô 
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ). Vậy có 
3601.A 46 = số 
10) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số 
này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 
3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
Đại số tổ hợp - Trang 5 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
11) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác 
nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2. 3 Ï5A =120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd : d=8 có 4.4.3.1= 48 số 
; d≠8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số
12) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 
5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
 Kết quả: x= abcde : a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a≠5 có 4(5.5.4.3)=1200 số. 
Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 45
4
6 A.5A − (không có chữ số 5)=1560
13) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác 
nhau? 
Kết quả: 3024A 49 = 
14) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và 
không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số.
15) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ 
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho 9. 
Kết quả: 7!=5040 số. S=2520.8888888 M 9
16) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4, 6 
và 8. Kết quả: 64AAAA 44
3
4
2
4
1
4 =+++ số
17) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ 
số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} có thể lấy ra 78C 8= tập con có 7 phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi 
tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 
8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 
cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có 78A 40320= cách. Vậy có: 
8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong 899.A 3265920= số tạo được có 9 chữ số khác nhau: Có số chỉ xuất hiện 0 
(không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất hiện cả 0 và 1
Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9!−8!=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1). 
Vậy có:3265920−(362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1.
18) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác 
nhau, trong đó:
Đại số tổ hợp - Trang 6 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau?
b) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn và kết quả:
a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách 
xếp. 
Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp.
Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số.
b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho trong đó có 
thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Vậy có 120−48=72 số 
trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
19) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó 
chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần.
Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có 3 27 6A .1 A 180− = số. Ta có thể giải bằng cách 
khác: Với 7 ô : ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ 
Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên). 
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách. 
Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách. 
Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự).
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
20) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Kết quả: 9.9.9.9.9=59049.
21) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác 
nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Kết quả: 1.3. 25A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 25A cách xếp 2,3,4,5,6 
vào 2 vị trí còn lại).
22) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số 
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Kết quả: a) 45A =120 b)60X155554 = 9333240
23) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số 
khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 
24) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 
0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625
25) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ 
số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Đại số tổ hợp - Trang 7 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
26) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số 
này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư ûbằng 8. Vậy có 2.3!=12 số
27) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự 
nhiên :
a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 Kết quả: 2.5.4.3=120
c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4 
 Kết quả: 1 2 3 4 3 4a a a a 4 a a 4⇔M M . 
Có 72 số
d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108
e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216
28) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác nhau. 
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho 
không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800
29) Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ 
hội đồng quản trị đó người ta muốn lập ra1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người 
nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thương trực có 3 người? 
Kết quả: 161
30) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng 
và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm 
bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất : 
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung .
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung .
Kết quả: a)10800 b)15000
31) Lúc khai mạc 1 hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau. 
Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Kết quả: 10
32) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài 
sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau?
Kết quả: 24
33) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả 
thảy ? Kết quả: 63=216
Đại số tổ hợp - Trang 8 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
34) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. 
Muốn đi từ X đến Z phải qua Y .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng 
những con đường khác nhau?
Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
35) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi?
Kết quả: 35
36) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song 
song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo được?
Kết quả: 150C.C 26
2
5 =
37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng :
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy 
trong P thẳng hàng? 
Kết quả: 310C 120=
b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng.
Kết quả: 3 310 4C C 116− =
38) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) . Có bao nhiêu cách xếp 10 học 
sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau 
Kết quả: 4!.7!=120960
39) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ 
ở địa điểm A; 2 người ở địa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn . Có bao nhiêu cách 
phân công? Kết quả: 3 29 6C .C .1 1260=
40) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) . Một đề thi gồm có 3 câu có 
cả lý thuyết và bài tập. Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có 2 t.h)
41) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh 
. Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả: 340C =9880
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425
42) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư 
và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao 
nhiêu cách làm như vậy. Kết quả: 3 3 3 36 5 6 5C .C .3! C .A=
 =1200
Đại số tổ hợp - Trang 9 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
43) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số 
khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2?Kết quả:720−240=480 số.
44) Tìm n sao cho:
 a) .48. 12 =−nnn CA 
 b) 23
24
CA
A
4n
n
3
1n
4
n
=
−
−
+
. 
 c) n
6
n
5
n
4 C
1
C
1
C
1
=− .
 d) 210AP
P
4n
1n3
2n
=
−
−
+ . 
 e) 6
1
P
PP
1n
1nn
=
−
+
− .
Kết quả: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3
45) Giải các phương trình:
a) 8x.Px.P 322 =− .
b) Nx,A50A2 2x22x ∈=+
c) x
2
7CCC 3x
2
x
1
x =++ . 
Kết quả: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 4
46) Giải các phương trình:
a) 2 2x2 1x3 1x A3
2CC
−−−
=−
b) 1
4x
2
1x
1
x C6
7
C
1
C
1
++
=−
Kết quả: a) x=9, b) x = 3 V x = 8
47) Giải phương trình 2nn3n CA −+ =14n. Kết quả:n=5.
48) Giải phương trình 4n3n C2A − = 3 2nA Kết quả: n=6 V n=11
49) Giải hệ phương trình: 

