Chuyên đề Đại số 11 nâng cao: Đạo hàm

CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 
Gv: Phan Hữu Thế 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số  y f x xác định trên khoảng  ;a b và  0 ;x a b , đạo hàm 
của hàm số tại điểm 0x là :  
   
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x



 . 
1.2. Chú ý : 
 Nếu kí hiệu    0 0 0;x x x y f x x f x        thì : 
  
   
0
0 0
0
00
' lim lim
x x x
f x x f x y
f x
x x x  
   
 
 
 . 
 Nếu hàm số  y f x cĩ đạo hàm tại 0x thì nĩ liên tục tại điểm đĩ. 
2. Ý nghĩa của đạo hàm 
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số  y f x cĩ đồ thị  C 
  0'f x là hệ số gĩc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số  y f x tại 
   0 0 0,M x y C . 
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x tại điểm    0 0 0,M x y C là : 
    0 0 0'y f x x x y    . 
3. Qui tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm 
3.1. Các quy tắc : Cho    ; ; :u u x v v x C  là hằng số . 
   ' ' 'u v u v   
    . ' '. '. . .u v u v v u C u C u     
  
2 2
'. '. .
, 0
u u v v u C C u
v
v uv u
    
       
   
 Nếu    , .x u xy f u u u x y y u      . 
3.2. Các cơng thức : 
    0 ; 1C x   
      1 1. . . , , 2n n n nx n x u n u u n n        
        1 , 0 , 0
2 2
u
x x u u
x u
 
     
    sin cos sin . cosx x u u u     
    cos sin cos .sinx x u u u       
    2 2
1
tan tan
cos cos
u
x u
x u
    
    2 2
1
cot cot
sin sin
u
x u
x u
      . 
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 
Gv: Phan Hữu Thế 
4. Vi phân 
4.1. Định nghĩa : 
 Cho hàm số  y f x cĩ đạo hàm tại 0x vi phân của hàm số  y f x tại điểm 0x 
 là :    0 0 .df x f x x  . 
 Cho hàm số  y f x cĩ đạo hàm  f x thì tích  .f x x  được gọi là vi phân của 
hàm số  y f x . Kí hiệu :      . .df x f x x f x dx    hay .dy y dx . 
4.2. Cơng thức tính gần đúng : 
      0 0 0 .f x x f x f x x     . 
5. Đạo hàm cấp cao 
5.1. Đạo hàm cấp 2 : 
 Định nghĩa :    f x f x      
 Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động  s f t tại thời điểm 0t là 
   0 0a t f t . 
5.2. Đạo hàm cấp cao :          1 , , 2n nf x f x n n
     
 . 
B. BÀI TẬP 
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
 Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: 
 B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. 
 B2: Tính y = f(x0 + x) – f(x0). 
 B3: Tính 
x 0
y
lim
x 


. 
Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: 
a) 2y f(x) 2x x 2    tại 0x 1 b) y f(x) 3 2x   tại x0 = –3 
c) 
2x 1
y f(x)
x 1

 

 tại x0 = 2 d) y f(x) sin x  tại x0 =
6

Bài 2: (NC) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a.  
3 khi
khi
2 2
10 16 2
x x x
f x
x x
  
 
 
 tại 0 2x  . b)  
2 3 2y f x x x    
VẤN ĐỀ 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CƠNG THỨC 
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
    b) 7
3
y 3 x 5x 3
x
    
c) 
4 2
7
4 3 2
x x
y x
x
x     d) 
3
7
6 4
3 2
x
y x
x
x    
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 3 2y (x 2)(1 x )   b) 2 2 2y (x 1)(x 4)(x 9)    
c) 2y (x 3x)(2 x)   d)   1y x 1 1
x
 
   
 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 
Gv: Phan Hữu Thế 
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 
3
y
2x 1


 b) 
2x 1
y
1 3x



 c) 
2
2
1 x x
y
1 x x
 

 
d) 
2x 3x 3
y
x 1
 


 e) 
22x 4x 1
y
x 3
 


 f) 
2 x 1
y
x 1



Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 2 4 2 5y (x x 1) (1 2x )     b) 2 3 2 2( 1) ( 1)y x x x x     
 c) 
3
2x 1
y
x 1
 
