Chuyên đề 3: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

nhóm.
–       Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
              2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
                                 = ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2  – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
-       Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
-       Đặt nhân tử chung.
-       Dùng hằng đẳng thức.
-       Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
              3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
              = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
              = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
              = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
              = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
              = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
II.  PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a)    Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 =  = ai.ci = 
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Hướng dẫn
-       Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
-       Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
-       Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
      3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
                        = (x + 2)(3x +2)
b)    Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)
-       Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
   = (x + 2)(3x + 2)
-       Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
          = (x + 2)(3x + 2)
   f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) =  = (x + 2)(3x + 2)
c)     Cách 3 (tách hạng tử tự do c)
-       Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm:
   f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) =  = (x + 2)(3x + 2)
d)    Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
        f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
        f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) =  = (x + 2)(3x + 2)
e)     Cách 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần III.
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau :
                 f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 7. Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử.
Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
               = (3x – 1)(3x + 5)
    Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩm nghiệm)
3. Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)     2x2 - 5xy + 2y2 ;
b)    x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)     Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)     Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý :
1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta thay x = y (y = z hoặc  z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần VII).
III.  PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM
Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :
        Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
        Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là        x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của hệ số tự do.
        Ví dụ 8. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử.
Lời giải
        Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2,  4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách như sau
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
                   = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
                   = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
                 = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
                   = (x + 2)(x2 – x + 2).
        Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 1. Nếu f(x) có  tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
     = (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2. Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x) có một nhân tử là  x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
              = (x + 1)( x – 3)2
 Hệ quả 3. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và đều là số nguyên.
Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy  không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
               = (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 4. Nếu  (là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ  , trong đó p, q  Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an .
Ví dụ 10. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.
Hướng dẫn
        Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số , ta thấy  là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau :
        f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
IV.  PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ph ương
        Ví dụ 12. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
        Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
                                    = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
                                    = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 13. Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
                         = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
        Ví dụ 14. Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tử
Lời giải
        Cách 1.
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 15. Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
                         = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)                    
  = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
                         = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2  - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1.
V.  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai  rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.
Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
        (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
                                         = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
        Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y.
        Ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
        Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng :
        .
        Đặt  thì . Do đó :
        A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
            =  = (x2 + 3x - 1)2.
        Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.
        Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
   = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
VI.  PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
        Ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
        Thử với x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
                                       = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
        Đồng nhất các hệ số ta được :
        Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên trở thành
  2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2.
Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3     = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).
VII.  PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
        Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại.
        Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
  Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y).
  Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z),   (z – x). Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x).
  Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích     
    (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.
  Vì đẳng thức  x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:
4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2)  suy ra k =1
  Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VIII.  PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT
1. Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc
        Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)     a3 + b3 + c3 - 3abc.
b)    (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.
Lời giải
a)     a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b)    Đặt  x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có :
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.
        Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
2. Đưa về đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
        Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)     (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b)    8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.
Lời giải
a)     (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a).
b)                Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c).
Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Theo kết quả câu a) ta có :
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3
= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
II. Bài tập: 
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
16x3y + 0,25yz3
21.
(a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2
2.
x 4 – 4x3 + 4x2
22.
4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
3.
2ab2 – a2b – b3
23.
a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
4.
a 3 + a2b – ab2 – b3
24.
a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
5.
x 3 + x2 – 4x - 4
25.
a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
6.
x 3 – x2 – x + 1
26.
(a + b)3 – (a – b)3
7.
x 4 + x3 + x2 - 1
27.
X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
8.
x 2y2 + 1 – x2 – y2
28.
X m + 4 + xm + 3 – x - 1
10.
x 4 – x2 + 2x - 1
29.
(x + y)3 – x3 – y3
11.
3a – 3b + a2 – 2ab + b2
30.
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
12.
a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1
31.
(b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3
13.
a 2 – b2 – 4a + 4b
32.
x3 + y3+ z3 – 3xyz
14.
a 3 – b3 – 3a + 3b
33.
(x + y)5 – x5 – y5
15.
x 3 + 3x2 – 3x - 1
34.
(x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3
16.
x 3 – 3x2 – 3x + 1
17.
x 3 – 4x2 + 4x - 1
18.
4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2
19.
(xy + 4)2 – (2x + 2y)2
20.