=
=
12A
6C
y
x
y
x
Kết quả:x=4 và y=2
50) Tìm n biết: 8CA 1n2n <−
Kết quả: n = 2 V n = 3
Đại số tổ hợp - Trang 10 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
51) Giải hệ phương trình:
 

=
=
−
−−
1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
C3C5
Kết quả: x = 7 và y = 4
52) Tính hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển của: 
743 )1x()1x3()1x2()x(P +++−+= .
Kết quả:−65
53) Khai triển của 
n
x
1x 


− có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm số hạng 
thứ 5 của khai triển đó.
Kết quả:126x
54) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của:
10
x
1x2 


− .
Kết quả: −8064
55) Khai triển: (x+2)4 Kết quả: x4+8x3+24x2+32x+16
56) Tìm hệ số a5b3 trong khai triển (a + b)8. Kết quả:56.
57) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x3 – xy)15. 
Kết quả: T8= − 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8
58) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
12
x
1x 



+ Kết quả:T9=495
59) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:
).3n(7CC : biếtx
x
1 n
3n
1n
4n
n
5
3
+=−


+ +
+
+ Kết quả: n = 12 và a9=495
60) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 +  + (1+x) 14 có dạng khai triển là 
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 +  + a14x14 . Tính hệ số a9. Kết quả:3003
61) Xét khai triển của: .)xyx( 153 + Tính hệ số của hạng tử chứa .yx 1221 Kết quả: 455
62) Tìm n biết trong khai triển ( x +
2
1
 ) n thành đa thức đối với biến x, hệ số của 
x6 bằng bốn lần hệ số của x4 Kết quả: n=10
63) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 12
1( )x
x
+ 
Kết quả: 495
Đại số tổ hợp - Trang 11 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
64) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x2+ x3
1
)10 
Kết quả: k=4 ⇒C410 = 210
65) Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x−3y)200 
Kết quả: 99101
99
200
3.2.C
66) Chứng minh rằng:
 a) C0n2 +C2n2 +..+C n2n2 = C1 n2 +C3n2 ++C 1n2n2 − 
Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = 1 , b = −1 
 b) C1n +2C2n +3C3n ++nCnn = n2n−1.
Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n rồi thay x=1.
67) Chứng minh rằng: nn2n2
3
n2
2
n2
1
n2
0
n2 4C...........CCCC =+++++
68) Chứng minh rằng:
1n
12C
1n
1...C
3
1C
2
1C)b
x)(1f(x) với (1)''f'(1)'f' Lấy :dẫn Hướng
2)nn(Cn...C3C2C1)a
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
n
2n2n
n
23
n
22
n
21
n
2
+
−
=
+
++++
+=+
+=++++
+
−
69) Tính S= 0 1 66 6 6...C C C+ + + 
Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1.Kết quả: 64
70) Tính T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 52 2 2 2 2C C C C C C+ + + + + 
Hướn