Chuyên đề: Cực trị của hàm số

 	CHUYÊN ĐỀ:CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I)LÍ THUYẾT:
DẤU HIỆU 1:
a) Nếu f’(x) đổi dấu từ - sang + khi x qua x0 thì x0 là điểm CT của hàm số.
b) Nếu f’(x) đổi dấu từ +sang - khi x qua x0 thì x0 là điểm CĐ của hàm số.
DẤU HIỆU 2:
Nếu thì x0 là điểm cực đại của hàm số .
) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
2) Đối với các hàm số dạng đa thức y=f(x) để tìm giá trị cực trị của hàm số tại x0 
C1: y=f(x0)
C2: tính f’(x) sau đó lấy f(x) chia f’(x) ta được y=f’(x)g(x) +r(x)
Vì x0 là điểm cực trị nên f’(x0) =0 vì vậy y(x0)= r(x0) là giá trị cực trị của hàm số tại x0.
Lưu ý: y= r(x) là phương trình đi qua các điểm cực trị của hàm số.
( C2 thường dùng cho các bài toán cực trị có chứa tham số m)
3) Tam giác ABC đều nếu AB=AC=BC 
4) Tam giác ABC vuông tại A nếu 
5) Tam giác ABC có một góc A bằng : cosA= 
( sử dụng biểu thức tích vô hướng để lấy kết quả)
6) B là trung điểm của AC nếu 
7)Điểm A đối xứng điểm B qua đường thẳng d (có pt) ta làm như sau:
B1: tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng d và tìm điểm I là trung điểm của AB 
B2: A đối xứng với B qua d nếu 
8) Hai đường thẳng song song nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương.( véc tơ pháp tuyến cùng phương)
9)Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hai hệ số góc bằng -1.
10)A(x;y) ,B(x’;y’) khoảng cách giữa hai điểm A và B là AB=
11) pt: ax2 +bx+c =0 có hai nghiệm x1, x2 .
a) vi ét: x1+x2 = -b/a ; x1*x2 = c/a 
b) cho số k 
+ x1<x2<k ( ứng dụng viets để triển khai)
+k<x1<x2( ứng dụng viets để triển khai)
c) Một số bài toán liên quan đến các biểu thức có chứa x1 và x2 thỏa mãn một tính chất nào đó thì biến đổi và kết hợp với vi ét để triển khai.
LƯU Ý:a) Nếu ta gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số .nếu bài toán yêu cầu tích hợp hình học vào thì dựa vào điều kiện trên để ta triển khai cho phù hợp với yêu cầu bài toán.
b)Trong chương trình toán 12 ta chỉ học hàm số bặc 4 ,3 và bậc nhất trên bặc nhất và chỉ có hàm bậc 3,4 mới có thể có cực trị .Vậy đề thi đại học, cđ, tốt nghiệp chỉ dừng lại ở hàm bậc 3,4. nên ta chỉ học hai hàm số này.
“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ 
CHỈ SỢ LÒNG KHÔNG BỀN!”
II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Tìm m để hàm số: 
	đạt cực tiểu tại x = -2.
Giải: Þ 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì 
Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b.
Giải: Û 
Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với m ¹ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 
y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) song song với đường thẳng y = ax + b 
Û 
Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a ³ 0 thì không tồn tại m thoả mãn.
Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = -4x.
Giải: Ta có: 
	Û 
Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 
y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): . 
Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = -4x thì (D) º (d) 
Û 
Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y = 3x - 7.
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) ^ y = 3x - 7 Û 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (D): 
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt 
Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): . 
Các điểm cực trị đối xứng nhau qua 
Û (d) ^ (D) tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra 
(*) Û 
Bài 6. Cho 
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. 	
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: 
Giải: 1. Xét phương trình: 
Ta có: 
Nếu (vô lý)
Vậy D¢ > 0 "a Þ f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT. 
2. Theo Viet ta có: 
Bai7.Cho hàm số 
 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
 2. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của 
Giải: Ta có: 
1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 
2. Do Þ 
 (do ) 
Þ . Với thì 
Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
Giải: Do có nên f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
. Do nên 
Ta có: 
Þ . Vậy xảy ra Û m = 0.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn .
Giải: Ÿ Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Û (*)
Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: 
Ta có: 
Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy 
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện .
Giải: HS có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt 
Û (*)
Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) )
Vậy để thì 
B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số: y = f (x) 	
2. Đạo hàm: 
3. Cực trị: Xét 
4. Kỹ năng tính nhanh cực trị
Giả sử f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Bước 2: Do f ¢(x0) = 0 nên f (x0) = r(x0)
Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x)
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Tìm cực trị của hàm số .
Giải: Ta có: ; 
Do phương trình có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = -1 
nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x = 2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại.
Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: ; 
. Xét các khả năng sau đây: 
a) Nếu thì 
 Û g(x) ³ 0 . 
Suy ra f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = 0 mà f ¢¢(0) = 6(m + 1) > 0 "mÎI 
Þ , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
x
-¥
0
3
+¥
f ¢
 - 
0
 - 
0
+
f
+¥
CT
+¥
b) Nếu thì 
 Û x = 0 nghiệm kép, x = 3. 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Hàm số y = f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
x
-¥
x1
x2
x3
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
c) Nếu thì f ¢(x) có 3 nghiệm phân biệt 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Hàm số y = f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: 
Cho hàm số 
Chứng minh rằng: "m ¹ -1 hàm số luôn có cực đại đồng thời 
Ta có: nên g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
x
-¥
x1
0
x2
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
Theo định lý Viet ta có: 
Þ PT có 3 nghiệm phân biệt
 0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau:
a) Nếu m < -1 thì 
Þ Þ Bảng biến thiên
Nhìn BBT suy ra 
x
-¥
x1
x2
0
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
b) Nếu m > -1 thì 
và Þ 
Þ Bảng biến thiên. 