  
 
 d) 
2
3
(x 1)
y
(x 1)



 e) 
2 2
1
y
(x 2x 5)

 
 f) 3 2y (x 2). 1 x   
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) 2y 2x 5x 2   b) 3 3y x x 2   c) y x x  
d) 2y (x 2) x 3   e) 
2
4x 1
y
x 2



 f) 
24 x
y
x

 
g) 
3
3xy (x 2)
x 1
  

 h)  
3
y 1 1 2x   
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
a) y x.cosx b) 
2
sin x
y
1 cosx
 
  
 
 c) 3y sin (2x 1)  
d) 4 4cos siny x x  e) 2y sin 2 x  f) y cot 2x 
g) 
sin
sin
x x
y
x x
  h) 2 3y 2sin 4x 3cos 5x  i) 2 3y (2 sin 2x)  
 k) 3 5
2 1
y tan2x tan 2x tan 2x
3 5
   l)  2 2sin cos cos3y x    m) 
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x



Bài 7: a) Cho hàm số  
x
x
xf
sin1
cos

 . Tính     











4
';
2
';';0'

 ffff . 
 b) Cho hàm số  
x
x
xfy
2
2
sin1
cos

 . Chứng minh: 3 ' 3
4 3
f f
    
    
   
VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) (C) là: 0 0 0y f '(x )(x x ) y   (*) 
2. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó: 
 + d(d) ( ) k a    + d
1
(d) ( ) k
a
     
Bài 1: Cho hàm số (C): 2y f(x) x 2x 3.    Viết phương trình tiếp với (C): 
 a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1. 
 b) Tại điểm có tung độ y0 =2. 
c) Tại giao điểm với trục Oy. 
d) tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k = 2 
e) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. 
 f) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 
Gv: Phan Hữu Thế 
Bài 2: Cho hàm số 
3x 1
y f(x)
1 x

 

 (C). 
 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. 
 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
 d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: 
1
y x 100
2
  . 
 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 0. 
Bài 3: (NC) Cho hàm số  
2
1
2 3
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), 
biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác 
OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) . 
Bài 4: (NC) Cho hàm số  
3 1
1
1
x
y
x



. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và 
tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm  2 ; 5M  . 
Bài 5: (NC) Cho hàm số  3 23 9 5y x x x C     . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị 
 C , hãy tìm tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc lớn nhất. 
Bài 6: (NC) Cho hàm số  
2
1


x
y C
x
. Tìm điểm  M C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt 
hai trục tọa độ tại ,A B và tam giác OAB cĩ diện tích bằng 
1
2
. (Khối D – 2007) 
Bài 7: (NC) Cho hàm số :  
1
x
y C
x


. Viết phương trình tiếp tuyến   của  C sao cho 
  và hai đường    1 2: 1 ; : 1d x d y  cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 
 VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau: 
a) '( ) 0f x  với 3 2
1
( ) 2 3 1
3
f x x x x    
b) '( ) 5f x   với 4 3 2
1 3
( ) 1
4 2
f x x x x    
Bài 2: Cho hàm số 3 2( ) 3 2015f x x x   . Hãy giải bất phương trình: 
a) '( ) 0f x  b) '( ) 3f x  
Bài 3: Giải phương trình y’ = 0 biết: 
a) sin 2 2 cosy x x  b) 
2
cos siny x x  . 
Bài 4: (NC) Cho hàm số :    3 2 4 5 1
3 2
m m
f x x x m x m      . Tìm m để : 
a)   0 ,f x x    ; b)   0f x  cĩ hai nghiệm cùng dấu. 
Bài 5: (NC) Cho hàm số  3 2
1
2 1 4
3
y x m x mx     . Tìm m để : 
a) ' 0y  cĩ hai nghiệm phân biệt ; 
b) 'y cĩ thể viết được thành bình phương của nhị thức ; 
c) ' 0 ,y x   ; 
d)  ' 0 , 1 ; 2y x   ; 
e) ' 0 , 0y x   . 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 
Gv: Phan Hữu Thế 
Bài 6: (NC) Cho hàm số  3 2
1
1 3
3
y mx m x mx      . Xác định m để : 
a) ' 0 ,y x   . 
b) ' 0y  cĩ hai nghiệm phân biệt cùng âm ; 
c) ' 0y  cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 
2 2
1 2 3x x  . 
Bài 7: (NC) a) Cho hàm số 21 xxy  . Chứng minh : yyx  '.12 2 . 
 b) Cho hàm số cot 2y x . Chứng minh : 
2
' 2 2 0y y   . 
VẤN ĐỀ 5: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO 
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: (n) n 1 /y (y ) . 
2. Để tính đạo hàm cấp n: 
  Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. 
  Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. 
Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx  . 
a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' , f ''(1)
2
 