(a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
x2 – 6x + 8
23.
x3 – 5x2y – 14xy2
2.
x2 – 7xy + 10y2
24.
x4 – 7x2 + 1
3.
a2 – 5a - 14
25.
4x4 – 12x2 + 1
4.
2m2 + 10m + 8
26.
x2 + 8x + 7
5.
4p2 – 36p + 56
27.
x2 – 13x + 36
6.
x3 – 5x2 – 14x
28.
x2 + 3x – 18
7.
a4 + a2 + 1
29.
x2 – 5x – 24
8.
a4 + a2 – 2
30.
3x2 – 16x + 5
9.
x4 + 4x2 + 5
31.
8x2 + 30x + 7
10.
x3 – 10x - 12
32.
2x2 – 5x – 12
11.
x3 – 7x - 6
33.
6x2 – 7x – 20
12.
x2 – 7x + 12
34.
x2 – 7x + 10
13.
x2 – 5x – 14
35.
x2 – 10x + 16
14.
4 x2 – 3x – 1
36.
3x2 – 14x + 11
15.
3 x2 – 7x + 4
37.
5x2 + 8x – 13
16.
2 x2 – 7x + 3
38.
x2 + 19x + 60
17.
6x3 – 17x2 + 14x – 3
39.
x4 + 4x2 - 5
18.
4x3 – 25x2 – 53x – 24
40.
x3 – 19x + 30
19.
x4 – 34x2 + 225
41.
x3 + 9x2 + 26x + 24
20.
4x4 – 37x2 + 9
42.
4x2 – 17xy + 13y2
21.
x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20
43.
- 7x2 + 5xy + 12y2
22.
2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15
44.
x3 + 4x2 – 31x - 70
Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
x4 + x2 + 1
17.
x5 -  x4 - 1
2.
x4 – 3x2 + 9
18.
x12 – 3x6 + 1
3.
x4 + 3x2 + 4
19.
x8 - 3x4 + 1
4.
2x4 – x2 – 1
20.
a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
5.
x4y4 + 4
21.
m3 – 6m2 + 11m - 6
6.
x4y4 + 64
22.
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
7.
4 x4y4 + 1
23.
x3 + 4x2 – 29x + 24
8.
32x4 + 1
24.
x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
9.
x4 + 4y4
25.
x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1
10.
x7 + x2 + 1
26.
x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2
11.
x8 + x + 1
27.
x8 + x6 + x4 + x2 + 1
12.
x8 + x7 + 1
28.
x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1
13.
x8 + 3x4 + 1
29.
a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
14.
x10 + x5 + 1
15.
x5 + x + 1
16.
x5 + x4 + 1
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.    x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2.    3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3.    12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4.    2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5.    x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6.    x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7.    x4 – 13x2 + 36
8.    x4 + 3x2 – 2x + 3
9.    x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1.  (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2.  (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3.  x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4.  (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5.  3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6.  5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7.  15x3 + 29x2 – 8x – 12
8.  x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9.  x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.  a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2.  ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
3.  a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)
4.  (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5.  (x + y)7 – x7 – y7
6.  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7.  (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8.   a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
9.   a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1
Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.  (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2.  (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3.  (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4.  (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5.  (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6.  x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7.  (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8.  (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9.  4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
Chuyên đề 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Tiết 1 3 : 
 Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
	a. 
	b. .
Giải: 
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung 
 = 
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
x8 + 3x4 + 4.
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .
Giải: 
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4
	= (x4 + 2)2 - (x2)2 
= (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức
x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
Ví dụ 3: 
Phân tích đa thức thành nhân tử :
	a. 
b.
Giải: 
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.
b. .
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức 
.Do đó: 
b. 
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0. 
Chứng minh rằng :a3 + b3 + c3 = 3abc.
Giải: Vì a + b + c = 0 
Ví dụ 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 
Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab 4a2 + b2 - 5ab = 0
	( 4a - b)(a - b) = 0 a = b.
Do đó 
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: thì 
Giải: 
Tiết 4 -9
 Bài tập vận dụng - Tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử :
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
Phân tích đa thức thành nhân tử :
.
Phân tích đa thức thành nhân tử 
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.
Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.
Cho a +| b + c + d = 0. 
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
 là số chính phương.
Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: 
Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:. Hãy tính giá trị biếu thức 
P = .
a.Tính .
b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 +