Nhìn BBT suy ra 
Kết luận: 
Vậy "m ¹ -1 hàm số luôn có 
Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2008)
 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 5. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều. 
Giải. . Ta có: . 
Để hàm số có CĐ, CT Û có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0 
Þ 3 nghiệm là: Þ 3 điểm CĐ, CT là: 
x
-¥
x1
0
x3 
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
A
CT
B CĐ
C CT
+¥
Þ . 
Để A, B, C lập thành tam giác đều 
thì Û 
Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT 
Giải. Xét 
Û . Xét hàm số có TXĐ: 
x
-¥
x2
+¥
f ¢
-
0
-
f
+¥
-¥
 ; 
Nghiệm của phương trình 
cũng là hoành độ giao điểm của 
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x).
Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = m cắt y = g(x) tại đúng 1 điểm 
Þ có đúng 1 nghiệm.
Vậy hàm số y = f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
Bài 7. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2007) 
Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT 
PHƯƠNG PHÁP HỌC TÍCH CỰC HIỆU QUẢ NHẤT CÁC THỦ KHOA HAY DÙNG. 
VD
*TÌM HIỂU VẤN ĐỀ A
B1: Tìm tài liệu cần nghiên cứu có liên quan đến vấn đề A
B2: Phân loại vấn đề A(phân tích các mối quan hệ với vấn đề A), Tìm phương pháp tốt nhất để giải quyết vấn đề A
B3:Ghi chép lại cẩn thận để lưu lại nhớ lâu dài quy trình xử lí vấn đề A.
( nếu gặp khó hoặc không xác minh được tính đúng đắn của vấn đề thì tìm sự trợ giúp từ người hiểu hơn)
LÀM SAO ĐỂ TẠO RA SỨC MẠNH!?
“ĐOÀN KẾT LÀ SỨC MẠNH”
-Bài học dân gian đã dạy nếu biết kết hợp các chiếc đũa lại với nhau thì tạo thành một khối vững chắc đó là sức mạnh và ngược lại nếu muốn xử lí vấn đề thì phải tách từng chiếc đũa ra để xử lí.
-Bài học khác tương tự : 
“Một cây làm chẳng nên non ,
 	ba cây chụm lại nên hòn núi cao”
-Bài học quân sự: vì sao mà nước Việt Nam đánh thắng mọi kẻ thù là vì.
Một là: Bác đã biết kết nối mọi con người đang bị áp bức trên thế giới thành một nhóm(Bác đi tìm đường cưú nước thực chất là đi kết nối thông tin và con người).
Hai là: Bác đã biết quản lí được sức mạnh của từng con người ( Bác nói các cháu nhỏ thì làm việc nhỏ) và biết kết hợp lại sức mạnh của nhóm người này.Vì vậy chiến sự xảy ra ở việt Nam nhưng bạn bè năm châu đều đứng lên chiến chiến đấu với việt Nam bằng nhiều hình thức khác nhau tạo ra một loại sóng thần có thể nhấn chìm mọi kẻ thù.
ỨNG DỤNG CÁC BÀI HỌC TRÊN VÀO CUỘC SỐNG HÀNG NGÀY.
1)Để tạo sức mạnh trí truệ thì ta phải biết kết nối các kiến thức cùng thuộc một nhóm lại với nhau khi đó sẽ tạo ra sức mạnh (vd: môn toán các em muốn mình giải quyết tốt các bài tập thì các em phải học thuộc công thức, quy tắc giải quyết vấn đề và biết tập hợp các công thức đó lại với nhau( tìm hiểu mối quan hệ giữa các công thức) thì các em sẽ làm tốt các bài toán.
2) Trong cuộc sống hàng ngày nếu cần giải quyết một vấn đề A thì các em cần tập hợp các thông tin có liên quan đến vấn đề đó và thử kết nối chúng lại với nhau sao cho giải quyết vấn đề diễn ra thuận lợi .Đó là ta biết quản lí thông tin và ta biết sai bảo chúng làm theo ý của ta.
3) Trong cuộc sống nhiều bạn trẻ mặc cho số phận vì cho rằng mình sinh ra không đúng giờ tốt nên mình đen đủi.Phải chăng là như vậy !?
KHÔNG VÀ KHÔNG phải vậy đâu. Nếu các em biết quản lí hành vi của mình ,các em biết quản lí suy nghĩ của mình và các em biết kết nối ,quản lí thông tin theo yêu cầu mình vạch ra thì thầy tin chắc các em sẽ thực hiện được những cái mình mong muốn.
MỘT SỐ CÂU CHIÊM NGHIỆM TRONG CUỘC SỐNG.
“nghèo khó hay giàu sang đều là
Sản phẩm của tư duy”
*****
“mỗi nghịch cảnh, thất bại hay đau khổ đều 
Mang trong nó hạt giống của những lợi ích tương đương hoặc lớn hơn”
“nếu không có thất bại thì làm sao biết con đường thành công”.
“Ngọc Lâm tự chế”