  
 
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: 
a) y cosx, y ''' b) 4 3 2y 5x 2x 5x 4x 7, y''     c) 
x 3
y , y ''
x 4



d) 2y 2x x , y ''  e) y xsin x, y '' f) y x tan x, y '' 
g) 2 3y (x 1) ,y ''  h) 6 3 (4)y x 4x 4, y   i) (5)
1
y , y
1 x


Bài 3: (NC) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 
a) 
(n) n
n 1
1 ( 1) n!
1 x (1 x) 
  
 
  
 b) (n)
n.
(sin x) sin x
2
 
  
 
 c) (n)
n.
(cosx) cos x
2
 
  
 
Bài 4: (NC) Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 
a) 
1
y
x 2


 b) 
2
1
y
x 3x 2

 
 c) 
2
x
y
x 1


d) 
1 x
y
1 x



 e) 2y sin x f) 4 4y sin x cos x  
Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: 
a) y xsin x
xy'' 2(y ' sin x) xy 0
 

   
 b) 
2
3
y 2x x
y y'' 1 0
  

 
c) 2 2 2
y x tan x
x y'' 2(x y )(1 y) 0
 

   
 d) 
2
x 3
y
x 4
2y (y 1)y''
 

 
   
VẤN ĐỀ 6 (NC): ỨNG DUNG ĐẠO HÀM TÍNH GIỚI HẠN 
Phương pháp : 
1)  
   
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x



 2) 
   
   
 
 
 
0
0
00
0
0 0
0
'
lim ( ' 0)
'x x
f x f x
f xx x
g x
g x g x g x
x x



 


CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 
Gv: Phan Hữu Thế 
Bài 1: Tìm các giới hạn sau : 
a) 
x
x
x
141
lim
3
0


 b) 
1
75
lim
2
3 23
1 

 x
xx
x
 . 
c) 

   

2
1
lim
1
n
x
x x x n
x
 d) 
21 )1(
1
lim


 x
nnxx n
x
 . 
e) 







xx
x 4
tan.2tanlim
4


 f) 
x
x
x sin21
4
sin
lim
4











 . 
Bài 2: Tìm các giới hạn sau : 
a) 
2
1
8 3
lim
2 3x
x
x x
 
 
. b) 
3
1
3 2
lim
1x
x x
x
 

. 
c) 

  
  0
1 2 1 sin
lim
3 4 2x
x x
x x
. d) 
3 3
22
3 4 24 2 8 2 3
lim
4x
x x x
x
    

. 
e) 
1
1
lim
4
3
1 

 x
x
x
. f) 
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
mx
x
x
 
 
 . 
Bài 3: Tìm các giới hạn sau : 
a) 


 lim( ) tan , ( 0)
2x a
x
a x a
a
. b) 
x
xx
x sin
112
lim
3 2
0


 . 
c) 
0
cos5 cos3
lim
.sin 2x
x x
x x

. d) 
)1tan(
23
lim
1 

 x
xx
x
 . 
e) 
xx
x
x sin
cos1
lim
3
0


 . f) 
2
cos3 1 sin 3
lim
1 sin 3x
x x
x
 

. 
VẤN ĐỀ 7(NC): ỨNG DUNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG CHỨA TỔ HỢP 
Bài 1: Tính các tổng sau : 
a) 
1 2 3 2 1
1 2 5 3 5 5
n n
n n n nS C C C nC
     
b)    2 2 3 32 2.1. 2 3.2. 2 1 . 1 .
nn n n
n n nS C C n n C
       . 
c) 
2 1 2 2 2 3 2
3 1 . 2 . 3 . .
n
n n n nS C C C n C     
d) 
1 2 1
4 2 ( 1)
n n
n n n n
S C C n C nC      . 
e) 
0 1 2 1
2 2 3 ... ( 1)
n n
n n n n n
S C C C nC n C      . 
Bài 2: Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức 
   
 
3 3
35, 3
1 2
n nA C n
n n

 
 
. Tính tổng : 
  2 2 2 3 22 . 3 . 1 .
n n
n n nS C C n C     . 
Bài 3: Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luơn cĩ : 
    1 1 2 2 1 1.2 . 1 .2 . 2 .2 . 2. 2 .3n n n n n nn n n nn C n C n C C n
          
Bài 4: Tìm số nguyên dương n biết: 
             
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 ... 2 1 .2 2011n n
n n n n n
C C C C n C