Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức Ôn thi vào lớp 10

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải:
	Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Ta có ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: 
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: (403-1001)
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z 
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0 
CMR: 
4) Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y	 
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và 
Chứng minh rằng
Giải: 
Do a, b, c đối xứng,giả sử abc 
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Ví dụ 4: 
 Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :
Giải:
Ta có 
Do abcd =1 nên cd = (dùng )
Ta có (1)	 
Mặt khác: 
 =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
 =
 Vậy
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 tacó ac+bd
 mà 
II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: + + 
Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có: + a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Tương tự ta có: + b; và + c
Þ + + + a + b + c 	
Þ+ + (đpcm)
Vậy + + 
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = +.Bài giải:
	Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => (a, b > 0)
Mặt khác: x + y => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
 A =++ + = +4 += 4 + 2 = 6 
Vậy MinA = 6 khi x = y = 
Bài 3.
Hướng dẫn
Ta có: 
Tương tự => 
Mặt khác: 
=> 
Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.
CMR : 
Bài giải
Ta có 
Nên vế trái = 
Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
Vậy: 
Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: 
HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z ³ 9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 .
Hướng dẫn
Với ta có: 
Tương tự có . Từ (1) và (2) 
Vì mà .
Khi a = b = 1 thì . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 
Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hướng dẫn
Ta có M = 
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ta có , 
dấu “=” xảy ra Û x = 2y
 Vì x ≥ 2y Þ, dấu “=” xảy ra Û x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 1 +=, dấu “=” xảy ra Û x = 2y
Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y
Bài 9: 
Hướng dẫn:	
Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) 
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4. 
Chứng minh rằng 
HD 
Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) 
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Hướng dẫn
a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: Với ta có 
Do đó .
Dấu “=” xảy ra khi . 
Từ 
Vậy khi .
Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : 
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
Ta có: = (1) (bđt Côsi)
 (bđt Cô si)
 Þ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2 Û a = và b = 
Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết 
Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)
 = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 
vì a ; b ; c > 0 nên và áp dụng cosi ta có 2.dấu (=) Û a + c = b + c a = b 
hay 
 (1) dấu bằng Û a = b
Tương tự: (2) dấu bằng Û b = c 
 (3) dấu bằng Û a = c 
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có 
: P=(++)
 P 
 =
 P=≤ 1 dấu bằng Û a = b = c = 
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) 
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
Do đó (Cô – si)
Tương tự: ; 
Vậy 
Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Hướng dẫn
Vì và x > 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 
M = ³ 0 + 1 + 2010 = 2011
M ³ 2011 ; Dấu “=” xảy ra óÛ x = 
 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 
Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn
Từ (*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) 
Suy ra (Áp dụng (*)) 
 (1)
Tương tự ta có: (2), (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Do a, b, c > (*) nên suy ra: , , 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
 (1)
 (2)
(3)
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: . 
Dấu “=” xẩy ra (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15